9.1: Consideraciones algebraicas

Resultados

1. Desarrollar el concepto abstracto de un espacio vectorial a través de axiomas.
2. Deducir las propiedades básicas de los espacios vectoriales.
3. Utilice los axiomas del espacio vectorial para determinar si un conjunto y sus operaciones constituyen un espacio vectorial.

En esta sección consideramos la idea de un espacio vectorial abstracto. Un espacio vectorial es algo que tiene dos operaciones que satisfacen los siguientes axiomas espaciales vectoriales.

Definición\(\PageIndex{1}\): Vector Space

Un espacio vectorial\(V\) es un conjunto de vectores con dos operaciones definidas, suma y multiplicación escalar, que satisfacen los axiomas de suma y multiplicación escalar.

En la siguiente definición definimos dos operaciones; suma vectorial, denotada por\(+\) y multiplicación escalar denotada colocando el escalar junto al vector. Un espacio vectorial no necesita tener operaciones habituales, y por esta razón las operaciones siempre se darán en la definición del espacio vectorial. Los siguientes axiomas para la adición (escrito +) y la multiplicación escalar deben sostenerse para, sin embargo, la suma y la multiplicación escalar se definen para el espacio vectorial.

Es importante señalar que hemos visto mucho de este contenido antes, en términos de\(\mathbb{R}^n\). Demostraremos en esta sección que\(\mathbb{R}^n\) es un ejemplo de un espacio vectorial y por lo tanto todas las discusiones en este capítulo se referirán a\(\mathbb{R}^n\). Si bien puede ser útil considerar todos los conceptos de este capítulo en términos de\(\mathbb{R}^n\), también es importante entender que estos conceptos se aplican a todos los espacios vectoriales.

En la siguiente definición, elegiremos escalares\(a,b\) para que sean números reales y así estamos tratando con espacios vectoriales reales. Sin embargo, también podríamos elegir escalares que son números complejos. En este caso, llamaríamos al\(V\) complejo espacial vectorial.

Definición\(\PageIndex{2}\): Axioms of Addition

Dejar\(\vec{v}, \vec{w}, \vec{z}\) ser vectores en un espacio vectorial\(V\). Entonces satisfacen los siguientes axiomas de adición:

• Cerrado bajo Adición\[\mbox{If}\; \vec{v}, \vec{w} \;\mbox{are in}\; V, \;\mbox{then}\; \vec{v}+\vec{w} \;\mbox{is also in}\; V.\nonumber \]
• La Ley Conmutativa de la Adición\[\vec{v}+\vec{w}=\vec{w}+\vec{v}\nonumber \]
• La Ley Asociativa de la Adición\[\left( \vec{v}+\vec{w}\right) +\vec{z}=\vec{v}+\left( \vec{w}+ \vec{z}\right)\nonumber \]
• La existencia de una identidad aditiva\[\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}\nonumber \]
• La existencia de una inversa aditiva\[\vec{v}+\left( -\vec{v}\right) =\vec{0}\nonumber \]

vectorespacioaxiomasadición

Definición\(\PageIndex{3}\): Axioms of Scalar Multiplication

Dejar\(a, b \in \mathbb{R}\) y dejar\(\vec{v}, \vec{w}, \vec{z}\) ser vectores en un espacio vectorial\(V\). Entonces satisfacen los siguientes axiomas de multiplicación escalar:

• Cerrado bajo Multiplicación Escalar\[\mbox{If}\; a \;\mbox{is a real number, and}\; \vec{v} \;\mbox{is in}\; V, \;\mbox{then}\; a\vec{v} \;\mbox{is in}\; V.\nonumber\]
• \[a \left( \vec{v}+\vec{w}\right) = a \vec{v}+ a \vec{w} \nonumber \]
• \[\left( a + b \right) \vec{v}= a \vec{v}+ b \vec{v} \nonumber \]
• \[a \left( b \vec{v}\right) = (a b) \vec{v} \nonumber \]
• \[1\vec{v}=\vec{v} \nonumber \]

Consideremos el siguiente ejemplo, en el que demostramos que de hecho\(\mathbb{R}^n\) es un espacio vectorial.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): \(\mathbb{R}^n\)

\(\mathbb{R}^n\), bajo las operaciones habituales de adición de vectores y multiplicación escalar, es un espacio vectorial.

