3.E: Ejercicios
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Encuentra los determinantes de las siguientes matrices.
- \(\left[\begin{array}{cc}1&3\\0&2\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{cc}0&3\\0&2\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{cc}4&3\\6&2\end{array}\right]\)
Vamos\(A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&4\\0&1&3\\-2&5&1\end{array}\right]\). Encuentra lo siguiente.
- \(minor(A)_{11}\)
- \(minor(A)_{21}\)
- \(minor(A)_{32}\)
- \(cof(A)_{11}\)
- \(cof(A)_{21}\)
- \(cof(A)_{32}\)
Encuentra los determinantes de las siguientes matrices.
- \(\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\3&2&2\\0&9&8\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{ccc}4&3&2\\1&7&8\\3&-9&3\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&2\\1&3&2&3\\4&1&5&0\\1&2&1&2\end{array}\right]\)
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- La respuesta es\(31\).
- La respuesta es\(375\).
- La respuesta es\(-2\).
Encuentra el siguiente determinante expandiéndolo a lo largo de la primera fila y la segunda columna. \[\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&3\\2&1&1\end{array}\right|\nonumber\]
- Contestar
-
\[\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&3\\2&1&1\end{array}\right|=6\nonumber\]
Encuentra el siguiente determinante expandiéndolo a lo largo de la primera columna y la tercera fila. \[\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&0&1\\2&1&1\end{array}\right|\nonumber\]
- Contestar
-
\[\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&0&1\\2&1&1\end{array}\right|=2\nonumber\]
Encuentra el siguiente determinante expandiéndolo a lo largo de la segunda fila y la primera columna. \[\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&3\\2&1&1\end{array}\right|\nonumber\]
- Contestar
-
\[\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&3\\2&1&1\end{array}\right|=6\nonumber\]
Computar el determinante por expansión del cofactor. Elige la fila o columna más fácil de usar. \[\left|\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\2&1&1&0\\0&0&0&2\\2&1&3&1\end{array}\right|\nonumber\]
- Contestar
-
\[\left|\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\2&1&1&0\\0&0&0&2\\2&1&3&1\end{array}\right|=-4\nonumber\]
Encuentra el determinante de las siguientes matrices.
- \(A=\left[\begin{array}{cc}1&-34\\0&2\end{array}\right]\)
- \(A=\left[\begin{array}{ccc}4&3&14\\0&-2&0\\0&0&5\end{array}\right]\)
- \(A=\left[\begin{array}{cccc}2&3&15&0\\0&4&1&7\\0&0&-3&5\\0&0&0&1\end{array}\right]\)
Se realiza una operación para llegar de la primera matriz a la segunda. Identificar lo que se hizo y decir cómo afectará el valor del determinante. \[\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\to\cdots\to\left[\begin{array}{cc}a&c\\b&d\end{array}\right]\nonumber\]
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No cambia el determinante. Esto solo estaba tomando la transposición.
Se realiza una operación para llegar de la primera matriz a la segunda. Identificar lo que se hizo y decir cómo afectará el valor del determinante. \[\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\to\cdots\to\left[\begin{array}{cc}c&d\\a&b\end{array}\right]\nonumber\]
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En este caso se cambiaron dos filas y así el determinante resultante es\(−1\) multiplicado por la primera
Se realiza una operación para llegar de la primera matriz a la segunda. Identificar lo que se hizo y decir cómo afectará el valor del determinante. \[\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\to\cdots\to\left[\begin{array}{cc}a&b\\a+c&b+d\end{array}\right]\nonumber\]
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El determinante no ha cambiado. Fue apenas la primera fila añadida a la segunda.
Se realiza una operación para llegar de la primera matriz a la segunda. Identificar lo que se hizo y decir cómo afectará el valor del determinante. \[\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\to\cdots\to\left[\begin{array}{cc}a&b\\2c&2d\end{array}\right]\nonumber\]
- Contestar
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La segunda fila se multiplicó por\(2\) lo que el determinante del resultado es\(2\) multiplicado por el determinante original.
Se realiza una operación para llegar de la primera matriz a la segunda. Identificar lo que se hizo y decir cómo afectará el valor del determinante. \[\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\to\cdots\to\left[\begin{array}{cc}b&a\\d&c\end{array}\right]\nonumber\]
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En este caso las dos columnas se cambiaron por lo que el determinante de la segunda es\(−1\) veces el determinante de la primera.
Dejar\(A\) ser una\(r\times r\) matriz y supongamos que hay\(r −1\) filas (columnas) tal que todas las filas (columnas) son combinaciones lineales de estas\(r −1\) filas (columnas). Espectáculo\(\det(A) = 0\).
