9.5: Sumas e intersecciones

Resultados

1. Mostrar que la suma de dos subespacios es un subespacio.
2. Mostrar que la intersección de dos subespacios es un subespacio.

Comenzamos esta sección con una definición.

Definición\(\PageIndex{1}\): Sum and Intersection

Dejar\(V\) ser un espacio vectorial, y dejar\(U\) y\(W\) ser subespacios de\(V\). Entonces

1. \(U+W = \{ \vec{u}+\vec{w} ~|~ \vec{u}\in U\mbox{ and } \vec{w}\in W\}\)y se llama la suma de\(U\) y\(W\).
2. \(U\cap W = \{ \vec{v} ~|~ \vec{v}\in U\mbox{ and } \vec{v}\in W\}\)y se llama la intersección de\(U\) y\(W\).

Por lo tanto, la intersección de dos subespacios es todos los vectores compartidos por ambos. Si no hay vectores compartidos por ambos subespacios, lo que significa que\(U \cap W = \left\{ \vec{0} \right\}\), la suma\(U+W\) toma un nombre especial.

Definición\(\PageIndex{2}\): Direct Sum

Dejar\(V\) ser un espacio vectorial y supongamos\(U\) y\(W\) son subespacios de\(V\) tal manera que\(U \cap W = \left\{ \vec{0} \right\}\). Entonces la suma de\(U\) y\(W\) se llama la suma directa y se denota\(U \oplus W\).

Un resultado interesante es que tanto la suma\(U + W\) como la intersección\(U \cap W\) son subespacios de\(V\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Intersection is a Subspace

Dejar\(V\) ser un espacio vectorial y supongamos\(U\) y\(W\) son subespacios. Entonces la intersección\(U \cap W\) es un subespacio de\(V\).

Solución

Por la prueba subespacial, debemos mostrar tres cosas:

1. \(\vec{0} \in U \cap W\)
2. Para vectores\(\vec{v}_1, \vec{v}_2 \in U \cap W, \vec{v}_1+\vec{v}_2 \in U \cap W\)
3. Para escalar\(a\) y vector\(\vec{v} \in U \cap W, a\vec{v} \in U \cap W\)

Se procede a mostrar que cada una de estas tres condiciones se mantienen.

1. Dado que\(U\) y\(W\) son subespacios de\(V\), cada uno contiene\(\vec{0}\). Por definición de la intersección,\(\vec{0} \in U \cap W\).
2. Vamos\(\vec{v}_1, \vec{v}_2 \in U \cap W,\). Entonces en particular,\(\vec{v}_1, \vec{v}_2 \in U\). Ya que\(U\) es un subespacio, de ello se deduce que\(\vec{v}_1+\vec{v}_2 \in U\). El mismo argumento se sostiene para\(W\). Por lo tanto\(\vec{v}_1+\vec{v}_2\) está en ambos\(U\)\(W\) y y por definición también está en\(U \cap W\).
3. Dejar\(a\) ser un escalar y\(\vec{v} \in U \cap W\). Entonces en particular,\(\vec{v} \in U\). Ya que\(U\) es un subespacio, de ello se deduce que\(a \vec{v} \in U\). El mismo argumento sostiene para\(W\) así\(a\vec{v}\) está en ambos\(U\) y\(W\). Por definición, está en\(U \cap W\).

Por lo tanto\(U \cap W\) es un subespacio de\(V\).

También se puede demostrar que\(U + W\) es un subespacio de\(V\).

Concluimos esta sección con un importante teorema sobre la dimensión.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Dimension of Sum

Dejar\(V\) ser un espacio vectorial con subespacios\(U\) y\(W\). Supongamos\(U\) y\(W\) cada uno tiene dimensión finita. Entonces\(U + W\) también tiene dimensión finita que viene dada por\[\mathrm{dim} (U+W) = \mathrm{dim}(U) + \mathrm{dim}(W) - \mathrm{dim} (U \cap W)\nonumber \]

Observe que cuando\(U \cap W = \left\{ \vec{0} \right\}\), la suma se convierte en la suma directa y la ecuación anterior se convierte en\[\mathrm{dim} (U \oplus W) = \mathrm{dim}(U) + \mathrm{dim}(W)\nonumber \]