3.E: Ejercicios
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Encuentra los determinantes de las siguientes matrices.
- [1302]
- [0302]
- [4362]
VamosA=[124013−251]. Encuentra lo siguiente.
- minor(A)11
- minor(A)21
- minor(A)32
- cof(A)11
- cof(A)21
- cof(A)32
Encuentra los determinantes de las siguientes matrices.
- [123322098]
- [4321783−93]
- [1232132341501212]
- Contestar
-
- La respuesta es31.
- La respuesta es375.
- La respuesta es−2.
Encuentra el siguiente determinante expandiéndolo a lo largo de la primera fila y la segunda columna. |121213211|
- Contestar
-
|121213211|=6
Encuentra el siguiente determinante expandiéndolo a lo largo de la primera columna y la tercera fila. |121101211|
- Contestar
-
|121101211|=2
Encuentra el siguiente determinante expandiéndolo a lo largo de la segunda fila y la primera columna. |121213211|
- Contestar
-
|121213211|=6
Computar el determinante por expansión del cofactor. Elige la fila o columna más fácil de usar. |1001211000022131|
- Contestar
-
|1001211000022131|=−4
Encuentra el determinante de las siguientes matrices.
- A=[1−3402]
- A=[43140−20005]
- A=[23150041700−350001]
Se realiza una operación para llegar de la primera matriz a la segunda. Identificar lo que se hizo y decir cómo afectará el valor del determinante. [abcd]→⋯→[acbd]
- Contestar
-
No cambia el determinante. Esto solo estaba tomando la transposición.
Se realiza una operación para llegar de la primera matriz a la segunda. Identificar lo que se hizo y decir cómo afectará el valor del determinante. [abcd]→⋯→[cdab]
- Contestar
-
En este caso se cambiaron dos filas y así el determinante resultante es−1 multiplicado por la primera
Se realiza una operación para llegar de la primera matriz a la segunda. Identificar lo que se hizo y decir cómo afectará el valor del determinante. [abcd]→⋯→[aba+cb+d]
- Contestar
-
El determinante no ha cambiado. Fue apenas la primera fila añadida a la segunda.
Se realiza una operación para llegar de la primera matriz a la segunda. Identificar lo que se hizo y decir cómo afectará el valor del determinante. [abcd]→⋯→[ab2c2d]
- Contestar
-
La segunda fila se multiplicó por2 lo que el determinante del resultado es2 multiplicado por el determinante original.
Se realiza una operación para llegar de la primera matriz a la segunda. Identificar lo que se hizo y decir cómo afectará el valor del determinante. [abcd]→⋯→[badc]
- Contestar
-
En este caso las dos columnas se cambiaron por lo que el determinante de la segunda es−1 veces el determinante de la primera.
DejarA ser unar×r matriz y supongamos que hayr−1 filas (columnas) tal que todas las filas (columnas) son combinaciones lineales de estasr−1 filas (columnas). Espectáculodet(A)=0.
- Contestar
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Si el determinante es distinto de cero, entonces permanecerá distinto de cero con operaciones de fila aplicadas a la matriz. Sin embargo, por supuesto, puede obtener una fila de ceros haciendo operaciones de fila. Así, el determinante debió haber sido cero después de todo.
Mostrardet(aA)=andet(A) para unan×n matrizA y escalara.
- Contestar
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det(aA)=det(aIA)=det(aI)det(A)=andet(A). La matriz que tiene un abajo la diagonal principal tiene determinante igual aan.
Construir2×2 matricesA yB demostrar que eldetAdetB=det(AB).
- Contestar
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det([1234][−12−56])=−8det[1234]det[−12−56]=−2×4=−8
¿Es cierto esodet(A+B)=det(A)+det(B)? Si esto es así, explique por qué. Si no es así, dar un contraejemplo.
- Contestar
-
Esto no es cierto en absoluto. ConsiderarA=[1001],B=[−100−1].
Unan×n matriz se llama nilpotente si para algún entero positivo,k sigueAk=0. SiA es una matriz nilpotente yk es el entero más pequeño posible tal queAk=0, ¿cuáles son los valores posibles dedet(A)?
- Contestar
-
Debe ser0 porque0=det(0)=det(Ak)=(det(A))k.
Se dice que una matriz es ortogonal siATA=I. Así, la inversa de una matriz ortogonal es solo su transposición. ¿Cuáles son los valores posibles dedet(A) siA es una matriz ortogonal?