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Si el determinante es distinto de cero, entonces permanecerá distinto de cero con operaciones de fila aplicadas a la matriz. Sin embargo, por supuesto, puede obtener una fila de ceros haciendo operaciones de fila. Así, el determinante debió haber sido cero después de todo.
Mostrar\(\det(aA) = a^n \det(A)\) para una\(n\times n\) matriz\(A\) y escalar\(a\).
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\(\det(aA) = \det(aIA) = \det(aI)\det(A) = a^n \det(A)\). La matriz que tiene un abajo la diagonal principal tiene determinante igual a\(a^n\).
Construir\(2\times 2\) matrices\(A\) y\(B\) demostrar que el\(\det A\det B = \det(AB)\).
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\[\begin{array}{c}\det\left(\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1&2\\-5&6\end{array}\right]\right)=-8 \\ \det\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]\det\left[\begin{array}{cc}-1&2\\-5&6\end{array}\right]=-2\times 4=-8\end{array}\nonumber\]
¿Es cierto eso\(\det(A+B) = \det(A)+\det(B)\)? Si esto es así, explique por qué. Si no es así, dar un contraejemplo.
- Contestar
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Esto no es cierto en absoluto. Considerar\(A=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right],\: B=\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&-1\end{array}\right]\).
Una\(n\times n\) matriz se llama nilpotente si para algún entero positivo,\(k\) sigue\(A^k = 0\). Si\(A\) es una matriz nilpotente y\(k\) es el entero más pequeño posible tal que\(A^k = 0\), ¿cuáles son los valores posibles de\(\det(A)\)?
- Contestar
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Debe ser\(0\) porque\(0 = \det(0) = \det (A^k) = (\det(A))^k\).
Se dice que una matriz es ortogonal si\(A^TA = I\). Así, la inversa de una matriz ortogonal es solo su transposición. ¿Cuáles son los valores posibles de\(\det(A)\) si\(A\) es una matriz ortogonal?
- Contestar
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Necesitarías\(\det (AA^T) = \det(A)\det (A^T) = \det(A)^2 = 1\) y así\(\det(A) = 1\), o\(-1\).
Dejar\(A\) y\(B\) ser dos\(n\times n\) matrices. \(A ∼ B\)(\(A\)es similar a\(B\)) significa que existe una matriz invertible\(P\) tal que\(A = P^{−1}BP\). Demuéstralo si\(A ∼ B\), entonces\(\det(A) = \det(B)\).
- Contestar
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\(\det(A) = \det(S^{−1}BS) = \det(S^{−1})\det(B)\det(S) = \det(B)\det(S^{−1}S) = \det(B)\).
Decirle si cada declaración es verdadera o falsa. Si es cierto, proporcionar una prueba. Si es falso, proporcione un ejemplo de contador.
- Si A es una\(3\times 3\) matriz con un determinante cero, entonces una columna debe ser un múltiplo de alguna otra columna.
- Si dos columnas cualesquiera de una matriz cuadrada son iguales, entonces el determinante de la matriz es igual a cero.
- Para dos\(n\times n\) matrices\(A\) y\(B\),\(\det(A+B) = \det(A) +\det(B)\).
- Para una\(n\times n\) matriz\(A\),\(\det(3A) = 3 \det(A)\)
- Si\(A^{−1}\) existe entonces\(\det(A^{−1}) = \det(A)^{−1}\).
- Si\(B\) se obtiene multiplicando una sola fila\(A\) de para\(4\) entonces\(\det(B) = 4 \det(A)\).
- Para\(A\) una\(n\times n\) matriz,\(\det(−A) = (−1)^n \det(A)\).
- Si\(A\) es una\(n\times n\) matriz real, entonces\(\det (A^TA) ≥ 0\).
- Si\(A^k = 0\) para algún número entero positivo\(k\), entonces\(\det(A) = 0\).
- Si\(AX = 0\) para algunos\(X\neq 0\), entonces\(\det(A) = 0\).
- Contestar
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- Falso. Considerar\(\left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\-1&5&4\\0&3&3\end{array}\right]\)
- Cierto.
- Falso.
- Falso.
- Cierto.
- Falso.
- Cierto.
- Cierto.
- Cierto.
- Cierto.
