5.1: Transformaciones lineales
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- Comprender la definición de una transformación lineal, y que todas las transformaciones lineales están determinadas por la multiplicación matricial.
Recordemos que cuando multiplicamos una\(m\times n\) matriz por un vector de\(n\times 1\) columna, el resultado es un vector de\(m\times 1\) columna. En esta sección discutiremos cómo, a través de la multiplicación matricial, una\(m \times n\) matriz transforma un vector de\(n\times 1\) columna en un vector de\(m \times 1\) columna.
Recordemos que el\(n \times 1\) vector dado por\[\vec{x} = \left [ \begin{array}{r} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{array} \right ]\nonumber \] se dice que pertenece a\(\mathbb{R}^n\), que es el conjunto de todos los\(n \times 1\) vectores. En esta sección, discutiremos las transformaciones de vectores en\(\mathbb{R}^n.\)
Considera el siguiente ejemplo.
Considerar la matriz\(A = \left [ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array} \right ] .\) Mostrar que por multiplicación matricial\(A\) transforma vectores\(\mathbb{R}^3\) en vectores en\(\mathbb{R}^2\).
Solución
Primero, recordemos que los vectores en\(\mathbb{R}^3\) son vectores de tamaño\(3 \times 1\), mientras que los vectores en\(\mathbb{R}^{2}\) son de tamaño\(2 \times 1\). Si multiplicamos\(A\), que es una\(2 \times 3\) matriz, por un\(3 \times 1\) vector, el resultado será un\(2 \times 1\) vector. Esto lo queremos decir cuando decimos que\(A\) transforma vectores.
Ahora, para\(\left [ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ]\) en\(\mathbb{R}^3\), multiplique a la izquierda por la matriz dada para obtener el nuevo vector. Este producto se ve como\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} x+2y \\ 2x+y \end{array} \right ]\nonumber \] El producto resultante es un\(2 \times 1\) vector que está determinado por la elección de\(x\) y\(y\). Aquí hay algunos ejemplos numéricos. \[\left [ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right ] = \ \left [ \begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array} \right ]\nonumber \]Aquí, el vector\(\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right ]\) en\(\mathbb{R}^3\) fue transformado por la matriz en el vector\(\left [ \begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array}\right ]\) en\(\mathbb{R}^2\).
Aquí hay otro ejemplo:\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{r} 10 \\ 5 \\ -3 \end{array} \right ] = \ \left [ \begin{array}{r} 20 \\ 25 \end{array} \right ]\nonumber \]
La idea es definir una función que tome vectores\(\mathbb{R}^{3}\) y entregue nuevos vectores en\(\mathbb{R}^{2}.\) En este caso, esa función es la multiplicación por la matriz\(A\).
Dejar\(T\) denotar tal función. La notación\(T:\mathbb{R}^{n}\mapsto \mathbb{R}^{m}\) significa que la función\(T\) transforma vectores\(\mathbb{R}^{n}\) en vectores en\(\mathbb{R}^{m}\). La notación\(T(\vec{x})\) significa la transformación\(T\) aplicada al vector\(\vec{x}\). El ejemplo anterior demostró una transformación lograda por multiplicación matricial. En este caso, muchas veces escribimos\[T_{A}\left( \vec{x}\right) =A \vec{x}\nonumber \] Por lo tanto,\(T_{A}\) es la transformación determinada por la matriz\(A\). En este caso decimos que\(T\) es una transformación matricial.
Recordemos la propiedad de multiplicación matricial que establece que para\(k\) y\(p\) escalares,\[A\left( kB+pC\right) =kAB+pAC\nonumber \] En particular, para\(A\) una\(m\times n\) matriz y\(B\) y\(C,\)\(n\times 1\) vectores en\(\mathbb{R}^{n}\), esta fórmula sostiene.
En otras palabras, esto quiere decir que la multiplicación matricial da un ejemplo de una transformación lineal, que ahora vamos a definir.
