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# 2.4: El teorema de Bolazno-Weierstrass

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El Teorema de Bolzano-Weierstrass está en la base de muchos resultados en el análisis. es, de hecho, equivalente al axioma de integridad de los números reales.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$: Bolzano-Weierstrass Theorem

Cada secuencia delimitada$$\left\{a_{n}\right\}$$ de números reales tiene una subsecuencia convergente.

Prueba

Supongamos que$$\left\{a_{n}\right\}$$ es una secuencia acotada. Definir$$A=\left\{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right\}$$ (el conjunto de valores de la secuencia$$\left\{a_{n}\right\}$$). Si$$A$$ es finito, entonces al menos uno de los elementos de$$A$$, digamos$$x$$, debe ser igual a$$a_{n}$$ para infinitamente muchas opciones$$n$$. Más precisamente,$$B_{x}=\left\{n \in \mathbb{N}: a_{n}=x\right\}$$ es infinito. Entonces podemos definir una subsecuencia convergente de la siguiente manera. Escoge$$n_{1}$$ tal que$$a_{n_{1}}=x$$. Ahora, como$$B_{x}$$ es infinito, podemos elegir$$n_{2}>n_{1}$$ tal que$$a_{n_{2}}=x$$. Continuando de esta manera, podemos definir una subsecuencia$$\left\{a_{n_{k}}\right\}$$ que es constante, igual$$x$$ y, por lo tanto, converge a$$x$$.

Supongamos ahora que$$A$$ es infinito. Primero observamos que existe$$c, d \in \mathbb{R}$$ tal que$$c \leq a_{n} \leq d$$ para todos$$n \in \mathbb{N}$$, es decir,$$A \subset[c, d]]$$.

Definimos una secuencia de intervalos delimitados cerrados anidados no vacíos de la siguiente manera. Set$$I_{1}=[c, d]$$. A continuación considere los dos subintervalos$$\left[c, \frac{c+d}{2}\right]$$ y$$\left[\frac{c+d}{2}, d\right]$$. Ya que$$A$$ es infinito, al menos uno de$$A \cap\left[c, \frac{c+d}{2}\right]$$ o$$A \cap\left[\frac{c+d}{2}, d\right]$$ es infinito. Que$$I_{2}=\left[c, \frac{c+d}{2}\right]$$ si$$A \cap\left[c, \frac{c+d}{2}\right]$$ es infinte y de$$I_{2}=\left[\frac{c+d}{2}, d\right]$$ otra manera. Continuando de esta manera, construimos una secuencia anidada de intervalos delimitados no vacíos cllosed$$\left\{I_{n}\right\}$$ tal que$$I_{n} \cap A$$ es infinito y la longitud de$$I_{n}$$ tiende a 0 as$$n \rightarrow \infty$$.

Ahora construimos la subsecuencia deseada de la$$\left\{a_{n}\right\}$$ siguiente manera. Vamos$$n_{1}=1$$. Elige$$n_{2}>n_{1}$$ tal que$$a_{n_{2}} \in I_{2}$$. Esto es posible ya que$$I_{2} \cap A$$ es infinito. Siguiente elige$$n_{3}>n_{2}$$ tal que$$a_{n_{3}} \in I_{3}$$. De esta manera, obtenemos una subsecuencia$$\left\{a_{n_{k}}\right\}$$ tal que$$a_{n_{k}} \in I_{k}$$ para todos$$k \in \mathbb{N}$$.

Set$$I_{n}=\left[c_{n}, d_{n}\right]$$. Entonces$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(d_{n}-c_{n}\right)=0$$. También sabemos por la prueba del Teorema de Convergencia Monótona (Teorema 2.3.1), que$$\left\{c_{n}\right\}$$ converge. Diga$$\ell=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}$$. Así,$$\lim _{n \rightarrow \infty} d_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(d_{n}-c_{n}\right)+c_{n}\right]=\ell$$ también. Ya que$$c_{k} \leq a_{n_{k}} \leq d_{k}$$ para todos$$k \in \mathbb{N}$$, se deduce del Teorema 2.1.5 que$$\lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=\ell$$. Esto completa la prueba. $$\square$$

## Definición$$\PageIndex{1}$$: Cauchy sequence

Una secuencia$$\left\{a_{n}\right\}$$ de números reales se llama secuencia de Cauchy si para alguna$$\varepsilon>0$$, existe un entero positivo$$N$$ tal que para cualquiera$$m, n \geq N$$, uno tiene

$\left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon.$

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Una secuencia convergente es una secuencia de Cauchy.

Prueba

Dejar$$\left\{a_{n}\right\}$$ ser una secuencia convergente y dejar

$\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a.$

Entonces para cualquiera$$\varepsilon>0$$, existe un entero positivo$$N$$ tal que

$\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon / 2 \text { for all } n \geq N.$

Para cualquiera$$m, n \geq N$$, uno tiene

$\left|a_{m}-a_{n}\right| \leq\left|a_{m}-a\right|+\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon / 2+\varepsilon / 2=\varepsilon.$

Así,$$\left\{a_{n}\right\}$$ es una secuencia de Cauchy. $$\square$$

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Una secuencia de Cauchy está delimitada.