Encuentre el determinante usando operaciones de fila para simplificar primero. \[\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&2\\-4&1&2\end{array}\right|\nonumber\]
- Contestar
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\[\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&2\\-4&1&2\end{array}\right|=-6\nonumber\]
Encuentre el determinante usando operaciones de fila para simplificar primero. \[\left|\begin{array}{ccc}2&1&3\\2&4&2\\1&4&-5\end{array}\right|\nonumber\]
- Contestar
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\[\left|\begin{array}{ccc}2&1&3\\2&4&2\\1&4&-5\end{array}\right|=-32\nonumber\]
Encuentre el determinante usando operaciones de fila para simplificar primero. \[\left|\begin{array}{cccc}1&2&1&2\\3&1&-2&3\\-1&0&3&1\\2&3&2&-2\end{array}\right|\nonumber\]
- Contestar
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Uno puede reducir esto usando solo la operación de fila 3 a\[\left[\begin{array}{cccc}1&2&1&2\\0&-5&-5&-3 \\ 0&0&2&\frac{9}{5} \\ 0&0&0&-\frac{63}{10}\end{array}\right]\nonumber\] y por lo tanto, el determinante es\(-63\). \[\left|\begin{array}{cccc}1&2&1&2\\3&1&-2&3\\-1&0&3&1\\2&3&2&-2\end{array}\right|=63\nonumber\]
Encuentre el determinante usando operaciones de fila para simplificar primero. \[\left|\begin{array}{cccc}1&4&1&2\\3&2&-2&3\\-1&0&3&3\\2&1&2&-2\end{array}\right|\nonumber\]
- Contestar
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Una fila puede reducir esto usando solo la operación de fila 3 a\[\left[\begin{array}{cccc}1&4&1&2\\0&-10&-5&-3 \\ 0&0&2&\frac{19}{5} \\ 0&0&0&-\frac{211}{20}\end{array}\right]\nonumber\] Así el determinante viene dado por\[\left|\begin{array}{cccc}1&4&1&2\\3&2&-2&3\\-1&0&3&3\\2&1&2&-2\end{array}\right|=211\nonumber\]
Deje\[A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&2&1\\3&1&0\end{array}\right]\nonumber\] Determinar si la matriz\(A\) tiene una inversa al encontrar si el determinante no es cero. Si el determinante es distinto de cero, encuentra la inversa usando la fórmula para la inversa que involucra la matriz del cofactor.
- Contestar
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\(\det\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&2&1\\3&1&0\end{array}\right]=-13\)y así tiene una inversa. Esta inversa es\[\begin{aligned}\frac{1}{-13}\left[\begin{array}{rrr}\left|\begin{array}{cc}2&1 \\ 1&0\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc}0&1\\3&0\end{array}\right| &\left|\begin{array}{cc}0&2\\3&1\end{array}\right| \\ -\left|\begin{array}{cc}2&3\\1&0\end{array}\right| &\left|\begin{array}{cc}1&3\\3&0\end{array}\right| &-\left|\begin{array}{cc}1&2\\3&1\end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{cc}2&3\\2&1\end{array}\right|&-\left|\begin{array}{cc}1&3\\0&1\end{array}\right|&\left|\begin{array}{cc}1&2\\0&2\end{array}\right|\end{array}\right]^T &=\frac{1}{-13}\left[\begin{array}{ccc}-1&3&-6 \\ 3&-9&5 \\ -4&-1&2\end{array}\right]^T \\ &=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{13}&-\frac{3}{13}&\frac{4}{13} \\ -\frac{3}{13}&\frac{9}{13}&\frac{1}{13} \\ \frac{6}{13}&-\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{array}\right]\end{aligned}\]
Deje\[A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\0&2&1\\3&1&1\end{array}\right]\nonumber\] Determinar si la matriz\(A\) tiene una inversa al encontrar si el determinante no es cero. Si el determinante es distinto de cero, encuentra la inversa usando la fórmula para la inversa.
- Contestar
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\(\det\left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\0&2&1\\3&1&1\end{array}\right]=7\)por lo que tiene una inversa. Esta inversa es\(\frac{1}{7}\left[\begin{array}{ccc}1&3&-6\\-2&1&5\\2&-1&2\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}&\frac{2}{7} \\ \frac{3}{7}&\frac{1}{7}&-\frac{1}{7} \\ -\frac{6}{7}&\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\end{array}\right]\)
Deje\[A=\left[\begin{array}{ccc}1&3&3\\2&4&1\\0&1&1\end{array}\right]\nonumber\] Determinar si la matriz\(A\) tiene una inversa al encontrar si el determinante no es cero. Si el determinante es distinto de cero, encuentra la inversa usando la fórmula para la inversa.