Dejar\(T:\mathbb{R}^{n}\mapsto \mathbb{R}^{m}\) ser una función, donde para cada\(\vec{x} \in \mathbb{R}^{n},T\left(\vec{x}\right)\in \mathbb{R}^{m}.\) Entonces\(T\) es una transformación lineal si siempre\(k ,p\) son escalares y\(\vec{x}_1\) y\(\vec{x}_2\) son vectores en\(\mathbb{R}^{n}\)\(( n\times 1\) vectores\(),\)\[T\left( k \vec{x}_1 + p \vec{x}_2 \right) = kT\left(\vec{x}_1\right)+ pT\left(\vec{x}_{2} \right)\nonumber \]
Considera el siguiente ejemplo.
Dejar\(T\) ser una transformación definida por\(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) se define por\[T\left [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right ] = \left [\begin{array}{c} x+y \\ x-z \end{array}\right ] \mbox{ for all } \left [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right ] \in\mathbb{R}^3\nonumber \] Show que\(T\) es una transformación lineal.
Solución
Por Definición\(\PageIndex{1}\) necesitamos mostrar eso\(T\left( k \vec{x}_1 + p \vec{x}_2 \right) = kT\left(\vec{x}_1\right)+ pT\left(\vec{x}_{2} \right)\) para todos los escalares\(k,p\) y vectores\(\vec{x}_1, \vec{x}_2\). Let\[\vec{x}_1 = \left [\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array}\right ], \vec{x}_2 = \left [\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array}\right ]\nonumber \]\[\begin{aligned} T\left( k \vec{x}_1 + p \vec{x}_2 \right) &= T \left( k \left [\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array}\right ] + p \left [\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array}\right ] \right) \\ &= T \left( \left [\begin{array}{c} kx_1 \\ ky_1 \\ kz_1 \end{array}\right ] + \left [\begin{array}{c} px_2 \\ py_2 \\ pz_2 \end{array}\right ] \right) \\ &= T \left( \left [\begin{array}{c} kx_1 + px_2 \\ ky_1 + py_2 \\ kz_1 + pz_2 \end{array}\right ] \right) \\ &= \left [\begin{array}{c} (kx_1 + px_2) + (ky_1 + py_2) \\ (kx_1 + px_2)- (kz_1 + pz_2) \end{array}\right ] \\ &= \left [\begin{array}{c} (kx_1 + ky_1) + (px_2 + py_2) \\ (kx_1 - kz_1) + (px_2 - pz_2) \end{array}\right ] \\ &= \left [\begin{array}{c} kx_1 + ky_1 \\ kx_1 - kz_1 \end{array}\right ] + \left [ \begin{array}{c} px_2 + py_2 \\ px_2 - pz_2 \end{array}\right ] \\ &= k \left [\begin{array}{c} x_1 + y_1 \\ x_1 - z_1 \end{array}\right ] + p \left [ \begin{array}{c} x_2 + y_2 \\ x_2 - z_2 \end{array}\right ] \\ &= k T(\vec{x}_1) + p T(\vec{x}_2) \end{aligned}\nonumber \] Then\(T\) There's es una transformación lineal.
Dos ejemplos importantes de transformaciones lineales son la transformación cero y la transformación de identidad. La transformación cero definida por\(T\left( \vec{x} \right) = \vec(0)\) para todos\(\vec{x}\) es un ejemplo de una transformación lineal. De igual manera, la transformación de identidad definida por\(T\left( \vec{x} \right) = \vec(x)\) es también lineal. Tómese el tiempo para probarlos utilizando el método demostrado en Ejemplo\(\PageIndex{2}\).
Comenzamos esta sección discutiendo las transformaciones matriciales, donde la multiplicación por una matriz transforma vectores. Estas transformaciones matriciales son, de hecho, transformaciones lineales.
Dejar\(T:\mathbb{R}^{n}\mapsto \mathbb{R}^{m}\) ser una transformación definida por\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\). Entonces\(T\) es una transformación lineal.
Resulta que cada transformación lineal puede expresarse como una transformación matricial, y así las transformaciones lineales son exactamente las mismas que las transformaciones matriciales.