Solución

Para mostrar que\(\mathbb{R}^n\) es un espacio vectorial, necesitamos mostrar que los axiomas anteriores se mantienen. Dejen\(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\) ser vectores adentro\(\mathbb{R}^n\). Primero probamos los axiomas para la adición de vectores.

• Para mostrar que\(\mathbb{R}^n\) se cierra bajo suma, debemos demostrar que para dos vectores en\(\mathbb{R}^n\) su suma también está en\(\mathbb{R}^n\). La suma\(\vec{x} + \vec{y}\) viene dada por:\[\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right] + \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ \vdots \\ x_n + y_n \end{array}\right]\nonumber \] La suma es un vector con\(n\) entradas, mostrando que está en\(\mathbb{R}^n\). De ahí\(\mathbb{R}^n\) que se cierre bajo adición de vector.
• Para demostrar que la adición es conmutativa, considere lo siguiente:\[\begin{aligned} \vec{x} + \vec{y} &= \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{c} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ \vdots \\ x_n + y_n \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{c} y_1 + x_1 \\ y_2 + x_2 \\ \vdots \\ y_n + x_n \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] \\ &= \vec{y} + \vec{x}\end{aligned}\] De ahí que la adición de vectores en\(\mathbb{R}^n\) sea conmutativa.
• Mostraremos que la adición de vectores en\(\mathbb{R}^n\) es asociativa de manera similar. \[\begin{aligned} (\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} &= \left( \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right] \right) + \left[ \begin{array}{c} z_1 \\ z_2 \\ \vdots \\ z_n \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{c} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ \vdots \\ x_n + y_n \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} z_1 \\ z_2 \\ \vdots \\ z_n \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{c} (x_1 + y_1) + z_1 \\ (x_2 + y_2) + z_2\\ \vdots \\ (x_n + y_n) + z_n \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{c} x_1 + (y_1 + z_1) \\ x_2 + (y_2 + z_2)\\ \vdots \\ x_n + (y_n + z_n) \end{array} \right ) \\ &= \left ( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} y_1 + z_1 \\ y_2 + z_2\\ \vdots \\ y_n + z_n \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] + \left( \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} z_1 \\ z_2 \\ \vdots \\ z_n \end{array} \right] \right) \\ &= \vec{x} + \left( \vec{y} + \vec{z} \right)\end{aligned}\]De ahí que la adición de vectores sea asociativa.
• A continuación, mostramos la existencia de una identidad aditiva. Let\(\vec{0} = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right].\)\[\begin{aligned}\vec{x}+\vec{0}&=\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ \vdots \\x_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\0\\ \vdots \\0\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{c}x_1+0 \\ x_2+0 \\ \vdots \\ x_n+0\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end{array}\right] \\ &=\vec{x}\end{aligned}\] Por lo tanto, el vector cero\(\vec{0}\) es una identidad aditiva.
• A continuación, demostramos la existencia de una inversa aditiva. Vamos\(-\vec{x} = \left ( \begin{array}{c} -x_1 \\ -x_2 \\ \vdots \\ -x_n \end{array}\right )\). \[\begin{aligned}\vec{x}+(-\vec{x})&=\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-x_1 \\ -x_2\\ \vdots \\ -x_n\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{c}x_1-x_1 \\ x_2-x_2 \\ \vdots \\ x_n-x_n\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{c}0\\0\\ \vdots\\0\end{array}\right] \\ &=\vec{0}\end{aligned}\]De ahí\(-\vec{x}\) que sea una inversa aditiva.

Ahora necesitamos probar los axiomas relacionados con la multiplicación escalar. \(a,b\)Dejen ser números reales y dejar que\(\vec{x}, \vec{y}\) sean vectores adentro\(\mathbb{R}^n\).

