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3.E: Ejercicios

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Ejercicio3.E.1

Encuentra los determinantes de las siguientes matrices.

  1. [1302]
  2. [0302]
  3. [4362]

Ejercicio3.E.2

VamosA=[124013251]. Encuentra lo siguiente.

  1. minor(A)11
  2. minor(A)21
  3. minor(A)32
  4. cof(A)11
  5. cof(A)21
  6. cof(A)32

Ejercicio3.E.3

Encuentra los determinantes de las siguientes matrices.

  1. [123322098]
  2. [432178393]
  3. [1232132341501212]
Contestar
  1. La respuesta es31.
  2. La respuesta es375.
  3. La respuesta es2.

Ejercicio3.E.4

Encuentra el siguiente determinante expandiéndolo a lo largo de la primera fila y la segunda columna. |121213211|

Contestar

|121213211|=6

Ejercicio3.E.5

Encuentra el siguiente determinante expandiéndolo a lo largo de la primera columna y la tercera fila. |121101211|

Contestar

|121101211|=2

Ejercicio3.E.6

Encuentra el siguiente determinante expandiéndolo a lo largo de la segunda fila y la primera columna. |121213211|

Contestar

|121213211|=6

Ejercicio3.E.7

Computar el determinante por expansión del cofactor. Elige la fila o columna más fácil de usar. |1001211000022131|

Contestar

|1001211000022131|=4

Ejercicio3.E.8

Encuentra el determinante de las siguientes matrices.

  1. A=[13402]
  2. A=[4314020005]
  3. A=[23150041700350001]

Ejercicio3.E.9

Se realiza una operación para llegar de la primera matriz a la segunda. Identificar lo que se hizo y decir cómo afectará el valor del determinante. [abcd][acbd]

Contestar

No cambia el determinante. Esto solo estaba tomando la transposición.

Ejercicio3.E.10

Se realiza una operación para llegar de la primera matriz a la segunda. Identificar lo que se hizo y decir cómo afectará el valor del determinante. [abcd][cdab]

Contestar

En este caso se cambiaron dos filas y así el determinante resultante es1 multiplicado por la primera

Ejercicio3.E.11

Se realiza una operación para llegar de la primera matriz a la segunda. Identificar lo que se hizo y decir cómo afectará el valor del determinante. [abcd][aba+cb+d]

Contestar

El determinante no ha cambiado. Fue apenas la primera fila añadida a la segunda.

Ejercicio3.E.12

Se realiza una operación para llegar de la primera matriz a la segunda. Identificar lo que se hizo y decir cómo afectará el valor del determinante. [abcd][ab2c2d]

Contestar

La segunda fila se multiplicó por2 lo que el determinante del resultado es2 multiplicado por el determinante original.

Ejercicio3.E.13

Se realiza una operación para llegar de la primera matriz a la segunda. Identificar lo que se hizo y decir cómo afectará el valor del determinante. [abcd][badc]

Contestar

En este caso las dos columnas se cambiaron por lo que el determinante de la segunda es1 veces el determinante de la primera.

Ejercicio3.E.14

DejarA ser unar×r matriz y supongamos que hayr1 filas (columnas) tal que todas las filas (columnas) son combinaciones lineales de estasr1 filas (columnas). Espectáculodet(A)=0.

Contestar

Si el determinante es distinto de cero, entonces permanecerá distinto de cero con operaciones de fila aplicadas a la matriz. Sin embargo, por supuesto, puede obtener una fila de ceros haciendo operaciones de fila. Así, el determinante debió haber sido cero después de todo.

Ejercicio3.E.15

Mostrardet(aA)=andet(A) para unan×n matrizA y escalara.

Contestar

det(aA)=det(aIA)=det(aI)det(A)=andet(A). La matriz que tiene un abajo la diagonal principal tiene determinante igual aan.

Ejercicio3.E.16

Construir2×2 matricesA yB demostrar que eldetAdetB=det(AB).

Contestar

det([1234][1256])=8det[1234]det[1256]=2×4=8

Ejercicio3.E.17

¿Es cierto esodet(A+B)=det(A)+det(B)? Si esto es así, explique por qué. Si no es así, dar un contraejemplo.

Contestar

Esto no es cierto en absoluto. ConsiderarA=[1001],B=[1001].

Ejercicio3.E.18

Unan×n matriz se llama nilpotente si para algún entero positivo,k sigueAk=0. SiA es una matriz nilpotente yk es el entero más pequeño posible tal queAk=0, ¿cuáles son los valores posibles dedet(A)?

Contestar

Debe ser0 porque0=det(0)=det(Ak)=(det(A))k.

