9.6: Transformaciones lineales

Resultados

1. Comprender la definición de una transformación lineal en el contexto de los espacios vectoriales.

Recordemos que una función es simplemente una transformación de un vector para dar como resultado un nuevo vector. Considera la siguiente definición.

Definición\(\PageIndex{1}\): Linear Transformation

Dejar\(V\) y\(W\) ser espacios vectoriales. Supongamos que\(T: V \mapsto W\) es una función, donde para cada\(\vec{x} \in V ,T\left(\vec{x}\right)\in W.\) Entonces\(T\) es una transformación lineal si siempre\(k ,p\) son escalares y\(\vec{v}_1\) y\(\vec{v}_2\) son vectores en\(V\)\[T\left( k \vec{v}_1 + p \vec{v}_2 \right) = kT\left(\vec{v}_1\right)+ pT\left(\vec{v}_{2} \right)\nonumber \]

Varios ejemplos importantes de transformaciones lineales incluyen la transformación cero, la transformación de identidad y la transformación escalar.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Linear Transformations

Dejar\(V\) y\(W\) ser espacios vectoriales.

1. La transformación cero
   \(0:V\to W\) se define por\(0(\vec{v})=\vec{0}\) para todos\(\vec{v}\in V\).
2. La transformación de la identidad
   \(1_V:V\to V\) se define por\(1_V(\vec{v})=\vec{v}\) para todos\(\vec{v}\in V\).
3. La transformación escalar Let\(a\in\mathbb{R}\).
   \(s_a:V\to V\)se define por\(s_a(\vec{v})=a\vec{v}\text{ for all }\vec{v}\in V\).

Solución

Mostraremos que la transformación escalar\(s_a\) es lineal, el resto se deja como ejercicio.

Por Definición\(\PageIndex{1}\) debemos demostrar que para todos los escalares\(k ,p\) y vectores\(\vec{v}_1\) y\(\vec{v}_2\) en\(V\),\(s_a\left( k \vec{v}_1 + p \vec{v}_2 \right) = k s_a\left(\vec{v}_1\right)+ p s_a\left(\vec{v}_{2} \right)\). Supongamos que también\(a\) es un escalar. \[\begin{aligned} s_a\left( k \vec{v}_1 + p \vec{v}_2 \right) &= a \left( k \vec{v}_1 + p \vec{v}_2 \right) \\ &= ak \vec{v}_1 + ap \vec{v}_2 \\ &= k \left(a \vec{v}_1\right) + p\left(a \vec{v}_2\right) \\ &= k s_a\left( \vec{v}_1 \right) + p s_a \left(\vec{v}_2 \right)\end{aligned}\]Por lo tanto,\(s_a\) es una transformación lineal.

Considera el siguiente teorema importante.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Properties of Linear Transformations

Dejar\(V\) y\(W\) ser espacios vectoriales, y\(T:V \mapsto W\) una transformación lineal. Entonces

1. \(T\)conserva el vector cero. \[T(\vec{0})=\vec{0}\nonumber \]
2. \(T\)conserva las inversas aditivas. Para todos\(\vec{v}\in V\),\[T(-\vec{v})= -T(\vec{v})\nonumber \]
3. \(T\)conserva combinaciones lineales. Para todos\(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_m \in V\) y para todos\(k_1, k_2, \ldots, k_m\in\mathbb{R}\),\[T(k_1\vec{v}_1 + k_2\vec{v}_2 + \cdots + k_m\vec{v}_m) = k_1T(\vec{v}_1) + k_2T(\vec{v}_2) + \cdots + k_mT(\vec{v}_m).\nonumber \]

Prueba

1. Dejar\(\vec{0}_V\) denotar el vector cero de\(V\) y let\(\vec{0}_W\) denotar el vector cero de\(W\). Eso queremos demostrarlo\(T(\vec{0}_V)=\vec{0}_W\). Vamos\(\vec{v}\in V\). Entonces\(0\vec{v}=\vec{0}_V\) y\[T(\vec{0}_V)=T(0\vec{v})=0T(\vec{v})=\vec{0}_W.\nonumber \]
2. Let\(\vec{v}\in V\); entonces\(-\vec{v}\in V\) es la inversa aditiva de\(\vec{v}\), entonces\(\vec{v} + (-\vec{v})=\vec{0}_V\). Así\[\begin{aligned} T(\vec{v} + (-\vec{v})) & = T(\vec{0}_V) \\ T(\vec{v}) + T(-\vec{v})) & = \vec{0}_W \\ T(-\vec{v}) & = \vec{0}_W - T(\vec{v}) = - T(\vec{v}).\end{aligned}\]
3. Este resultado se deriva de la preservación de la adición y preservación de la multiplicación escalar. Una prueba formal sería por inducción sobre\(m\).

Considera el siguiente ejemplo usando el teorema anterior.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Linear Combination

Dejar\(T:\mathbb{P}_2 \to \mathbb{R}\) ser una transformación lineal tal que\[T(x^2+x)=-1; T(x^2-x)=1; T(x^2+1)=3.\nonumber \] Find\(T(4x^2+5x-3)\).

Brindamos dos soluciones a este problema.

