5.2: La Matriz de una Transformación Lineal I
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- Encontrar la matriz de una transformación lineal con respecto a la base estándar.
- Determinar la acción de una transformación lineal sobre un vector en\(\mathbb{R}^n\).
En los ejemplos anteriores, la acción de las transformaciones lineales consistió en multiplicarse por una matriz. Resulta que este es siempre el caso de las transformaciones lineales. Si\(T\) hay alguna transformación lineal que\(\mathbb{R}^{n}\) mapee a siempre\(\mathbb{R}^{m},\) hay una\(m\times n\) matriz\(A\) con la propiedad que\[T\left(\vec{x}\right) = A\vec{x} \label{matrixoftransf}\] para todos\(\vec{x} \in \mathbb{R}^{n}\).
Dejar\(T:\mathbb{R}^{n}\mapsto \mathbb{R}^{m}\) ser una transformación lineal. Entonces podemos encontrar una matriz\(A\) tal que\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\). En este caso, decimos que\(T\) está determinado o inducido por la matriz\(A\).
He aquí por qué. Supongamos que\(T:\mathbb{R}^{n}\mapsto \mathbb{R}^{m}\) es una transformación lineal y desea encontrar la matriz definida por esta transformación lineal como se describe en\(\eqref{matrixoftransf}\). Tenga en cuenta que\[\vec{x} =\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right] = x_{1}\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right] + x_{2}\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right] +\cdots + x_{n}\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right] = \sum_{i=1}^{n}x_{i}\vec{e}_{i}\nonumber \] donde\(\vec{e}_{i}\) está la\(i^{th}\) columna de\(I_n\), que es el\(n \times 1\) vector que tiene ceros en cada ranura excepto el\(i^{th}\) y un 1 en esta ranura.
Entonces ya que\(T\) es lineal,\[\begin{aligned} T\left( \vec{x} \right)&=\sum_{i=1}^{n}x_{i}T\left( \vec{e}_{i}\right) \\ &=\left[\begin{array}{ccc} | & & | \\ T\left( \vec{e}_{1}\right) & \cdots & T\left( \vec{e}_{n}\right) \\ | & & | \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right] \\ &= A\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right]\end{aligned}\] La matriz deseada se obtiene a partir de la construcción de la\(i^{th}\) columna como\(T\left( \vec{e}_{i}\right) .\) Recordemos que el conjunto\(\left\{ \vec{e}_1, \vec{e}_2, \cdots, \vec{e}_n \right\}\) se llama la base estándar de\(\mathbb{R}^n\). Por lo tanto, la matriz de\(T\) se encuentra aplicando\(T\) a la base estándar. Lo declaramos formalmente como el siguiente teorema.
Dejar\(T: \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{m}\) ser una transformación lineal. Entonces la matriz\(A\) satisfactoria\(T\left(\vec{x}\right)=A\vec{x}\) viene dada por\[A= \left[\begin{array}{ccc} | & & | \\ T\left( \vec{e}_{1}\right) & \cdots & T\left( \vec{e}_{n}\right) \\ | & & | \end{array} \right]\nonumber \] donde\(\vec{e}_{i}\) es la\(i^{th}\) columna de\(I_n\), y luego\(T\left( \vec{e}_{i} \right)\) es la\(i^{th}\) columna de\(A\).
El siguiente Corolario es un resultado esencial.
Una transformación\(T:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m\) es una transformación lineal si y sólo si se trata de una transformación matricial.
Considera el siguiente ejemplo.
Supongamos que\(T\) es una transformación lineal,\(T:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{ R}^{2}\) donde\[T\left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] =\left[\begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \right] ,\ T\left[\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] =\left[\begin{array}{r} 9 \\ -3 \end{array} \right] ,\ T\left[\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] =\left[\begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber \] Encuentra la matriz\(A\) de\(T\) tal que\(T \left( \vec{x} \right)=A\vec{x}\) para todos\(\vec{x}\).
Solución
Por teorema\(\PageIndex{2}\) construimos de\(A\) la siguiente manera:\[A = \left[\begin{array}{ccc} | & & | \\ T\left( \vec{e}_{1}\right) & \cdots & T\left( \vec{e}_{n}\right) \\ | & & | \end{array} \right]\nonumber \]
En este caso,\(A\) será una\(2 \times 3\) matriz, por lo que necesitamos encontrar\(T \left(\vec{e}_1 \right), T \left(\vec{e}_2 \right),\) y\(T \left(\vec{e}_3 \right)\). Por suerte, se nos han dado estos valores para que podamos rellenar\(A\) según sea necesario, utilizando estos vectores como las columnas de\(A\). De ahí que,\[A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 9 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]
En este ejemplo, se nos dieron los vectores resultantes de\(T \left(\vec{e}_1 \right), T \left(\vec{e}_2 \right),\) y\(T \left(\vec{e}_3 \right)\). Construir la matriz\(A\) fue simple, ya que podríamos simplemente usar estos vectores como las columnas de\(A\). El siguiente ejemplo muestra cómo encontrar\(A\) cuando no se nos da el\(T \left(\vec{e}_i \right)\) tan claro.