Ejercicio3.E.19

Se dice que una matriz es ortogonal siATA=I. Así, la inversa de una matriz ortogonal es solo su transposición. ¿Cuáles son los valores posibles dedet(A) siA es una matriz ortogonal?

Contestar

Necesitaríasdet(AAT)=det(A)det(AT)=det(A)2=1 y asídet(A)=1, o1.

Ejercicio3.E.20

DejarA yB ser dosn×n matrices. AB(Aes similar aB) significa que existe una matriz invertibleP tal queA=P1BP. Demuéstralo siAB, entoncesdet(A)=det(B).

Contestar

det(A)=det(S1BS)=det(S1)det(B)det(S)=det(B)det(S1S)=det(B).

Ejercicio3.E.21

Decirle si cada declaración es verdadera o falsa. Si es cierto, proporcionar una prueba. Si es falso, proporcione un ejemplo de contador.

  1. Si A es una3×3 matriz con un determinante cero, entonces una columna debe ser un múltiplo de alguna otra columna.
  2. Si dos columnas cualesquiera de una matriz cuadrada son iguales, entonces el determinante de la matriz es igual a cero.
  3. Para dosn×n matricesA yB,det(A+B)=det(A)+det(B).
  4. Para unan×n matrizA,det(3A)=3det(A)
  5. SiA1 existe entoncesdet(A1)=det(A)1.
  6. SiB se obtiene multiplicando una sola filaA de para4 entoncesdet(B)=4det(A).
  7. ParaA unan×n matriz,det(A)=(1)ndet(A).
  8. SiA es unan×n matriz real, entoncesdet(ATA)0.
  9. SiAk=0 para algún número entero positivok, entoncesdet(A)=0.
  10. SiAX=0 para algunosX0, entoncesdet(A)=0.
Contestar
  1. Falso. Considerar[112154033]
  2. Cierto.
  3. Falso.
  4. Falso.
  5. Cierto.
  6. Falso.
  7. Cierto.
  8. Cierto.
  9. Cierto.
  10. Cierto.

Ejercicio3.E.22

Encuentre el determinante usando operaciones de fila para simplificar primero. |121232412|

Contestar

|121232412|=6

Ejercicio3.E.23

Encuentre el determinante usando operaciones de fila para simplificar primero. |213242145|

Contestar

|213242145|=32

Ejercicio3.E.24

Encuentre el determinante usando operaciones de fila para simplificar primero. |1212312310312322|

Contestar

Uno puede reducir esto usando solo la operación de fila 3 a[12120553002950006310] y por lo tanto, el determinante es63. |1212312310312322|=63

Ejercicio3.E.25

Encuentre el determinante usando operaciones de fila para simplificar primero. |1412322310332122|

Contestar

Una fila puede reducir esto usando solo la operación de fila 3 a[14120105300219500021120] Así el determinante viene dado por|1412322310332122|=211

Ejercicio3.E.26

DejeA=[123021310] Determinar si la matrizA tiene una inversa al encontrar si el determinante no es cero. Si el determinante es distinto de cero, encuentra la inversa usando la fórmula para la inversa que involucra la matriz del cofactor.

Contestar

det[123021310]=13y así tiene una inversa. Esta inversa es113[|2110||0130||0231||2310||1330||1231||2321||1301||1202|]T=113[136395412]T=[113313413313913113613513213]

Ejercicio3.E.27

DejeA=[120021311] Determinar si la matrizA tiene una inversa al encontrar si el determinante no es cero. Si el determinante es distinto de cero, encuentra la inversa usando la fórmula para la inversa.

Contestar

det[120021311]=7por lo que tiene una inversa. Esta inversa es17[136215212]T=[172727371717675727]

Ejercicio3.E.28

DejeA=[133241011] Determinar si la matrizA tiene una inversa al encontrar si el determinante no es cero. Si el determinante es distinto de cero, encuentra la inversa usando la fórmula para la inversa.

Contestar

det[133241011]=3por lo que tiene una inversa que es[103231353231323]

Ejercicio3.E.29

DejeA=[123021267] Determinar si la matrizA tiene una inversa al encontrar si el determinante no es cero. Si el determinante es distinto de cero, encuentra la inversa usando la fórmula para la inversa.

Ejercicio3.E.30

DejeA=[103101310] Determinar si la matrizA tiene una inversa al encontrar si el determinante no es cero. Si el determinante es distinto de cero, encuentra la inversa usando la fórmula para la inversa.

Contestar

det[103101310]=2y así tiene una inversa. El inverso resulta igual[123203292112120]

Ejercicio3.E.31

Para las siguientes matrices, determine si son invertibles. Si es así, usa la fórmula para la inversa en términos de la matriz de cofactores para encontrar cada inverso. Si la inversa no existe, explique por qué.

