3.4: Aplicaciones del Determinante

Resultados

1. Use determinantes para determinar si una matriz tiene una inversa, y evalúe la inversa usando cofactores.
2. Aplica la Regla de Cramer para resolver un sistema\(3\times 3\) lineal\(2\times 2\) o un sistema.
3. Dados los puntos de datos, encuentre un polinomio interpolante apropiado y utilícelo para estimar puntos.

Una fórmula para la inversa

El determinante de una matriz también proporciona una manera de encontrar la inversa de una matriz. Recordemos la definición de la inversa de una matriz en la Definición 2.6.1. Decimos que\(A^{-1}\), una\(n \times n\) matriz, es la inversa de\(A\), también\(n \times n\), si\(AA^{-1} = I\) y\(A^{-1}A=I\).

Ahora definimos una nueva matriz llamada la matriz cofactor de\(A\). La matriz de cofactores de\(A\) es la matriz cuya\(ij^{th}\) entrada es el\(ij^{th}\) cofactor de\(A\). La definición formal es la siguiente.

Definición\(\PageIndex{1}\): The Cofactor Matrix

\(A=\left[ a_{ij}\right]\)Déjese ser una\(n\times n\) matriz. Entonces la matriz cofactorial de\(A\), denotada\(\mathrm{cof}\left( A\right)\), se define por\(\mathrm{cof}\left( A\right) =\left[ \mathrm{cof}\left(A\right)_{ij}\right]\) donde\(\mathrm{cof}\left(A\right)_{ij}\) es el\(ij^{th}\) cofactor de\(A\).

Obsérvese que\(\mathrm{cof}\left(A\right)_{ij}\) denota la\(ij^{th}\) entrada de la matriz de cofactores.

Utilizaremos la matriz de cofactores para crear una fórmula para la inversa de\(A\). Primero, definimos el adyugado de\(A\) ser la transposición de la matriz cofactorial. También podemos llamar a esta matriz la clásica anexa de\(A\), y la denotamos por\(adj \left(A\right)\).

En el caso específico donde\(A\) es una\(2 \times 2\) matriz dada por\[A = \left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right]\nonumber \] entonces\({adj}\left(A\right)\) viene dada por\[{adj}\left(A\right) = \left[ \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right]\nonumber \]

En general, siempre se\({adj}\left(A\right)\) puede encontrar tomando la transposición de la matriz cofactorial de\(A\). El siguiente teorema proporciona una fórmula para\(A^{-1}\) usar el determinante y el adyugado de\(A\).

Teorema\(\PageIndex{1}\): The Inverse and the Determinant

\(A\)Déjese ser una\(n\times n\) matriz. Entonces\[A \; {adj}\left(A\right) = {adj}\left(A\right)A = {\det \left(A\right)} I\nonumber \]

Además\(A\) es invertible si y solo si\(\det \left(A\right) \neq 0\). En este caso tenemos:\[A^{-1} = \frac{1}{\det \left(A\right)} {adj}\left(A\right)\nonumber \]

Observe que la primera fórmula se mantiene para cualquier\(n \times n\) matriz\(A\), y en el caso\(A\) es invertible en realidad tenemos una fórmula para\(A^{-1}\).

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Find Inverse Using the Determinant

Encuentra la inversa de la matriz\[A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber \] usando la fórmula en Teorema\(\PageIndex{1}\).

Solución

Según el teorema\(\PageIndex{1}\),\[A^{-1} = \frac{1}{\det \left(A\right)} {adj}\left(A\right)\nonumber \]

Primero encontraremos el determinante de esta matriz. Usando los Teoremas 3.2.1, 3.2.2 y 3.2.4, primero podemos simplificar la matriz a través de operaciones de fila. Primero, agrega\(-3\) veces la primera fila a la segunda fila. Después agregue\(-1\) veces la primera fila a la tercera fila para obtener\[B = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -6 & -8 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right]\nonumber \] Por Teorema 3.2.4,\(\det \left(A\right) = \det \left(B\right)\). Por Teorema 3.1.2,\(\det \left(B\right) = 1 \times -6 \times -2 = 12\). De ahí,\(\det \left(A\right) = 12\).