- Contestar
-
Necesitaríasdet(AAT)=det(A)det(AT)=det(A)2=1 y asídet(A)=1, o−1.
DejarA yB ser dosn×n matrices. A∼B(Aes similar aB) significa que existe una matriz invertibleP tal queA=P−1BP. Demuéstralo siA∼B, entoncesdet(A)=det(B).
- Contestar
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det(A)=det(S−1BS)=det(S−1)det(B)det(S)=det(B)det(S−1S)=det(B).
Decirle si cada declaración es verdadera o falsa. Si es cierto, proporcionar una prueba. Si es falso, proporcione un ejemplo de contador.
- Si A es una3×3 matriz con un determinante cero, entonces una columna debe ser un múltiplo de alguna otra columna.
- Si dos columnas cualesquiera de una matriz cuadrada son iguales, entonces el determinante de la matriz es igual a cero.
- Para dosn×n matricesA yB,det(A+B)=det(A)+det(B).
- Para unan×n matrizA,det(3A)=3det(A)
- SiA−1 existe entoncesdet(A−1)=det(A)−1.
- SiB se obtiene multiplicando una sola filaA de para4 entoncesdet(B)=4det(A).
- ParaA unan×n matriz,det(−A)=(−1)ndet(A).
- SiA es unan×n matriz real, entoncesdet(ATA)≥0.
- SiAk=0 para algún número entero positivok, entoncesdet(A)=0.
- SiAX=0 para algunosX≠0, entoncesdet(A)=0.
- Contestar
-
- Falso. Considerar[112−154033]
- Cierto.
- Falso.
- Falso.
- Cierto.
- Falso.
- Cierto.
- Cierto.
- Cierto.
- Cierto.
Encuentre el determinante usando operaciones de fila para simplificar primero. |121232−412|
- Contestar
-
|121232−412|=−6
Encuentre el determinante usando operaciones de fila para simplificar primero. |21324214−5|
- Contestar
-
|21324214−5|=−32
Encuentre el determinante usando operaciones de fila para simplificar primero. |121231−23−1031232−2|
- Contestar
-
Uno puede reducir esto usando solo la operación de fila 3 a[12120−5−5−300295000−6310] y por lo tanto, el determinante es−63. |121231−23−1031232−2|=63
Encuentre el determinante usando operaciones de fila para simplificar primero. |141232−23−1033212−2|
- Contestar
-
Una fila puede reducir esto usando solo la operación de fila 3 a[14120−10−5−3002195000−21120] Así el determinante viene dado por|141232−23−1033212−2|=211
DejeA=[123021310] Determinar si la matrizA tiene una inversa al encontrar si el determinante no es cero. Si el determinante es distinto de cero, encuentra la inversa usando la fórmula para la inversa que involucra la matriz del cofactor.
- Contestar
-
det[123021310]=−13y así tiene una inversa. Esta inversa es1−13[|2110|−|0130||0231|−|2310||1330|−|1231||2321|−|1301||1202|]T=1−13[−13−63−95−4−12]T=[113−313413−313913113613−513−213]
DejeA=[120021311] Determinar si la matrizA tiene una inversa al encontrar si el determinante no es cero. Si el determinante es distinto de cero, encuentra la inversa usando la fórmula para la inversa.
- Contestar
-
det[120021311]=7por lo que tiene una inversa. Esta inversa es17[13−6−2152−12]T=[17−27273717−17−675727]
DejeA=[133241011] Determinar si la matrizA tiene una inversa al encontrar si el determinante no es cero. Si el determinante es distinto de cero, encuentra la inversa usando la fórmula para la inversa.
- Contestar
-
det[133241011]=3por lo que tiene una inversa que es[10−3−23135323−13−23]
DejeA=[123021267] Determinar si la matrizA tiene una inversa al encontrar si el determinante no es cero. Si el determinante es distinto de cero, encuentra la inversa usando la fórmula para la inversa.
DejeA=[103101310] Determinar si la matrizA tiene una inversa al encontrar si el determinante no es cero. Si el determinante es distinto de cero, encuentra la inversa usando la fórmula para la inversa.
- Contestar
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det[103101310]=2y así tiene una inversa. El inverso resulta igual[−1232032−92112−120]
Para las siguientes matrices, determine si son invertibles. Si es así, usa la fórmula para la inversa en términos de la matriz de cofactores para encontrar cada inverso. Si la inversa no existe, explique por qué.