• Primero mostramos que\(\mathbb{R}^n\) se cierra bajo multiplicación escalar. Para ello, mostramos que también\(a\vec{x}\) es un vector con\(n\) entradas. \[a\vec{x} = a\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} ax_1 \\ ax_2 \\ \vdots \\ ax_n \end{array} \right]\nonumber \]El vector\(a\vec{x}\) es nuevamente un vector con\(n\) entradas, mostrando que\(\mathbb{R}^n\) se cierra bajo multiplicación escalar.
• Eso queremos demostrarlo\(a (\vec{x} + \vec{y}) = a\vec{x} + a\vec{y}\). \[\begin{aligned}a(\vec{x}+\vec{y})&=a\left(\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ \vdots x_n\end{array}\right]\right)\\ &=a\left[\begin{array}{c}x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ \vdots \\ x_n+y_n\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{c}a(x_1+y_1) \\ a(x_2+y_2) \\ \vdots \\ a(x_n+y_n)\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{c}ax_1+ay_1 \\ ax_2+ay_2 \\ \vdots \\ ax_n+ay_n\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{c}ax_1 \\ ax_2 \\ \vdots \\ ax_n\end{array}\right] +\left[\begin{array}{c}ay_1\\ay_2\\ \vdots\\ay_n\end{array}\right] \\ &=a\vec{x}+a\vec{y}\end{aligned}\]
• A continuación, queremos demostrarlo\((a+b)\vec{x} = a\vec{x} + b\vec{x}\). \[\begin{aligned}(a+b)\vec{x}&=(a+b)\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{c}(a+b)x_1 \\ (a+b)x_2 \\ \vdots \\ (a+b)x_n\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{c}ax_1+bx_1 \\ ax_2+bx_2\\ \vdots \\ ax_n+bx_n\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{c}ax_1 \\ ax_2 \\ \vdots \\ ax_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{x}bx_1 \\ bx_2\\ \vdots \\ bx_n\end{array}\right] \\ &=a\vec{x}+b\vec{x}\end{aligned}\]
• Eso queremos demostrarlo\(a(b\vec{x}) = (ab) \vec{x}\). \[\begin{aligned} a(b\vec{x}) &= a\left(b \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] \right) \\ &= a\left( \left[ \begin{array}{c} bx_1 \\ bx_2 \\ \vdots \\ bx_n \end{array} \right] \right) \\ &= \left[ \begin{array}{c} a(bx_1) \\ a(bx_2) \\ \vdots \\ a(bx_n) \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{c} (ab)x_1 \\ (ab)x_2 \\ \vdots \\ (ab)x_n \end{array} \right] \\ &= (ab) \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] \\ &= (ab)\vec{x}\end{aligned}\]
• Por último, tenemos que demostrarlo\(1\vec{x} = \vec{x}\). \[\begin{aligned} 1\vec{x} &= 1 \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{c} 1x_1 \\ 1x_2 \\ \vdots \\ 1x_n \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] \\ &= \vec{x}\end{aligned}\]

Por las pruebas anteriores, es claro que\(\mathbb{R}^n\) satisface los axiomas del espacio vectorial. Por lo tanto,\(\mathbb{R}^n\) es un espacio vectorial bajo las operaciones habituales de adición vectorial y multiplicación escalar.

Consideramos ahora algunos ejemplos de espacios vectoriales.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Vector Space of Polynomials

Dejar\(\mathbb{P}_2\) ser el conjunto de todos los polinomios de\(2\) como máximo grado así como el polinomio cero. Definir suma como la adición estándar de polinomios, y la multiplicación escalar la multiplicación habitual de un polinomio por un número. Entonces\(\mathbb{P}_2\) es un espacio vectorial.

Solución

Podemos escribir\(\mathbb{P}_2\) explícitamente como\[\mathbb{P}_2 = \left\{ a_2x^2 + a_1x + a_0 | a_i \in \mathbb{R} \; \mbox{for all} \; i \right\}\nonumber \] Para mostrar que\(\mathbb{P}_2\) es un espacio vectorial, verificamos los axiomas. \(p(x), q(x), r(x)\)Dejen entrar polinomios\(\mathbb{P}_2\) y dejar que\(a,b,c\) sean números reales. Escribir\(p(x)=p_2x^2 + p_1x + p_0\),\(q(x)=q_2x^2 + q_1x + q_0\), y\(r(x)=r_2x^2 + r_1x + r_0\).