Solución 1:

Supongamos\(a(x^2+x) + b(x^2-x) + c(x^2+1) = 4x^2+5x-3\). Entonces\[(a+b+c)x^2 + (a-b)x + c = 4x^2+5x-3.\nonumber \] Resolver para\(a\)\(b\),, y\(c\) da como resultado la solución única\(a=6\),\(b=1\),\(c=-3\). Así\[\begin{aligned}T(4x^2+5x-3)&=T(6(x^2+x)+(x^2-x)-3(x^2+1)) \\ &=6T(x^2+x)+T(x^2-x)-3T(x^2+1) \\ &=6(-1)+1-3(3)=-14.\end{aligned}\]

Solución 2:

Observe que\(S=\{ x^2+x, x^2-x, x^2+1\}\) es una base de\(\mathbb{ P}_2\), y por lo tanto\(x^2\)\(x\),, y cada uno\(1\) puede escribirse como una combinación lineal de elementos de\(S\).

\[\begin{aligned} x^2 & = \textstyle \frac{1}{2}(x^2+x) + \frac{1}{2}(x^2-x) \\ x & = \textstyle \frac{1}{2}(x^2+x) - \frac{1}{2}(x^2-x) \\ 1 & = (x^2+1)-\textstyle \frac{1}{2}(x^2+x) - \frac{1}{2}(x^2-x).\end{aligned}\]Entonces\[\begin{aligned} T(x^2) & = \textstyle T\left(\frac{1}{2}(x^2+x) + \frac{1}{2}(x^2-x)\right) =\frac{1}{2}T(x^2+x) + \frac{1}{2}T(x^2-x)\\ & = \textstyle \frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2}(1) = 0. \\ T(x) & = \textstyle T\left(\frac{1}{2}(x^2+x) - \frac{1}{2}(x^2-x)\right) = \frac{1}{2}T(x^2+x) - \frac{1}{2}T(x^2-x) \\ & = \textstyle \frac{1}{2}(-1) - \frac{1}{2}(1) = -1.\\ T(1) & = \textstyle T\left((x^2+1)-\frac{1}{2}(x^2+x) - \frac{1}{2}(x^2-x)\right)\\ & = \textstyle T(x^2+1)-\frac{1}{2}T(x^2+x) - \frac{1}{2}T(x^2-x) \\ & = \textstyle 3-\frac{1}{2}(-1) - \frac{1}{2}(1) = 3.\end{aligned}\]

Por lo tanto,\[\begin{aligned} T(4x^2+5x-3) & = 4T(x^2) + 5T(x) -3T(1) \\ & = 4(0) + 5(-1) - 3(3)=-14.\end{aligned}\] la ventaja de la Solución 2 sobre la Solución 1 es que si ahora se le pide que encuentre\(T(-6x^2-13x+9)\), es fácil de usar\(T(x^2)=0\),\(T(x)=-1\) y\(T(1)= 3\): De manera\[\begin{aligned} T(-6x^2-13x+9) & = -6T(x^2)-13T(x)+9T(1) \\ & = -6(0)-13(-1)+9(3)=13+27=40.\end{aligned}\] más general,\[\begin{aligned} T(ax^2+bx+c) & = aT(x^2)+bT(x)+cT(1) \\ & = a(0)+b(-1)+c(3)=-b+3c.\end{aligned}\]

Supongamos que dos transformaciones lineales actúan de la misma manera\(\vec{v}\) para todos los vectores. Entonces decimos que estas transformaciones son iguales.

Definición\(\PageIndex{2}\): Equal Transformations

Dejar\(S\) y\(T\) ser transformaciones lineales de\(V\) a\(W\). Entonces\(S = T\) si y solo si por cada\(\vec{v} \in V\),\[S \left( \vec{v} \right) = T \left( \vec{v} \right)\nonumber \]

La definición anterior requiere que dos transformaciones tengan la misma acción en cada vector para que sean iguales. El siguiente teorema argumenta que sólo es necesario verificar la acción de las transformaciones sobre los vectores de base.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Transformation of a Spanning Set

Dejar\(V\) y\(W\) ser espacios vectoriales y supongamos que\(S\) y\(T\) son transformaciones lineales de\(V\) a\(W\). Entonces para\(T\) que\(S\) y para ser iguales, basta con que\(S(\vec{v}_i) = T(\vec{v}_i)\) donde\(V = span \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n\}.\)

Este teorema nos dice que una transformación lineal está completamente determinada por sus acciones sobre un conjunto de expansión. También podemos examinar el efecto de una transformación lineal sobre una base.

Teorema\(\PageIndex{3}\): Transformation of a Basis

Supongamos\(V\) y\(W\) son espacios vectoriales y dejar que\(\{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, \ldots, \vec{w}_n\}\) sean cualesquiera vectores dados en\(W\) que puedan no ser distintos. Entonces existe una base\(\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n\}\) de\(V\) y una transformación lineal única\(T: V \mapsto W\) con\(T (\vec{v}_i) = \vec{w}_i\).

Además, si\[\vec{v} = k_1\vec{v}_1+k_2\vec{v}_2+ \cdots+ k_n\vec{v}_n\nonumber \] es un vector de\(V\), entonces\[T(\vec{v}) = k_1\vec{w}_1+k_2\vec{w}_2+ \cdots+ k_n\vec{w}_n.\nonumber \]