5.3: Propiedades de las Transformaciones Lineales
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- Utilizar propiedades de transformaciones lineales para resolver problemas.
- Encontrar el compuesto de transformaciones y el inverso de una transformación.
Dejar\(T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m\) ser una transformación lineal. Después hay algunas propiedades importantes de las\(T\) cuales serán examinadas en esta sección. Considera el siguiente teorema.
Propiedades de Transformaciones Linealespropiedades Dejar\(T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m\) ser una transformación lineal y dejar\(\vec{x} \in \mathbb{R}^n\).
- \(T\)conserva el vector cero. \[T(0\vec{x}) = 0 T(\vec{x}). \mbox{ Hence }T(\vec{0}) = \vec{0}\nonumber\]
- \(T\)conserva el negativo de un vector:\[T( (-1)\vec{x})=(-1)T(\vec{x}). \mbox{ Hence }T(-\vec{x}) = -T(\vec{x}).\nonumber\]
- \(T\)conserva combinaciones lineales:\[\mbox{Let }\vec{x}_1, ..., \vec{x}_k \in \mathbb{R}^n \mbox{ and }a_1, ..., a_k \in \mathbb{R}.\nonumber\]\[\mbox{Then if }\vec{y} = a_1\vec{x}_1 + a_2\vec{x}_2 + ...+a_k \vec{x}_k, \mbox{it follows that }\nonumber\]\[T(\vec{y}) = T(a_1\vec{x}_1 + a_2\vec{x}_2 + ...+a_k \vec{x}_k) = a_1T(\vec{x}_1) + a_2T(\vec{x}_2) + ...+a_k T(\vec{x}_k).\nonumber\]
Estas propiedades son útiles para determinar la acción de una transformación sobre un vector dado. Considera el siguiente ejemplo.
Dejar\(T:\mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}^4\) ser una transformación lineal tal que\[T \left [ \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 0 \\ -2 \end{array} \right ], T \left [ \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 5 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{r} 4 \\ 5 \\ -1 \\ 5 \end{array} \right ]\nonumber\] Find\(T \left [ \begin{array}{r} -7 \\ 3 \\ -9 \end{array} \right ]\).
Solución
Usando la tercera propiedad en el Teorema 9.6.1, podemos encontrar\(T \left [ \begin{array}{r} -7 \\ 3 \\ -9 \end{array} \right ]\) escribiendo\(\left [ \begin{array}{r} -7 \\ 3 \\ -9 \end{array} \right ]\) como una combinación lineal de\(\left [ \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right ]\) y\(\left [ \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 5 \end{array} \right ]\).
Por lo tanto queremos encontrar\(a,b \in \mathbb{R}\) tal que\[\left [ \begin{array}{r} -7 \\ 3 \\ -9 \end{array} \right ] = a \left [ \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right ] + b \left [ \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 5 \end{array} \right ]\nonumber \]
La matriz aumentada necesaria y la forma de escalón de fila-escalón reducida resultante están dadas por:\[\left [ \begin{array}{rr|r} 1 & 4 & -7 \\ 3 & 0 & 3 \\ 1 & 5 & -9 \end{array} \right ] \rightarrow \cdots \rightarrow \left [ \begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \]
De ahí\(a = 1, b = -2\) y\[\left [ \begin{array}{r} -7 \\ 3 \\ -9 \end{array} \right ] = 1 \left [ \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right ] + (-2) \left [ \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 5 \end{array} \right ]\nonumber \]
Ahora, usando la tercera propiedad anterior, tenemos\[\begin{aligned} T \left [ \begin{array}{r} -7 \\ 3 \\ -9 \end{array} \right ] &=T \left( 1 \left [ \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right ] + (-2) \left [ \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 5 \end{array} \right ] \right) \\ &= 1T \left [ \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right ] -2T \left [ \begin{array}{r} 4 \\ 0 \\ 5 \end{array} \right ] \\ &= \left [ \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 0 \\ -2 \end{array} \right ] -2 \left [ \begin{array}{r} 4 \\ 5 \\ -1 \\ 5 \end{array} \right ] \\ &= \left [ \begin{array}{r} -4 \\ -6 \\ 2 \\ -12 \end{array} \right ]\end{aligned}\]
Por lo tanto,\(T \left [ \begin{array}{r} -7 \\ 3 \\ -9 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{r} -4 \\ -6 \\ 2 \\ -12 \end{array} \right ]\).
Supongamos que dos transformaciones lineales actúan de la misma manera\(\vec{x}\) para todos los vectores. Entonces decimos que estas transformaciones son iguales.
