4.2: Álgebra vectorial
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- Comprender la adición de vectores y la multiplicación escalar, algebraicamente.
- Introducir la noción de combinación lineal de vectores.
La suma y la multiplicación escalar son dos operaciones algebraicas importantes realizadas con vectores. Observe que estas operaciones aplican a vectores en\(\mathbb{R}^{n}\), por cualquier valor de\(n\). Exploraremos estas operaciones con más detalle en las siguientes secciones.
Adición de Vectores en\(\mathbb{R}^n\)
La adición de vectores en\(\mathbb{R}^n\) se define de la siguiente manera.
Si\(\vec{u}=\left [ \begin{array}{c} u_{1} \\ \vdots \\ u_{n} \end{array} \right ],\; \vec{v}= \left [ \begin{array}{c} v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right ] \in \mathbb{R}^{n}\) entonces\(\vec{u}+\vec{v}\in \mathbb{R}^{n}\) y se define por
\[\begin{aligned} \vec{u}+\vec{v} &= \left [ \begin{array}{c} u_{1} \\ \vdots \\ u_{n} \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{c} v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right ]\\ & = \left [ \begin{array}{c} u_{1}+v_{1} \\ \vdots \\ u_{n}+v_{n} \end{array} \right ]\end{aligned}\]
Para agregar vectores, simplemente agregamos los componentes correspondientes. Por lo tanto, para poder agregar vectores, deben ser del mismo tamaño.
La adición de vectores satisface algunas propiedades importantes que se describen en el siguiente teorema.
Las siguientes propiedades son válidas para los vectores\(\vec{u},\vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^{n}\).
- La Ley Conmutativa de la Adición\[\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\nonumber \]
- La Ley Asociativa de la Adición\[\left( \vec{u}+\vec{v}\right) +\vec{w}=\vec{u}+\left( \vec{v}+\vec{w}\right)\nonumber \]
- La existencia de una identidad aditiva\[\vec{u}+\vec{0}=\vec{u} \label{vectoridentity}\]
- La existencia de una inversa aditiva\[\vec{u}+\left( -\vec{u}\right) =\vec{0}\nonumber \]
La identidad aditiva que se muestra en la Ecuación\(\eqref{vectoridentity}\) también se llama el vector cero, el\(n \times 1\) vector en el que todos los componentes son iguales a\(0\). Además,\(-\vec{u}\) es simplemente el vector con todos los componentes teniendo el mismo valor que los de\(\vec{u}\) pero signo opuesto; esto es justo\((-1)\vec{u}\). Esto se hará más explícito en la siguiente sección cuando exploremos la multiplicación escalar de vectores. Tenga en cuenta que la resta se define como\(\vec{u}-\vec{v} = \vec{u}+\left( -\vec{v} \right)\).
Multiplicación escalar de vectores en\(\mathbb{R}^n\)
La multiplicación escalar de vectores en\(\mathbb{R}^n\) se define de la siguiente manera.
Si\(\vec{u}\in \mathbb{R}^{n}\) y\(k\in \mathbb{R}\) es un escalar, entonces\(k\vec{u}\in \mathbb{R}^{n}\) se define por\[k\vec{u}=k\left [ \begin{array}{c} u_{1} \\ \vdots \\ u_{n} \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} ku_{1} \\ \vdots \\ ku_{n} \end{array} \right ]\nonumber \]
Al igual que con la adición, la multiplicación escalar de vectores satisface varias propiedades importantes. Estos se describen en el siguiente teorema.
Las siguientes propiedades son válidas para vectores\(\vec{u},\vec{v}\in \mathbb{R}^{n}\) y\(k,p\) escalares.
- La Ley Distributiva sobre la Adición de Vectores\[k \left( \vec{u}+\vec{v}\right) = k\vec{u}+ k\vec{v}\nonumber\]
- La Ley Distributiva sobre la Adición Escalar\[\left( k + p \right)\vec{u} = k \vec{u}+p \vec{u}\nonumber\]
- La Ley Asociativa para la Multiplicación Escalar\[k \left( p \vec{u}\right) = \left(k p \right)\vec{u}\nonumber\]
- Regla para la multiplicación por\(1\)\[1\vec{u}=\vec{u}\nonumber\]
- Prueba
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Mostraremos la prueba de:\[k \left( \vec{u}+\vec{v}\right) = k \vec{u}+ k \vec{v}\nonumber\] Tenga en cuenta que:\[\begin{array}{ll} k \left( \vec{u}+\vec{v}\right) & =k \left [ u_{1}+v_{1} \cdots u_{n}+v_{n}\right ]^T \\ & = \left [ k \left( u_{1}+v_{1}\right) \cdots k \left( u_{n}+v_{n}\right) \right ]^T \\ & = \left [ k u_{1}+ k v_{1} \cdots k u_{n}+ k v_{n}\right ]^T \\ & = \left [ k u_{1} \cdots k u_{n} \right ]^T + \left [ k v_{1} \cdots k v_{n} \right ]^T \\ & = k \vec{u}+k \vec{v} \\ \end{array}\nonumber\]
Ahora presentamos una noción útil que quizás hayas visto anteriormente combinando la adición de vectores y la multiplicación escalar
Se dice que un vector\(\vec{v}\) es una combinación lineal de los vectores\(\vec{u}_1,\cdots , \vec{u}_n\) si existen escalares, de\(a_{1},\cdots ,a_{n}\) tal manera que\[\vec{v} = a_1 \vec{u}_1 + \cdots + a_n \vec{u}_n\nonumber \]
Por ejemplo,\[3 \left [ \begin{array}{r} -4 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ] + 2 \left [ \begin{array}{r} -3 \\ 0\\ 1 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{r} -18 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right ].\nonumber \] así podemos decir que\[\vec{v}= \left [ \begin{array}{r} -18 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right ]\nonumber \] es una combinación lineal de los vectores\[\vec{u}_1 = \left [ \begin{array}{r} -4 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ] \mbox{ and } \vec{u}_2 = \left [ \begin{array}{r} -3 \\ 0\\ 1 \end{array} \right ]\nonumber \]