Ahora, tenemos que encontrar\({adj} \left(A\right)\). Para ello, primero encontraremos la matriz cofactorial de\(A\). Esto lo da\[\mathrm{cof}\left( A\right) = \left[ \begin{array}{rrr} -2 & -2 & 6 \\ 4 & -2 & 0 \\ 2 & 8 & -6 \end{array} \right]\nonumber \] Aquí, la\(ij^{th}\) entrada es el\(ij^{th}\) cofactor de la matriz original\(A\) que puedes verificar. Por lo tanto, a partir del Teorema\(\PageIndex{1}\), la inversa de\(A\) viene dada por\[A^{-1} = \frac{1}{12}\left[ \begin{array}{rrr} -2 & -2 & 6 \\ 4 & -2 & 0 \\ 2 & 8 & -6 \end{array} \right] ^{T}= \left[ \begin{array}{rrr} -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \end{array} \right]\nonumber \]

Recuerda que siempre podemos verificar nuestra respuesta para\(A^{-1}\). Calcule el producto\(AA^{-1}\)\(A^{-1}A\) y asegúrese de que cada producto sea igual a\(I\).

Calcular de la\(A^{-1}A\) siguiente manera\[A^{-1}A = \left[ \begin{array}{rrr} -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] = I\nonumber \] Puedes verificar eso\(AA^{-1} = I\) y de ahí que nuestra respuesta sea correcta.

Veremos otro ejemplo de cómo usar esta fórmula para encontrar\(A^{-1}\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Find the Inverse From a Formula

Encuentra la inversa de la matriz\[A=\left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{2} \\ -\frac{5}{6} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{2} \end{array} \right]\nonumber \] usando la fórmula dada en Teorema\(\PageIndex{1}\).

Solución

Primero tenemos que encontrar\(\det \left(A\right)\). Este paso se deja como ejercicio y debes verificar que\(\det \left(A\right) = \frac{1}{6}.\) La inversa es por lo tanto igual a\[A^{-1} = \frac{1}{(1/6)}\; {adj} \left(A\right) = 6\; {adj} \left(A\right)\nonumber \]

Seguimos calculando de la siguiente manera. Aquí mostramos los\(2 \times 2\) determinantes necesarios para encontrar los cofactores. \[A^{-1} = 6\left[ \begin{array}{rrr} \left| \begin{array}{rr} \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & -\left| \begin{array}{rr} -\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{5}{6} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & \left| \begin{array}{rr} -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ -\frac{5}{6} & \frac{2}{3} \end{array} \right| \\ -\left| \begin{array}{rr} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & \left| \begin{array}{rr} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{5}{6} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & -\left| \begin{array}{rr} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{5}{6} & \frac{2}{3} \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{rr} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & -\left| \begin{array}{rr} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \end{array} \right| & \left| \begin{array}{rr} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array} \right| \end{array} \right] ^{T}\nonumber \]

Ampliando todos los\(2\times 2\) determinantes, esto rinde\[A^{-1} = 6\left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{array} \right] ^{T}= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]

Nuevamente, siempre puedes verificar tu trabajo multiplicando\(A^{-1}A\)\(AA^{-1}\) y asegurando que estos productos sean iguales\(I\). \[A^{-1}A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{2} \\ -\frac{5}{6} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]Esto nos dice que nuestro cálculo para\(A^{-1}\) es correcto. Se deja al lector verificar eso\(AA^{-1} = I\).

El paso de verificación es muy importante, ¡ya que es una forma sencilla de revisar tu trabajo! Si multiplicas\(A^{-1}A\) y\(AA^{-1}\) y estos productos no son iguales a ambos\(I\), asegúrate de volver atrás y verificar dos veces cada paso. Un error común es olvidar tomar la transposición de la matriz cofactorial, así que asegúrate de completar este paso.

Ahora vamos a probar Teorema\(\PageIndex{1}\).

Teorema\(\PageIndex{1}\): The Inverse and the Determinant

Prueba

(del Teorema\(\PageIndex{1}\)) Recordemos que la\((i,j)\) -entrada de\({adj}(A)\) es igual a\(\mathrm{cof}(A)_{ji}\). Así la\((i,j)\) -entrada de\(B=A\cdot {adj}(A)\) es:\[B_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik} {adj} (A)_{kj}= \sum_{k=1}^n a_{ik} \mathrm{cof} (A)_{jk}\nonumber \] Por el teorema de expansión del cofactor, vemos que esta expresión for\(B_{ij}\) es igual al determinante de la matriz obtenida de\(A\) reemplazando su fila\(j\) th por \(a_{i1}, a_{i2}, \dots a_{in}\)— es decir, su fila\(i\) th.

Si\(i=j\) entonces esta matriz es\(A\) en sí misma y por lo tanto\(B_{ii}=\det A\). Si por otro lado\(i\neq j\), entonces esta matriz tiene su fila\(i\) th igual a su fila\(j\) th, y por lo tanto\(B_{ij}=0\) en su caso. Así obtenemos:\[A \; {adj}\left(A\right) = {\det \left(A\right)} I\nonumber \] De igual manera podemos verificar que:\[{adj}\left(A\right)A = {\det \left(A\right)} I\nonumber \] Y esto prueba la primera parte del teorema.