• Primero probamos que la adición de polinomios en\(\mathbb{P}_2\) está cerrada. Para dos polinomios en\(\mathbb{P}_2\) necesitamos demostrar que su suma es también un polinomio en\(\mathbb{P}_2\). De la definición de\(\mathbb{P}_2\), un polinomio está contenido en\(\mathbb{P}_2\) si es de grado como máximo\(2\) o el polinomio cero. \[\begin{aligned} p(x) + q(x) &= p_2x^2 + p_1x + p_0 + q_2x^2+ q_1x + q_0 \\ &= (p_2+q_2)x^2 + (p_1+q_1)x + (p_0+q_0) \end{aligned}\]La suma es un polinomio de grado\(2\) y por lo tanto está en\(\mathbb{P}_2\). De ello se deduce que\(\mathbb{P}_2\) se cierra bajo adición.
• Tenemos que demostrar que la adición es conmutativa, es decir\(p(x)+q(x) = q(x) + p(x)\). \[\begin{aligned} p(x) + q(x) &= p_2x^2 + p_1x + p_0 + q_2x^2 + q_1x + q_0\\ &= (p_2+q_2)x^2 + (p_1+q_1)x + (p_0+q_0) \\ &= (q_2+p_2)x^2 + (q_1+p_1)x + (q_0+p_0) \\ &= q_2x^2 + q_1x + q_0 + p_2x^2 + p_1x + p_0\\ &= q(x) + p(x)\end{aligned}\]
• A continuación, tenemos que demostrar que la adición es asociativa. Es decir, eso\((p(x) + q(x)) + r(x) = p(x) + (q(x)+r(x))\). \[\begin{aligned} (p(x) + q(x)) + r(x) &= \left( p_2x^2 +p_1x + p_0 + q_2x^2 + q_1x + q_0 \right) + r_2x^2 +r_1x + r_0 \\ &= (p_2+q_2)x^2 + (p_1+q_1)x + (p_0 +q_0) + r_2x^2 + r_1x + r_0\\ &= (p_2+q_2+r_2)x^2 + (p_1+q_1+r_1)x + (p_0+q_0+r_0) \\ &= p_2x^2 + p_1x + p_0 + (q_2+r_2)x^2 + (q_1+r_1)x + (q_0+r_0) \\ &= p_2x^2 + p_1x + p_0 + \left( q_2x^2 +q_1x + q_0 + r_2x^2 + r_1x + r_0 \right)\\ &= p(x) + \left( q(x) + r(x) \right)\end{aligned}\]
• A continuación, debemos demostrar que existe una identidad aditiva. Vamos\(0(x)=0x^2+0x+0\). \[\begin{aligned} p(x) + 0(x) &= p_2x^2 + p_1x + p_0 + 0x^2 + 0x + 0 \\ &= (p_2 + 0)x^2 + (p_1 + 0)x + (p_0 + 0)\\ &= p_2x^2 + p_1x + p_0 \\ &= p(x)\end{aligned}\]De ahí que exista una identidad aditiva, específicamente el polinomio cero.
• A continuación debemos demostrar que existe una inversa aditiva. Consideremos\(-p(x) = -p_2x^2 - p_1x - p_0\) lo siguiente:\[\begin{aligned} p(x) + (-p(x)) &= p_2x^2 + p_1x + p_0 + \left( - p_2x^2 - p_1x - p_0\right) \\ &= (p_2 - p_2)x^2 + (p_1 - p_1)x + (p_0 - p_0) \\ &= 0x^2 + 0x + 0 \\ &= 0(x)\end{aligned}\] De ahí que\(-p(x)\) exista una inversa aditiva tal que\(p(x) + (-p(x)) = 0(x)\).

Ahora necesitamos verificar los axiomas relacionados con la multiplicación escalar.