- Contestar
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\[\det\left[\begin{array}{ccc}1&3&3\\2&4&1\\0&1&1\end{array}\right]=3\nonumber\]por lo que tiene una inversa que es\[\left[\begin{array}{ccc}1&0&-3 \\ -\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{5}{3} \\ \frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{array}\right]\nonumber\]
Deje\[A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&2&1\\2&6&7\end{array}\right]\nonumber\] Determinar si la matriz\(A\) tiene una inversa al encontrar si el determinante no es cero. Si el determinante es distinto de cero, encuentra la inversa usando la fórmula para la inversa.
Deje\[A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\1&0&1\\3&1&0\end{array}\right]\nonumber\] Determinar si la matriz\(A\) tiene una inversa al encontrar si el determinante no es cero. Si el determinante es distinto de cero, encuentra la inversa usando la fórmula para la inversa.
- Contestar
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\[\det\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\1&0&1\\3&1&0\end{array}\right]=2\nonumber\]y así tiene una inversa. El inverso resulta igual\[\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&0 \\ \frac{3}{2}&-\frac{9}{2}&1 \\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0\end{array}\right]\nonumber\]
Para las siguientes matrices, determine si son invertibles. Si es así, usa la fórmula para la inversa en términos de la matriz de cofactores para encontrar cada inverso. Si la inversa no existe, explique por qué.
- \(\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&2\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&2&1\\4&1&1\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&0\\0&1&2\end{array}\right]\)
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- \(\left|\begin{array}{cc}1&1\\1&2\end{array}\right|=1\)
- \(\left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&2&1\\4&1&1\end{array}\right|=-15\)
- \(\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&0\\0&1&2\end{array}\right|=0\)
Considerar la matriz\[A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos t&-\sin t \\ 0&\sin t&\cos t\end{array}\right]\nonumber\] ¿Existe un valor\(t\) para el cual esta matriz no logra tener una inversa? Explique.
- Contestar
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No. Tiene un determinante distinto de cero para todos\(t\)
Considerar la matriz\[A=\left[\begin{array}{ccc}1&t&t^2 \\ 0&1&2t \\ t&0&2\end{array}\right]\nonumber\] ¿Existe un valor\(t\) para el cual esta matriz no logra tener una inversa? Explique.
- Contestar
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\[\det\left[\begin{array}{ccc}1&t&t^2 \\ 0&1&2t \\ t&0&2\end{array}\right]=t^3+2\nonumber\]y así no tiene inversa cuando\(t=-\sqrt[3]{2}\)
Considerar la matriz\[A=\left[\begin{array}{ccc}e^t &\cosh t&\sinh t \\ e^t&\sinh t&\cosh t \\ e^t&\cosh t&\sinh t\end{array}\right]\nonumber\] ¿Existe un valor de t para el cual esta matriz no logra tener una inversa? Explique.
- Contestar
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\[\det\left[\begin{array}{ccc}e^t&\cosh t&\sinh t \\ e^t&\sinh t&\cosh t \\ e^t&\cosh t&\sinh t\end{array}\right]=0\nonumber\]y así esta matriz no logra tener un determinante distinto de cero a ningún valor de\(t\).
Considerar la matriz\[A=\left[\begin{array}{ccc}e^t &e^{-t}\cos t&e^{-t}\sin t \\ e^t&-e^{-t}\cos t-e^{-t}\sin t &-e^{-t}\sin t+e^{-t}\cos t \\ e^t&2e^{-t}\sin t&-2e^{-t}\cos t\end{array}\right]\nonumber\] ¿Existe un valor de t para el cual esta matriz no logra tener una inversa? Explique.
- Contestar
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\[\det\left[\begin{array}{ccc}e^t&e^{-t}\cos t&e^{-t}\sin t \\ e^t&-e^{-t}\cos t-e^{-t}\sin t&-e^{-t}\sin t+e^{-t}\cos t \\ e^t&2e^{-t}\sin t&-2e^{-t}\cos t\end{array}\right]=5e^{-t}\neq 0\nonumber\]y así esta matriz siempre es invertible.
Demostrar que si\(\det(A)\neq 0\) para\(A\) una\(n\times n\) matriz, se deduce que si\(AX = 0\), entonces\(X = 0\).
- Contestar
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Si\(\det(A) \neq 0\), entonces\(A^{−1}\) existe y así podrías multiplicar en ambos lados a la izquierda por\(A^{−1}\) y obtener eso\(X = 0\).