Además si\(A\) es invertible, entonces por el Teorema 3.2.5 tenemos:\[1 = \det \left( I \right) = \det \left( A A^{-1} \right) = \det \left( A \right) \det \left( A^{-1} \right)\nonumber \] y así\(\det \left( A \right) \neq 0\). Equivalentemente, si\(\det \left( A \right) = 0\), entonces no\(A\) es invertible.

Finalmente si\(\det \left( A \right) \neq 0\), entonces la fórmula anterior muestra que\(A\) es invertible y que:\[A^{-1} = \frac{1}{\det \left(A\right)} {adj}\left(A\right)\nonumber \]

Esto completa la prueba.

Este método para encontrar la inversa de\(A\) es útil en muchos contextos. En particular, es útil con matrices complicadas donde las entradas son funciones, más que números.

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Inverse for Non-Constant Matrix

Supongamos\[A\left( t\right) =\left[ \begin{array}{ccc} e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & \sin t \\ 0 & -\sin t & \cos t \end{array} \right]\nonumber \] Mostrar que\(A\left( t\right) ^{-1}\) existe y luego encontrarlo.

Solución

Primera nota\(\det \left( A\left( t\right) \right) = e^{t}(\cos^2 t + \sin^2 t) = e^{t}\neq 0\) así\(A\left( t\right) ^{-1}\) existe.

La matriz del cofactor es\[C\left( t\right) =\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{t}\cos t & e^{t}\sin t \\ 0 & -e^{t}\sin t & e^{t}\cos t \end{array} \right]\nonumber \] y así la inversa es\[\frac{1}{e^{t}}\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{t}\cos t & e^{t}\sin t \\ 0 & -e^{t}\sin t & e^{t}\cos t \end{array} \right] ^{T}= \left[ \begin{array}{ccc} e^{-t} & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & -\sin t \\ 0 & \sin t & \cos t \end{array} \right]\nonumber \]

Regla de Cramer

Otro contexto en el que la fórmula dada en Teorema\(\PageIndex{1}\) es importante es la Regla de Cramer. Recordemos que podemos representar un sistema de ecuaciones lineales en la forma\(AX=B\), donde las soluciones a este sistema están dadas por\(X\). La Regla de Cramer da una fórmula para las soluciones\(X\) en el caso especial que\(A\) es una matriz cuadrada invertible. Tenga en cuenta que esta regla no se aplica si se tiene un sistema de ecuaciones en el que hay un número diferente de ecuaciones que las variables (en otras palabras, cuando no\(A\) es cuadrado), o cuando no\(A\) es invertible.

Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones dado por\(AX=B\), y queremos encontrar soluciones\(X\) que satisfagan este sistema. Entonces recordemos que si\(A^{-1}\) existe,\[\begin{aligned} AX&=B \\ A^{-1}\left(AX\right)&=A^{-1}B \\ \left(A^{-1}A\right)X&=A^{-1}B \\ IX&=A^{-1}B\\ X &= A^{-1}B\end{aligned}\] De ahí\(X\) que las soluciones al sistema las den\(X=A^{-1}B\). Ya que suponemos que\(A^{-1}\) existe, podemos usar la fórmula para\(A^{-1}\) dada anteriormente. Sustituyendo esta fórmula en la ecuación para\(X\), tenemos\[X=A^{-1}B=\frac{1}{\det \left( A\right) }{adj}\left( A\right)B\nonumber \] Let\(x_i\) be the\(i^{th}\) entry of\(X\) and\(b_j\) be the\(j^{th}\) entry of\(B\). Entonces esta ecuación se convierte\[x_i = \sum_{j=1}^{n}\left[ a_{ij}\right]^{-1}b_{j}=\sum_{j=1}^{n}\frac{1} {\det \left( A\right) } {adj}\left( A\right) _{ij}b_{j}\nonumber \] en dónde\({adj}\left(A\right)_{ij}\) está la\(ij^{th}\) entrada de\({adj}\left(A\right)\).

Por la fórmula para la expansión de un determinante a lo largo de una columna,\[x_{i}=\frac{1}{\det \left( A\right) }\det \left[ \begin{array}{ccccc} \ast & \cdots & b_{1} & \cdots & \ast \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \ast & \cdots & b_{n} & \cdots & \ast \end{array} \right]\nonumber \] donde aquí la\(i^{th}\) columna de\(A\) es reemplazada por el vector de columna\(\left[ b_{1}\cdots \cdot ,b_{n}\right] ^{T}\). El determinante de esta matriz modificada es tomado y dividido por\(\det \left( A\right)\). Esta fórmula se conoce como regla de Cramer.