Dejar\(S\) y\(T\) ser transformaciones lineales de\(\mathbb{R}^n\) a\(\mathbb{R}^m\). Entonces\(S = T\) si y solo si por cada\(\vec{x} \in \mathbb{R}^n\),\[S \left( \vec{x} \right) = T \left( \vec{x} \right)\nonumber \]
Supongamos que dos transformaciones lineales actúan sobre un mismo vector\(\vec{x}\), primero la transformación\(T\) y luego una segunda transformación dada por\(S\). Podemos encontrar la transformación compuesta que resulta de aplicar ambas transformaciones.
Dejar\(T: \mathbb{R}^k \mapsto \mathbb{R}^n\) y\(S: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m\) ser transformaciones lineales. Entonces el compuesto de\(S\) y\(T\) es\[S \circ T: \mathbb{R}^k \mapsto \mathbb{R}^m\nonumber\] La acción de\(S \circ T\) viene dada por\[(S \circ T) (\vec{x}) = S(T(\vec{x})) \; \mbox{for all} \; \vec{x} \in \mathbb{R}^k\nonumber\]
Observe que el vector resultante estará en\(\mathbb{R}^m\). Tenga cuidado de observar el orden de las transformaciones. Escribimos\(S \circ T\) pero aplicamos\(T\) primero la transformación, seguido de\(S\).
Dejar\(T: \mathbb{R}^k \mapsto \mathbb{R}^n\) y\(S: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m\) ser transformaciones lineales tales que\(T\) es inducida por la matriz\(A\) y\(S\) es inducida por la matriz\(B\). Entonces\(S \circ T\) es una transformación lineal la cual es inducida por la matriz\(BA\).
Considera el siguiente ejemplo.
Dejar\(T\) ser una transformación lineal inducida por la matriz\[A = \left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \] y\(S\) una transformación lineal inducida por la matriz\[B = \left [ \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} \right ]\nonumber \] Encontrar la matriz de la transformación compuesta\(S \circ T\). Entonces, encuentra\((S \circ T)(\vec{x})\) para\(\vec{x} = \left [ \begin{array}{r} 1 \\ 4 \end{array} \right ]\).
Solución
Por teorema\(\PageIndex{2}\), la matriz de\(S \circ T\) viene dada por\(BA\). \[BA = \left [ \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rr} 8 & 4 \\ 2 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \]
Para encontrar\((S \circ T)(\vec{x})\), multiplicar\(\vec{x}\) por de\(BA\) la siguiente manera\[\left [ \begin{array}{rr} 8 & 4 \\ 2 & 0 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rr} 1 \\ 4 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{r} 24 \\ 2 \end{array} \right ]\nonumber \]
Para verificar, primero determine\(T(\vec{x})\):\[\left [ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{r} 1 \\ 4 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{r} 9 \\ 2 \end{array} \right ]\nonumber \]
Luego, compute de\(S(T(\vec{x}))\) la siguiente manera:\[\left [ \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{r} 9 \\ 2 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{r} 24 \\ 2 \end{array} \right ]\nonumber \]
Consideremos una transformación compuesta\(S \circ T\), y supongamos que esta transformación actuó de tal manera que\((S \circ T) (\vec{x}) = \vec{x}\). Es decir, la transformación\(S\) tomó el vector\(T(\vec{x})\) y lo devolvió a\(\vec{x}\). En este caso,\(S\) y\(T\) son inversos el uno del otro. Considera la siguiente definición.
Dejar\(T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n\) y\(S:\mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n\) ser transformaciones lineales. Supongamos que para cada uno\(\vec{x} \in \mathbb{R}^n\),\[(S \circ T)(\vec{x}) = \vec{x}\nonumber \] y\[(T \circ S)(\vec{x}) = \vec{x}\nonumber \] Entonces,\(S\) se llama un inverso de\(T\) y\(T\) se llama un inverso de\(S\). Geométricamente, invierten la acción de los demás.
El siguiente teorema es crucial, ya que afirma que las transformaciones inversas anteriores son únicas.
Dejar\(T:\mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n\) ser una transformación lineal inducida por la matriz\(A\). Entonces\(T\) tiene una transformación inversa si y sólo si la matriz\(A\) es invertible. En este caso, la transformación inversa es única y denotada\(T^{-1}: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n\). \(T^{-1}\)es inducido por la matriz\(A^{-1}\).
Considera el siguiente ejemplo.
Dejar\(T: \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^2\) ser una transformación lineal inducida por la matriz\[A = \left [ \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{array} \right ]\nonumber\] Mostrar que\(T^{-1}\) existe y encontrar la matriz por la\(B\) que es inducida.
Solución
Dado que la matriz\(A\) es invertible, se deduce que la transformación\(T\) es invertible. Por lo tanto,\(T^{-1}\) existe.
Se puede verificar que\(A^{-1}\) viene dado por:\[A^{-1} = \left [ \begin{array}{rr} -4 & 3 \\ 3 & -2 \end{array} \right ]\nonumber \] Por lo tanto, la transformación lineal\(T^{-1}\) es inducida por la matriz\(A^{-1}\).