Supongamos que\(A,B\) son\(n\times n\) matrices y eso\(AB = I\). Demuéstralo entonces\(BA = I\). Pista: Primero explique por qué\(\det(A)\), ambos\(\det(B)\) son distintos de cero. Entonces\((AB)A = A\) y después muestran\(BA(BA−I) = 0\). De este uso lo que se da para concluir\(A(BA−I) = 0\). Después usa Ejercicio\(\PageIndex{36}\).
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Usted tiene\(1 = \det(A)\det(B)\). De ahí que ambos\(A\) y\(B\) tengan inversas. Dejar que\(X\) se dé,\[A(BA−I)X = (AB)AX −AX = AX −AX = 0\nonumber\] y así se deduce del problema anterior que\((BA−I)X = 0\). Ya que\(X\) es arbitrario, de ello se deduce que\(BA = I\).
Utilice la fórmula para la inversa en términos de la matriz de cofactores para encontrar la inversa de la matriz\[A=\left[\begin{array}{ccc}e^t&0&0 \\ 0&e^t\cos t&e^t\sin t \\ 0&e^t\cos t-e^t\sin t&e^t\cos t+e^t\sin t\end{array}\right]\nonumber\]
- Contestar
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\[\det\left[\begin{array}{ccc}e^t&0&0 \\ 0&e^t\cos t&e^t\sin t \\ 0&e^t\cos t-e^t\sin t&e^t\cos t+e^t\sin t\end{array}\right]=e^{3t}.\nonumber\]De ahí que la inversa sea\[\begin{array}{l}e^{-3t}\left[\begin{array}{ccc}e^{2t}&0&0 \\ 0&e^{2t}\cos t+e^{2t}\sin t&-(e^{2t}\cos t-e^{2t}\sin )t \\ 0&-e^{2t}\sin t&e^{2t}\cos (t)\end{array}\right]^T \\ =\left[\begin{array}{ccc}e^{-t}&0&0 \\ 0&e^{-t}(\cos t+\sin t)&-(\sin t)e^{-t} \\ 0&-e^{-t}(\cos t-\sin t)&(\cos t)e^{-t}\end{array}\right] \end{array}\nonumber\]
Encontrar la inversa, si existe, de la matriz\[A=\left[\begin{array}{ccc}e^t&\cos t&\sin t \\ e^t&-\sin t&\cos t \\ e^t&-\cos t&-\sin t\end{array}\right]\nonumber\]
- Contestar
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\[\begin{array}{l} \left[\begin{array}{ccc}e^t&\cos t&\sin t \\ e^t&-\sin t&\cos t \\ e^t&-\cos t&-\sin t\end{array}\right]^{-1} \\ =\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}e^{-t}&0&\frac{1}{2}e^{-t} \\ \frac{1}{2}\cos t+\frac{1}{2}\sin t&-\sin t&\frac{1}{2}\sin t-\frac{1}{2}\cos t \\ \frac{1}{2}\sin t-\frac{1}{2}\cos t&\cos t&-\frac{1}{2}\cos t-\frac{1}{2}\sin t\end{array}\right]\end{array}\nonumber\]
Supongamos que\(A\) es una matriz triangular superior. Mostrar que\(A^{−1}\) existe si y solo si todos los elementos de la diagonal principal son distintos de cero. ¿Es cierto que también\(A^{−1}\) será triangular superior? Explique. ¿Podría concluirse lo mismo para las matrices triangulares inferiores?
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La condición dada es lo que se necesita para que el determinante sea distinto de cero. Recordemos que el determinante de una matriz triangular superior es solo el producto de las entradas en la diagonal principal
Si\(A,\: B,\) y\(C\) son cada\(n\times n\) matrices y\(ABC\) es invertible, mostrar por qué cada uno de\(A,\: B,\) y\(C\) son invertibles.
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Esto sigue porque\(\det(ABC) = \det(A)\det(B)\det(C)\) y si este producto es distinto de cero, entonces cada determinante en el producto es distinto de cero y así cada una de estas matrices es invertible.
Decide si esta afirmación es verdadera o falsa: La regla de Cramer es útil para encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales en las que hay un conjunto infinito de soluciones.
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Falso.
Utilice la regla de Cramer para encontrar la solución a\[\begin{aligned}x+2y&=1 \\ 2x-y&=2\end{aligned}\]
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La solución es:\([x = 1, y = 0]\)
Utilice la regla de Cramer para encontrar la solución a\[\begin{array}{c}x+2y+z=1 \\ 2x-y-z=2 \\ x+z=1\end{array}\nonumber\]
- Contestar
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La solución es:\([x = 1, y = 0,z = 0]\). Por ejemplo,\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&2&-1\\1&1&1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&-1&-1\\1&0&1\end{array}\right|}=0\nonumber\]