Formalmente definimos este método ahora.

Procedimiento\(\PageIndex{1}\): Using Cramer’s Rule

Supongamos que\(A\) es una matriz\(n\times n\) invertible y deseamos resolver el sistema\(AX=B\) para\(X =\left[ x_{1},\cdots ,x_{n}\right] ^{T}.\) Entonces la regla de Cramer dice\[x_{i}= \frac{\det \left(A_{i}\right)}{\det \left(A\right)}\nonumber \] donde\(A_{i}\) se obtiene la matriz reemplazando la\(i^{th}\) columna de \(A\)con la matriz de columnas\[B = \left[ \begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right]\nonumber \]

Ilustramos este procedimiento en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Using Cramer's Rule

Encuentra\(x,y,z\) si\[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right]\nonumber \]

Solución

Utilizaremos el método descrito en Procedimiento\(\PageIndex{1}\) para encontrar los valores para los\(x,y,z\) cuales dan la solución a este sistema. Let\[B = \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right]\nonumber\]

Para encontrar\(x\), calculamos\[x = \frac{\det \left(A_{1}\right)}{\det \left(A\right)}\nonumber \] dónde\(A_1\) está la matriz obtenida al reemplazar la primera columna\(A\) de por\(B\).

De ahí,\(A_1\) viene dada por\[A_1 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]

Por lo tanto,\[x= \frac{\det \left(A_{1}\right)}{\det \left(A\right)} = \frac{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & 2 \end{array} \right| }{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{array} \right| }=\frac{1}{2}\nonumber \]

De igual manera, para encontrar\(y\) construimos\(A_2\) reemplazando la segunda columna\(A\) de por\(B\). De ahí,\(A_2\) viene dada por\[A_2 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]

Por lo tanto,\[y=\frac{\det \left(A_{2}\right)}{\det \left(A\right)} = \frac{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{array} \right| }{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{array} \right| }=-\frac{1}{7}\nonumber \]

De igual manera,\(A_3\) se construye sustituyendo la tercera columna\(A\) de por\(B\). Entonces,\(A_3\) es dado por\[A_3 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 3 \end{array} \right]\nonumber \]

Por lo tanto,\(z\) se calcula de la siguiente manera.

\[z= \frac{\det \left(A_{3}\right)}{\det \left(A\right)} = \frac{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 3 \end{array} \right| }{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{array} \right| }=\frac{11}{14}\nonumber \]

La regla de Cramer te da otra herramienta a considerar a la hora de resolver un sistema de ecuaciones lineales.

También podemos usar la Regla de Cramer para sistemas de ecuaciones no lineales. Considere el siguiente sistema donde la matriz\(A\) tiene funciones en lugar de números para las entradas.

Uso de la regla de Cramer

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Use Cramer's Rule for Non-Constant Matrix

Resolver por\(z\) si\[\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{t}\cos t & e^{t}\sin t \\ 0 & -e^{t}\sin t & e^{t}\cos t \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ t \\ {0.05in}t^{2} \end{array} \right]\nonumber \]

Solución

Se nos pide encontrar el valor de\(z\) en la solución. Vamos a resolver usando la regla de Cramer. Así\[z={.05in} \frac{\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & e^{t}\cos t & t \\ 0 & -e^{t}\sin t & t^{2} \end{array} \right| }{\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{t}\cos t & e^{t}\sin t \\ 0 & -e^{t}\sin t & e^{t}\cos t \end{array} \right| }= t\left( \left( \cos t\right) t+\sin t\right) e^{-t}\nonumber \]

Polinomio Interpolación

Al estudiar un conjunto de datos que relaciona variables\(x\) y\(y\), puede darse el caso de que podamos usar un polinomio para “encajar” a los datos. Si se puede establecer un polinomio de este tipo, se puede utilizar para estimar valores de\(x\) y\(y\) que no se han proporcionado.

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Polynomial Interpolation

Dados los puntos de datos\((1,4), (2,9), (3,12)\), encontrar un polinomio interpolante\(p(x)\) de grado como máximo\(2\) y luego estimar el valor correspondiente a\(x = \frac{1}{2}\).