  1. [1112]
  2. [123021411]
  3. [121230012]
Contestar
  1. |1112|=1
  2. |123021411|=15
  3. |121230012|=0

Ejercicio3.E.32

Considerar la matrizA=[1000costsint0sintcost] ¿Existe un valort para el cual esta matriz no logra tener una inversa? Explique.

Contestar

No. Tiene un determinante distinto de cero para todost

Ejercicio3.E.33

Considerar la matrizA=[1tt2012tt02] ¿Existe un valort para el cual esta matriz no logra tener una inversa? Explique.

Contestar

det[1tt2012tt02]=t3+2y así no tiene inversa cuandot=32

Ejercicio3.E.34

Considerar la matrizA=[etcoshtsinhtetsinhtcoshtetcoshtsinht] ¿Existe un valor de t para el cual esta matriz no logra tener una inversa? Explique.

Contestar

det[etcoshtsinhtetsinhtcoshtetcoshtsinht]=0y así esta matriz no logra tener un determinante distinto de cero a ningún valor det.

Ejercicio3.E.35

Considerar la matrizA=[etetcostetsintetetcostetsintetsint+etcostet2etsint2etcost] ¿Existe un valor de t para el cual esta matriz no logra tener una inversa? Explique.

Contestar

det[etetcostetsintetetcostetsintetsint+etcostet2etsint2etcost]=5et0y así esta matriz siempre es invertible.

Ejercicio 3.E.36

Demostrar que sidet(A)0 paraA unan×n matriz, se deduce que siAX=0, entoncesX=0.

Contestar

Sidet(A)0, entoncesA1 existe y así podrías multiplicar en ambos lados a la izquierda porA1 y obtener esoX=0.

Ejercicio3.E.37

Supongamos queA,B sonn×n matrices y esoAB=I. Demuéstralo entoncesBA=I. Pista: Primero explique por quédet(A), ambosdet(B) son distintos de cero. Entonces(AB)A=A y después muestranBA(BAI)=0. De este uso lo que se da para concluirA(BAI)=0. Después usa Ejercicio3.E.36.

Contestar

Usted tiene1=det(A)det(B). De ahí que ambosA yB tengan inversas. Dejar queX se dé,A(BAI)X=(AB)AXAX=AXAX=0 y así se deduce del problema anterior que(BAI)X=0. Ya queX es arbitrario, de ello se deduce queBA=I.

Ejercicio3.E.38

Utilice la fórmula para la inversa en términos de la matriz de cofactores para encontrar la inversa de la matrizA=[et000etcostetsint0etcostetsintetcost+etsint]

Contestar

det[et000etcostetsint0etcostetsintetcost+etsint]=e3t.De ahí que la inversa seae3t[e2t000e2tcost+e2tsint(e2tcoste2tsin)t0e2tsinte2tcos(t)]T=[et000et(cost+sint)(sint)et0et(costsint)(cost)et]

Ejercicio3.E.39

Encontrar la inversa, si existe, de la matrizA=[etcostsintetsintcostetcostsint]

Contestar

[etcostsintetsintcostetcostsint]1=[12et012et12cost+12sintsint12sint12cost12sint12costcost12cost12sint]

Ejercicio3.E.40

Supongamos queA es una matriz triangular superior. Mostrar queA1 existe si y solo si todos los elementos de la diagonal principal son distintos de cero. ¿Es cierto que tambiénA1 será triangular superior? Explique. ¿Podría concluirse lo mismo para las matrices triangulares inferiores?

Contestar

La condición dada es lo que se necesita para que el determinante sea distinto de cero. Recordemos que el determinante de una matriz triangular superior es solo el producto de las entradas en la diagonal principal

Ejercicio3.E.41

SiA,B, yC son cadan×n matrices yABC es invertible, mostrar por qué cada uno deA,B, yC son invertibles.

Contestar

Esto sigue porquedet(ABC)=det(A)det(B)det(C) y si este producto es distinto de cero, entonces cada determinante en el producto es distinto de cero y así cada una de estas matrices es invertible.

Ejercicio3.E.42

Decide si esta afirmación es verdadera o falsa: La regla de Cramer es útil para encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales en las que hay un conjunto infinito de soluciones.

Contestar

Falso.

Ejercicio3.E.43

Utilice la regla de Cramer para encontrar la solución ax+2y=12xy=2

Contestar

La solución es:[x=1,y=0]

Ejercicio3.E.44

Utilice la regla de Cramer para encontrar la solución ax+2y+z=12xyz=2x+z=1

Contestar

La solución es:[x=1,y=0,z=0]. Por ejemplo,y=|111221111||121211101|=0


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