• Primero probamos que\(\mathbb{P}_2\) se cierra bajo multiplicación escalar. Es decir, demostramos que también\(ap(x)\) es un polinomio de grado como máximo\(2\). \[ap(x) = a\left( p_2x^2 + p_1x + p_0 \right) = ap_2x^2 +ap_1x+ ap_0\nonumber \]Por lo tanto\(\mathbb{P}_2\) se cierra bajo multiplicación escalar.
• Tenemos que demostrarlo\(a(p(x) + q(x)) = ap(x) + aq(x)\). \[\begin{aligned} a(p(x) + q(x)) &= a \left( p_2x^2 + p_1x + p_0 + q_2x^2 + q_1x + q_0 \right)\\ &= a \left( (p_2+q_2)x^2 + (p_1+q_1)x + (p_0+q_0) \right)\\ &= a(p_2+q_2)x^2 + a(p_1+q_1)x + a(p_0 + q_0) \\ &= (ap_2 + aq_2)x^2 + (ap_1+aq_1)x + (ap_0 + aq_0) \\ &= ap_2x^2 + ap_1x + ap_0 + aq_2x^2 +aq_1x + aq_0\\ &= ap(x) + aq(x) \end{aligned}\]
• A continuación lo demostramos\((a+b) p(x) = ap(x) + bp(x)\). \[\begin{aligned} (a+b) p(x) &= (a+b) ( p_2x^2 + p_1x + p_0)\\ &= (a+b)p_2x^2 + (a+b)p_1x + (a+b)p_0 \\ &= ap_2x^2 + ap_1x + ap_0 + bp_2x^2 +bp_1x + bp_0\\ &= ap(x) + bp(x)\end{aligned}\]
• El siguiente axioma que hay que verificar es\(a(bp(x)) = (ab)p(x)\). \[\begin{aligned} a(bp(x)) &= a \left( b \left(p_2x^2 + p_1x +p_0\right)\right) \\ &= a \left( bp_2x^2 +bp_1x + bp_0 \right)\\ &=abp_2x^2+abp_1x+abp_0 \\ &=(ab)(p_2x^2+p_1x+p_0) \\ &=(ab)p(x)\end{aligned}\]
• Por último, eso lo demostramos\(1p(x) = p(x)\). \[\begin{aligned} 1p(x) &= 1 \left( p_2x^2 + p_1x + p_0\right)\\ &= 1p_2x^2 + 1p_1x + 1p_0\\ &= p_2x^2 + p_1x + p_0\\ &= p(x)\end{aligned}\]Dado que los axiomas anteriores se mantienen, sabemos que\(\mathbb{P}_2\) como se describió anteriormente es un espacio vectorial.

Otro ejemplo importante de un espacio vectorial es el conjunto de todas las matrices del mismo tamaño.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Vector Space of Matrices

\(\mathbb{M}_{2,3}\)Dejen ser el conjunto de todas las\(2 \times 3\) matrices. Utilizando las operaciones habituales de adición matricial y multiplicación escalar, mostrar que\(\mathbb{M}_{2,3}\) es un espacio vectorial.

Solución

\(A, B\)Dejen entrar\(2 \times 3\) matrices\(\mathbb{M}_{2,3}\). Primero probamos los axiomas para la adición.

• Para probar que\(\mathbb{M}_{2,3}\) se cierra bajo adición matricial, mostramos que la suma\(A+B\) está en\(\mathbb{M}_{2,3}\). Esto significa mostrar que\(A+B\) es una\(2 \times 3\) matriz. \[\begin{aligned} A+B &= \left[ \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rrr} b_{11} & b_{12} & b_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{rrr} a_{11} + b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13}\\ a_{21} +b_{21}& a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \end{array} \right]\end{aligned}\]Se puede ver que la suma es una\(2\times 3\) matriz, por lo que está en\(\mathbb{M}_{2,3}\). De ello se deduce que\(\mathbb{M}_{2,3}\) se cierra bajo adición matricial.
• Los axiomas restantes con respecto a la adición de matriz provienen de las propiedades de adición de matriz. Por lo tanto\(\mathbb{M}_{2,3}\) satisface los axiomas de adición de matriz.

Ahora volvemos nuestra atención a los axiomas respecto a la multiplicación escalar. \(A, B\)Dejen entrar matrices\(\mathbb{M}_{2,3}\) y dejar\(c\) ser un número real.