Solución

Queremos encontrar un polinomio dado por\[p(x) = r_0 + r_1x_1 + r_2x_2^2\nonumber \] tal que\(p(1)=4, p(2)=9\) y\(p(3)=12\). Para encontrar este polinomio, sustituir los valores conocidos en por\(x\) y resolver por\(r_0, r_1\), y\(r_2\). \[\begin{aligned} p(1) &= r_0 + r_1 + r_2 = 4\\ p(2) &= r_0 + 2r_1 + 4r_2 = 9\\ p(3) &= r_0 + 3r_1 + 9r_2 = 12\end{aligned}\]

Escribiendo la matriz aumentada, tenemos\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 9 \\ 1 & 3 & 9 & 12 \end{array} \right]\nonumber\]

Después de las operaciones de fila, la matriz resultante es\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right]\nonumber \]

Por lo tanto, la solución al sistema es\(r_0 = -3, r_1 = 8, r_2 = -1\) y el polinomio interpolante requerido es\[p(x) = -3 + 8x - x^2\nonumber \]

Para estimar el valor para\(x = \frac{1}{2}\), calculamos\(p(\frac{1}{2})\):\[\begin{aligned} p(\frac{1}{2}) &= -3 + 8(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^2\\ &= -3 + 4 - \frac{1}{4} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}\]

Este procedimiento se puede utilizar para cualquier número de puntos de datos, y cualquier grado de polinomio. A continuación se detallan los pasos.

Procedimiento\(\PageIndex{2}\): Finding an Interpolation Polynomial

Supongamos que\(y\) se dan valores de\(x\) y valores correspondientes de, de tal manera que\(y\) se desconoce la relación real entre\(x\) y. Entonces, los valores de\(y\) pueden estimarse usando un polinomio interpolante\(p(x)\). Si se da\(x_1, ..., x_n\) y el correspondiente\(y_1, ..., y_n\), el procedimiento a encontrar\(p(x)\) es el siguiente:

1. El polinomio deseado\(p(x)\) viene dado por\[p(x) = r_0 + r_1 x + r_2 x^2 + ... + r_{n-1}x^{n-1}\nonumber \]
2. \(p(x_i) = y_i\)para todos\(i = 1, 2, ...,n\) para que\[\begin{array}{c} r_0 + r_1x_1 + r_2 x_1^2 + ... + r_{n-1}x_1^{n-1} = y_1 \\ r_0 + r_1x_2 + r_2 x_2^2 + ... + r_{n-1}x_2^{n-1} = y_2 \\ \vdots \\ r_0 + r_1x_n + r_2 x_n^2 + ... + r_{n-1}x_n^{n-1} = y_n \end{array}\nonumber \]
3. Configurar la matriz aumentada de este sistema de ecuaciones\[\left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} & y_1 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} & y_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} & y_n \\ \end{array} \right]\nonumber \]
4. Resolver este sistema resultará en una solución única\(r_0, r_1, \cdots, r_{n-1}\). Utilice estos valores para construir\(p(x)\), y estimar el valor de\(p(a)\) para cualquier\(x=a\).

Este procedimiento motiva el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Polynomial Interpolation

\(n\)Dados los puntos de datos\((x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)\) con lo\(x_i\) distinto, hay un polinomio único\(p(x) = r_0 + r_1x + r_2x^2 + \cdots + r_{n-1}x^{n-1}\) tal que\(p(x_i) = y_i\) para\(i=1,2,\cdots, n\). El polinomio resultante\(p(x)\) se denomina polinomio de interpolación para los puntos de datos.

Concluimos esta sección con otro ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Polynomial Interpolation

Considera los puntos de datos\((0,1), (1,2), (3,22), (5,66)\). Encontrar un polinomio interpolante\(p(x)\) de grado como máximo tres, y estimar el valor de\(p(2)\).

Solución

El polinomio deseado\(p(x)\) viene dado por:\[p(x) = r_0 + r_1 x + r_2x^2 + r_3x^3\nonumber \]

Usando los puntos dados, el sistema de ecuaciones es\[\begin{aligned} p(0) &= r_0 = 1 \\ p(1) &= r_0 + r_1 + r_2 + r_3 = 2 \\ p(3) &= r_0 + 3r_1 + 9r_2 + 27r_3 = 22 \\ p(5) &= r_0 + 5r_1 + 25r_2 + 125r_3 = 66\end{aligned}\]

La matriz aumentada viene dada por:\[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 9 & 27 & 22 \\ 1 & 5 & 25 & 125 & 66 \end{array} \right]\nonumber\]

La matriz resultante es\[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right]\nonumber\]

Por lo tanto,\(r_0 = 1, r_1 = -2, r_2 = 3, r_3 = 0\) y\(p(x) = 1 -2x + 3x^2\). Para estimar el valor de\(p(2)\), calculamos\(p(2) = 1 -2(2) + 3(2^2) = 1 - 4 + 12 = 9\).