Supongamos que\(T\) es una transformación lineal,\(T:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}\) y\[T\left[\begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \right] =\left[\begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \right] ,\ T\left[\begin{array}{r} 0 \\ -1 \end{array} \right] =\left[\begin{array}{r} 3 \\ 2 \end{array} \right]\nonumber \] Encuentra la matriz\(A\) de\(T\) tal que\(T \left( \vec{x} \right)=A\vec{x}\) para todos\(\vec{x}\).
Solución
Por teorema\(\PageIndex{2}\) para encontrar esta matriz, necesitamos determinar la acción de\(T\) sobre\(\vec{e}_{1}\) y\(\vec{e}_{2}\). En el Ejemplo 9.9.2, se nos dieron estos vectores resultantes. Sin embargo, en este ejemplo, se nos ha dado\(T\) de dos vectores diferentes. ¿Cómo podemos averiguar la acción de\(T\) on\(\vec{e}_{1}\) y\(\vec{e}_{2}\)? En particular para\(\vec{e}_{1}\), supongamos que existen\(x\) y\(y\) tal que\[\left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array} \right] = x\left[\begin{array}{r} 1\\ 1 \end{array} \right] +y\left[\begin{array}{r} 0 \\ -1 \end{array} \right] \label{matrixvalues}\]
Entonces, dado que\(T\) es lineal,\[T\left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array} \right] = x T\left[\begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \right] +y T\left[\begin{array}{r} 0 \\ -1 \end{array} \right]\nonumber \]
Sustituyendo en valores, esta suma se convierte en\[T\left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array} \right] = x\left[\begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \right] +y\left[\begin{array}{r} 3 \\ 2 \end{array} \right] \label{matrixvalues2}\]
Por lo tanto, si conocemos los valores de\(x\) y\(y\) que satisfacen\(\eqref{matrixvalues}\), podemos sustituirlos en ecuación\(\eqref{matrixvalues2}\). Al hacerlo, encontramos\(T\left(\vec{e}_1\right)\) cuál es la primera columna de la matriz\(A\).
Se procede a encontrar\(x\) y\(y\). Lo hacemos resolviendo\(\eqref{matrixvalues}\), lo que se puede hacer resolviendo el sistema\[\begin{array}{c} x = 1 \\ x - y = 0 \end{array}\nonumber \]
Eso lo vemos\(x=1\) y\(y=1\) es la solución a este sistema. Sustituyendo estos valores en la ecuación\(\eqref{matrixvalues2}\), tenemos\[T\left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array} \right] = 1 \left[\begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \right] + 1 \left[\begin{array}{r} 3 \\ 2 \end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \right] + \left[\begin{array}{r} 3 \\ 2 \end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} 4 \\ 4 \end{array} \right]\nonumber \]
Por lo tanto\(\left[\begin{array}{r} 4 \\ 4 \end{array} \right]\) es la primera columna de\(A\).
El cálculo de la segunda columna se realiza de la misma manera, y se deja como ejercicio.
La matriz resultante\(A\) viene dada por\[A = \left[\begin{array}{rr} 4 & -3 \\ 4 & -2 \end{array} \right]\nonumber \]
Este ejemplo ilustra un procedimiento muy largo para encontrar la matriz de\(A\). Si bien este método es confiable y siempre dará como resultado la matriz correcta\(A\), el siguiente procedimiento proporciona un método alternativo.
Supongamos que\(T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}\) es una transformación lineal. Supongamos que existen vectores\(\left\{ \vec{a}_{1},\cdots ,\vec{a}_{n}\right\}\) en\(\mathbb {R}^{n}\) tal que\(\left[\begin{array}{ccc} \vec{a}_{1} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{array} \right] ^{-1}\) existe, y\[T \left(\vec{a}_{i}\right)=\vec{b}_{i}\nonumber \] Entonces la matriz de\(T\) debe ser de la forma\[\left[\begin{array}{ccc} \vec{b}_{1} & \cdots & \vec{b}_{n} \end{array} \right] \left[\begin{array}{ccc} \vec{a}_{1} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{array} \right] ^{-1}\nonumber \]
Ilustraremos este procedimiento en el siguiente ejemplo. También te puede resultar útil trabajar a través de Ejemplo\(\PageIndex{2}\) usando este procedimiento.