• Primero mostramos que\(\mathbb{M}_{2,3}\) se cierra bajo multiplicación escalar. Es decir, demostramos que es\(cA\) una\(2 \times 3\) matriz. \[\begin{aligned} cA &= c\left[ \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{rrr} ca_{11} & ca_{12} & ca_{13}\\ ca_{21} & ca_{22} & ca_{23} \end{array} \right]\end{aligned}\]Se trata de una\(2 \times 3\) matriz en\(\mathbb{M}_{2,3}\) la que se prueba que el conjunto se cierra bajo multiplicación escalar.
• Los axiomas restantes de multiplicación escalar provienen de propiedades de multiplicación escalar de matrices. Por lo tanto\(\mathbb{M}_{2,3}\) satisface los axiomas de la multiplicación escalar.

En conclusión,\(\mathbb{M}_{2,3}\) satisface los axiomas requeridos y es un espacio vectorial.

Si bien aquí probamos que el conjunto de todas las\(2 \times 3\) matrices es un espacio vectorial, no hay nada especial en esta elección del tamaño de la matriz. De hecho si en cambio consideramos\(\mathbb{M}_{m,n}\), el conjunto de todas las\(m \times n\) matrices, entonces\(\mathbb{M}_{m,n}\) es un espacio vectorial bajo las operaciones de adición de matriz y multiplicación escalar.

Ahora examinamos un ejemplo de un conjunto que no satisface todos los axiomas anteriores, y por lo tanto no es un espacio vectorial.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Not a Vector Space

Dejar\(V\) denotar el conjunto de\(2 \times 3\) matrices. Dejar que la adición en\(V\) sea definida por\(A + B = A\) para matrices\(A,B\) en\(V\). Que la multiplicación escalar\(V\) sea la multiplicación escalar habitual de matrices. Mostrar que no\(V\) es un espacio vectorial.

Solución

Para mostrar que no\(V\) es un espacio vectorial, basta con encontrar un solo axioma que no esté satisfecho. Comenzaremos examinando los axiomas para la adición hasta que se encuentre uno que no se sostiene. \(A,B\)Dejen entrar matrices\(V\).

• Primero queremos verificar si la suma está cerrada. Considerar\(A+B\). Por la definición de adición en el ejemplo, tenemos eso\(A+B = A\). Dado que\(A\) es una\(2 \times 3\) matriz, se deduce que la suma\(A+B\) está en\(V\), y\(V\) se cierra bajo suma.
• Ahora deseamos comprobar si la adición es conmutativa. Es decir, queremos verificar si\(A + B = B + A\) para todas las opciones de\(A\) y\(B\) en\(V\). De la definición de adición, tenemos eso\(A + B = A\) y\(B + A = B\). Por lo tanto, podemos encontrar\(A\),\(B\) en\(V\) tal que estas sumas no sean iguales. Un ejemplo es\[A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], B = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right]\nonumber \] Usando la operación definida por\(A+B=A\), tenemos De\[\begin{aligned}A+B&=A \\ &=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&0\end{array}\right] \\ B+A&=B \\ &=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\end{array}\right]\end{aligned}\] ello se deduce\(A+B\neq B+A\). Por lo tanto, la adición como\(V\) se define para no es conmutativa y\(V\) falla este axioma. De ahí\(V\) que no sea un espacio vectorial.

Consideremos otro ejemplo de un espacio vectorial.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Vector Space of Functions

Dejar\(S\) ser un conjunto no vacío y\(\mathbb{F}_S\) definir como el conjunto de funciones reales definidas en\(S\). En otras palabras, escribimos\(\mathbb{F}_S: S \mapsto \mathbb{R}\). Dejando\(a,b,c\) ser escalares y\(f,g,h\) funciones, las operaciones vectoriales se definen como\[\begin{aligned} \left( f+g\right) \left( x\right) &=f\left( x\right) +g\left( x\right) \\ \left( af\right) \left( x\right) &=a\left( f\left( x\right) \right)\end{aligned}\] Mostrar que\(\mathbb{F}_S\) es un espacio vectorial.