- [1112]
- [123021411]
- [121230012]
- Contestar
-
- |1112|=1
- |123021411|=−15
- |121230012|=0
Considerar la matrizA=[1000cost−sint0sintcost] ¿Existe un valort para el cual esta matriz no logra tener una inversa? Explique.
- Contestar
-
No. Tiene un determinante distinto de cero para todost
Considerar la matrizA=[1tt2012tt02] ¿Existe un valort para el cual esta matriz no logra tener una inversa? Explique.
- Contestar
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det[1tt2012tt02]=t3+2y así no tiene inversa cuandot=−3√2
Considerar la matrizA=[etcoshtsinhtetsinhtcoshtetcoshtsinht] ¿Existe un valor de t para el cual esta matriz no logra tener una inversa? Explique.
- Contestar
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det[etcoshtsinhtetsinhtcoshtetcoshtsinht]=0y así esta matriz no logra tener un determinante distinto de cero a ningún valor det.
Considerar la matrizA=[ete−tcoste−tsintet−e−tcost−e−tsint−e−tsint+e−tcostet2e−tsint−2e−tcost] ¿Existe un valor de t para el cual esta matriz no logra tener una inversa? Explique.
- Contestar
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det[ete−tcoste−tsintet−e−tcost−e−tsint−e−tsint+e−tcostet2e−tsint−2e−tcost]=5e−t≠0y así esta matriz siempre es invertible.
Demostrar que sidet(A)≠0 paraA unan×n matriz, se deduce que siAX=0, entoncesX=0.
- Contestar
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Sidet(A)≠0, entoncesA−1 existe y así podrías multiplicar en ambos lados a la izquierda porA−1 y obtener esoX=0.
Supongamos queA,B sonn×n matrices y esoAB=I. Demuéstralo entoncesBA=I. Pista: Primero explique por quédet(A), ambosdet(B) son distintos de cero. Entonces(AB)A=A y después muestranBA(BA−I)=0. De este uso lo que se da para concluirA(BA−I)=0. Después usa Ejercicio3.E.36.
- Contestar
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Usted tiene1=det(A)det(B). De ahí que ambosA yB tengan inversas. Dejar queX se dé,A(BA−I)X=(AB)AX−AX=AX−AX=0 y así se deduce del problema anterior que(BA−I)X=0. Ya queX es arbitrario, de ello se deduce queBA=I.
Utilice la fórmula para la inversa en términos de la matriz de cofactores para encontrar la inversa de la matrizA=[et000etcostetsint0etcost−etsintetcost+etsint]
- Contestar
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det[et000etcostetsint0etcost−etsintetcost+etsint]=e3t.De ahí que la inversa seae−3t[e2t000e2tcost+e2tsint−(e2tcost−e2tsin)t0−e2tsinte2tcos(t)]T=[e−t000e−t(cost+sint)−(sint)e−t0−e−t(cost−sint)(cost)e−t]
Encontrar la inversa, si existe, de la matrizA=[etcostsintet−sintcostet−cost−sint]
- Contestar
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[etcostsintet−sintcostet−cost−sint]−1=[12e−t012e−t12cost+12sint−sint12sint−12cost12sint−12costcost−12cost−12sint]
Supongamos queA es una matriz triangular superior. Mostrar queA−1 existe si y solo si todos los elementos de la diagonal principal son distintos de cero. ¿Es cierto que tambiénA−1 será triangular superior? Explique. ¿Podría concluirse lo mismo para las matrices triangulares inferiores?
- Contestar
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La condición dada es lo que se necesita para que el determinante sea distinto de cero. Recordemos que el determinante de una matriz triangular superior es solo el producto de las entradas en la diagonal principal
SiA,B, yC son cadan×n matrices yABC es invertible, mostrar por qué cada uno deA,B, yC son invertibles.
- Contestar
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Esto sigue porquedet(ABC)=det(A)det(B)det(C) y si este producto es distinto de cero, entonces cada determinante en el producto es distinto de cero y así cada una de estas matrices es invertible.
Decide si esta afirmación es verdadera o falsa: La regla de Cramer es útil para encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales en las que hay un conjunto infinito de soluciones.
- Contestar
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Falso.
Utilice la regla de Cramer para encontrar la solución ax+2y=12x−y=2
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La solución es:[x=1,y=0]
Utilice la regla de Cramer para encontrar la solución ax+2y+z=12x−y−z=2x+z=1
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La solución es:[x=1,y=0,z=0]. Por ejemplo,y=|11122−1111||1212−1−1101|=0