Supongamos que\(T:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3}\) es una transformación lineal y\[T\left[\begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right] =\left[\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] ,T\left[\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] =\left[\begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right] ,T\left[\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] =\left[\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber \] Encuentra la matriz de esta transformación lineal.
Solución
Por Procedimiento\(\PageIndex{1}\),\(A= \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right] ^{-1}\) y\(B=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{array} \right]\)
Entonces, Procedimiento\(\PageIndex{1}\) afirma que la matriz de\(T\) es\[C= BA^{-1} =\left[\begin{array}{rrr} 2 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & -3 & 6 \end{array} \right]\nonumber \]
De hecho, primero puedes verificar que\(T(\vec{x})=C\vec{x}\) para los 3 vectores anteriores:
\[\left[\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & -3 & 6 \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right] =\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] ,\ \left[\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & -3 & 6 \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] =\left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right]\nonumber \]\[\left[\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & -3 & 6 \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] =\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber \]
Pero más generalmente\(T(\vec{x})= C\vec{x}\) para cualquiera\(\vec{x}\). Para ver esto, vamos\(\vec{y}=A^{-1}\vec{x}\) y luego usando linealidad de\(T\):\[T(\vec{x})= T(A\vec{y}) = T \left( \sum_i \vec{y}_i\vec{a}_i \right) = \sum \vec{y}_i T(\vec{a}_i) \sum \vec{y}_i \vec{b}_i = B\vec{y} = BA^{-1}\vec{x} = C\vec{x}\nonumber \]
Recordemos el producto punto discutido anteriormente. Considere el mapa\(\vec{v}\) \(\mapsto\)\(\mathrm{proj}_{\vec{u}}\left( \vec{v}\right)\)que toma un vector a lo transforma a su proyección en un vector dado\(\vec{u}\). Resulta que este mapa es lineal, resultado que se desprende de las propiedades del producto punto. Esto se muestra de la siguiente manera. \[\begin{aligned} \mathrm{proj}_{\vec{u}}\left( k \vec{v}+ p \vec{w}\right) &=\left( \frac{(k \vec{v}+ p \vec{w})\bullet \vec{u}}{ \vec{u}\bullet \vec{u}}\right) \vec{u} \\ &= k \left( \frac{ \vec{v}\bullet \vec{u}}{\vec{u}\bullet \vec{u}}\right) \vec{u}+p \left( { 0.05in}\frac{\vec{w}\bullet \vec{u}}{\vec{u}\bullet \vec{u}}\right) \vec{u} \\ &= k \; \mathrm{proj}_{\vec{u}}\left( \vec{v}\right) +p \; \mathrm{proj} _{\vec{u}}\left( \vec{w}\right) \end{aligned}\]
Considera el siguiente ejemplo.
Dejar\(\vec{u} = \left[\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right]\) y dejar\(T\) ser el mapa de proyección\(T: \mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}^3\) definido por\[T(\vec{v}) = \mathrm{proj}_{\vec{u}}\left( \vec{v}\right)\nonumber \] para cualquiera\(\vec{v} \in \mathbb{R}^3\).
- ¿Esta transformación viene de la multiplicación por una matriz?
- Si es así, ¿cuál es la matriz?
Solución
- Primero, acabamos de ver que\(T (\vec{v}) = \mathrm{proj}_{\vec{u}}\left( \vec{v}\right)\) es lineal. Por lo tanto por Teorema\(\PageIndex{1}\), podemos encontrar una matriz\(A\) tal que\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\).
- Las columnas de la matriz para\(T\) se definen anteriormente como\(T(\vec{e}_{i})\). De ello se deduce que\(T(\vec{e}_{i}) = \mathrm{proj} _{\vec{u}}\left( \vec{e}_{i}\right)\) da la\(i^{th}\) columna de la matriz deseada. Por lo tanto, necesitamos encontrar\[\mathrm{proj}_{\vec{u}}\left( \vec{e}_{i}\right) = \left( \frac{\vec{e}_{i}\bullet \vec{u}}{\vec{u}\bullet \vec{u}}\right) \vec{u}\nonumber \] Para el vector dado\(\vec{u}\), esto implica que las columnas de la matriz deseada son las\[ \frac{1}{14}\left[\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right] , \frac{2}{14}\left[\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right] , \frac{3}{14}\left[\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right]\nonumber \] cuales puedes verificar. De ahí que la matriz de\(T\) es\[ \frac{1}{14}\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{array} \right]\nonumber\]