Solución

Para verificar que\(\mathbb{F}_S\) es un espacio vectorial, debemos probar los axiomas comenzando con los de suma. \(f, g, h\)Dejen entrar funciones\(\mathbb{F}_S\).

• Primero verificamos que la suma esté cerrada. Para las funciones\(f, g\) definidas en el conjunto\(S\), su suma dada por\[(f+g)(x) = f(x)+g(x)\nonumber \] es de nuevo una función definida en\(S\). De ahí que esta suma esté en\(\mathbb{F}_S\) y\(\mathbb{F}_S\) se cierre por adición.
• En segundo lugar, comprobamos la ley conmutativa de adición:\[\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right) =g\left( x\right) +f\left( x\right) =\left( g+f\right) \left( x\right)\nonumber \] Ya que\(x\) es arbitraria,\(f+g=g+f\).
• A continuación comprobamos la ley asociativa de adición:\[\left( \left( f+g\right) +h\right) \left( x\right) = \left( f+g\right) \left( x\right) +h\left( x\right) =\left( f\left( x\right) +g\left( x\right) \right) +h\left( x\right)\nonumber \]\[=f\left( x\right) +\left( g\left( x\right) +h\left( x\right) \right) =\left( f\left( x\right) +\left( g+h\right) \left( x\right) \right) =\left( f+\left( g+h\right) \right) \left( x\right)\nonumber \] y así\(\left( f+g\right) +h=f+\left( g+h\right) .\)
• A continuación comprobamos si hay una identidad aditiva. Dejar\(0\) denotar la función que viene dada por\(0\left( x\right) =0.\) Entonces esta es una identidad aditiva porque\[\left( f+0\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +0\left( x\right) =f\left( x\right)\nonumber \] y así\(f+0=f\).
• Por último, verificar si hay una inversa aditiva. \(-f\)Sea la función que satisface\(\left( -f\right) \left( x\right) = -f\left( x\right) .\) Entonces\[\left( f+\left( -f\right) \right) \left( x\right) = f\left( x\right) +\left( -f\right) \left( x\right) = f\left( x\right) +-f\left( x\right) =0\nonumber \] De ahí\(f+\left( -f\right) =0\).

Ahora, revisa los axiomas para ver si hay multiplicación escalar.

• Primero tenemos que verificar que\(\mathbb{F}_S\) esté cerrado bajo multiplicación escalar. Para una función\(f(x)\) en\(\mathbb{F}_S\) y número real\(a\), la función\((af)(x) = a(f(x))\) es nuevamente una función definida en el conjunto\(S\). De ahí\(a(f(x))\) está adentro\(\mathbb{F}_S\) y\(\mathbb{F}_S\) se cierra bajo multiplicación escalar.
• \[\left( \left( a+b\right) f\right) \left( x\right) = \left( a+b\right) f\left( x\right) =af\left( x\right) +bf\left( x\right) = \left( af+bf\right) \left( x\right)\nonumber \]y así\(\left( a+b\right) f=af+bf\).
• \[\left( a\left( f+g\right) \right) \left( x\right) = a\left( f+g\right) \left( x\right) = a\left( f\left( x\right) +g\left( x\right) \right)\nonumber \]\[=af\left( x\right) +bg\left( x\right) = \left( af+bg\right) \left( x\right)\nonumber \]y así\(a\left( f+g\right) =af+bg\).
• \[\left( \left( ab\right) f\right) \left( x\right) = \left( ab\right) f\left( x\right) =a\left( bf\left( x\right) \right) = \left( a\left( bf\right) \right) \left( x\right)\nonumber \]así\(\left( abf\right) =a\left( bf\right)\).
• Por último\(\left( 1f\right) \left( x\right) = 1f\left( x\right) =f\left( x\right)\) así\(1f=f\).

De ello se deduce que\(V\) satisface todos los axiomas requeridos y es un espacio vectorial.

Considera el siguiente teorema importante.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Uniqueness

En cualquier espacio vectorial, los siguientes son ciertos:

1. \(\vec{0}\), la identidad aditiva, es única
2. \(-\vec{x}\), el inverso aditivo, es único
3. \(0\vec{x}=\vec{0}\)para todos los vectores\(\vec{x}\)
4. \(\left( -1\right) \vec{x}=-\vec{x}\)para todos los vectores\(\vec{x}\)

Prueba

1. Cuando decimos que la identidad aditiva,\(\vec{0}\), es única, queremos decir que si un vector actúa como la identidad aditiva, entonces es la identidad aditiva. Para probar esta singularidad, queremos mostrar que otro vector que actúa como la identidad aditiva es realmente igual a\(\vec{0}\). Supongamos que también\(\vec{0}^{\prime }\) es una identidad aditiva. Entonces,\[\vec{0} + \vec{0}^{\prime} = \vec{0}\nonumber \] Ahora, para\(\vec{0}\) la identidad aditiva dada anteriormente en los axiomas, tenemos eso\[\vec{0}^{\prime} + \vec{0} = \vec{0}^{\prime}\nonumber \] Así por la propiedad conmutativa:\[0 = 0 + 0^{\prime} = 0^{\prime} + 0 = 0^{\prime}\nonumber \] Esto dice que si un vector actúa como una identidad aditiva (tal como\(\vec{0}^{\prime}\)), de hecho es igual\(\vec{0}\). Esto demuestra la singularidad de\(\vec{0}\).
2. Cuando decimos que la inversa aditiva,\(-\vec{x}\), es única, queremos decir que si un vector actúa como la inversa aditiva, entonces es la inversa aditiva. Supongamos que\(\vec{y}\) actúa como una inversa aditiva:\[\vec{x}+\vec{y}=\vec{0}\nonumber \] Entonces se sostiene lo siguiente:\[\vec{y} = \vec{0} + \vec{y} = (-\vec{x} + \vec{x}) + \vec{y} = -\vec{x} + (\vec{x} + \vec{y}) = -\vec{x} + \vec{0} = -\vec{x}\nonumber \] Así, si\(\vec{y}\) actúa como la inversa aditiva, es igual a la inversa aditiva\(-\vec{x}\). Esto demuestra la singularidad de\(-\vec{x}\).
3. Esta afirmación afirma que para todos los vectores\(\vec{x}\), la multiplicación escalar por\(0\) es igual al vector cero\(\vec{0}\). Considera lo siguiente, usando el hecho de que podemos escribir\(0=0+0\):\[0\vec{x}=\left( 0+0\right) \vec{x}=0\vec{x}+0\vec{x}\nonumber \] Aquí usamos un pequeño truco: agregar\(-0\vec{x}\) a ambos lados. Esto da\[\begin{aligned} 0\vec{x} + (-0\vec{x})&=0\vec{x}+0\vec{x}+(-\vec{x})\\ \vec{0} + 0 &=0\vec{x} + 0 \\ \vec{0} &= 0\vec{x}\end{aligned}\] Esto demuestra que la multiplicación escalar de cualquier vector por\(0\) resulta en el vector cero\(\vec{0}\).
4. Finalmente, deseamos mostrar que la multiplicación escalar de\(-1\) y cualquier vector\(\vec{x}\) da como resultado la inversa aditiva de ese vector,\(-\vec{x}\). Recordemos desde\(2.\) arriba que el inverso aditivo es único. Considera lo siguiente:\[\begin{aligned} \left( -1\right) \vec{x}+\vec{x} & =\left( -1\right) \vec{x}+1\vec{x}\\ &=\left(-1+1\right) \vec{x} \\ &=0\vec{x} \\ &=\vec{0}\end{aligned}\] Por la singularidad del inverso aditivo mostrado anteriormente, cualquier vector que actúe como el inverso aditivo debe ser igual al inverso aditivo. De ello se deduce que\(\left( -1\right) \vec{x}=-\vec{x}\).

Un uso importante de la inversa aditiva es el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(V\) ser un espacio vectorial. Entonces\(\vec{v} + \vec{w} = \vec{v} + \vec{z}\) implica que\(\vec{w} = \vec{z}\) para todos\(\vec{v}, \vec{w}, \vec{z} \in V\)

Prueba

La prueba se desprende de los axiomas del espacio vectorial, en particular la existencia de una inversa aditiva (\(-\vec{u}\)). La prueba se deja como ejercicio al lector.