Prueba

$$\left\{a_{n}\right\}$$Déjese ser una secuencia de Cauchy. Entonces para$$\varepsilon=1$$, existe un entero positivo$$N$$ tal que

$\left|a_{m}-a_{n}\right|<1 \text { for all } m, n \geq N$

En particular,

$\left|a_{n}-a_{N}\right|<1 \text { for all } n \geq N.$

Vamos$$M=\max \left\{\left|a_{1}\right|, \ldots,\left|a_{N-1}\right|, 1+\left|a_{N}\right|\right\}$$. Entonces, para$$n=1, \ldots, N-1 \text {, we clearly have } \left|a_{n}\right| \leq M$$ .Por otra parte, para$$n \geq N$$,

$\left|a_{n}\right|=\left|a_{n}-a_{N}+a_{N}\right| \leq\left|a_{n}-a_{N}\right|+\left|a_{N}\right| \leq 1+\left|a_{N}\right| \leq M.$

Por lo tanto,$$\left|a_{n}\right| \leq M$$ para todos$$n \in \mathbb{N}$$ y, así,$$\left\{a_{n}\right\}$$ está acotada. $$\square$$

## Lema$$\PageIndex{4}$$

Una secuencia de Cauchy que tiene una subsecuencia convergente es convergente.

Prueba

Let$$\left\{a_{n}\right\}$$ Ser una secuencia Cauchy que tiene una subsecuencia convergente. Para cualquiera$$\varepsilon>0$$, existe un entero positivo$$N$$ tal que

$\left|a_{m}-a_{n}\right| \leq \varepsilon / 2 \text { for all } m, n \geq N.$

Así, podemos encontrar un entero positivo$$n_{\ell}>N$$ tal que

\ [\ izquierda|a_ {n_ {\ ell}} -a\ derecha|<\ varepsilon/2\).

Entonces para cualquiera$$n \geq N$$, tenemos

$\left|a_{n}-a\right| \leq\left|a_{n}-a_{n_{\ell}}\right|+\left|a_{n_{\ell}}-a\right|<\varepsilon.$

Por lo tanto,$$\left\{a_{n}\right\}$$ converge a$$a$$. $$\square$$

## Teorema$$\PageIndex{5}$$

$$\left\{a_{n}\right\}$$Cualquier secuencia Cauchy de números reales es convergente.

Prueba

$$\left\{a_{n}\right\}$$Déjese ser una secuencia de Cauchy. Entonces está delimitado por el Teorema 2.4.3. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass,$$\left\{a_{n}\right\}$$ tiene una subsecuencia convergente. Por lo tanto, es convergente por Lemma 2.4.4. $$\square$$

## OBSERVACIÓN$$\PageIndex{6}$$

De la Definición 2.4.1 se desprende que$$\left\{a_{n}\right\}$$ es una secuencia de Cauchy si y solo si por cada$$\varepsilon>0$$, existe$$N \in \mathbb{N}$$ tal que

$\left|a_{n+p}-a_{n}\right|<\varepsilon \text { for all } n \geq N \text { and for all } p \in \mathbb{N}.$

## Definición$$\PageIndex{2}$$: Contractive Sequences

Una secuencia$$\left\{a_{n}\right\}$$ se llama contractiva si existe$$k \in[0,1)$$ tal que

$\left|a_{n+2}-a_{n+1}\right| \leq k\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \text { for all } n \in \mathbb{N}.$

## Teorema$$\PageIndex{7}$$

Toda secuencia contractiva es convergente.

Prueba

Por inducción, uno tiene

$\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leq k^{n-1}\left|a_{2}-a_{1}\right| \text { for all } n \in \mathbb{N}$

Por lo tanto,

\ izquierda|a_ {n+p} -a_ {n}\ derecha| &\ leq\ izquierda|a_ {n+1} -a_ {n}\ derecha|+\ izquierda|a_ {n+2} -a_ {n+1}\ derecha|+\ cdots+\ izquierda|a_ {n+p} -a_ {n++p-1}\ derecha|\\
&\ leq\ izquierda (k^ {n-1} +k^ {n} +\ cdots+k^ {n+p-2}\ derecha)\ izquierda|a_ {2} -a_ {1}\ derecha|\\
&\ leq k^ {n-1}\ izquierda ( 1+k+k^ {2} +\ cdots+k^ {p-1}\ derecha)\ izquierda|a_ {2} -a_ {1}\ derecha|\\
&\ leq\ frac {k^ {n-1}} {1-k}\ izquierda|a_ {2} -a_ {1}\ derecha|

para todos$$n,p \in \mathbb{N}$$. Ya que$$k^{n-1} \rightarrow 0$$ como$$n \rightarrow \infty$$ (independientemente de$$p$$), esto implica$$\left\{a_{n}\right\}$$ es una secuencia Cauchy y, por lo tanto, es convergente. $$\square$$

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

La condición$$k<1$$ en el teorema anterior es crucial. Considera el siguiente ejemplo. Vamos$$a_{n}=\ln n$$ para todos$$n \in \mathbb{N}$$.

Solución

Ya que$$1<\frac{n+2}{n+1}<\frac{n+1}{n}$$ para todos$$n \in \mathbb{N}$$ y el logaritmo natural es una función creciente, tenemos

\ [\ begin {array} {c}\ izquierda|a_ {n+2} -a_ {n+1}\ derecha|=|\ ln (n+2) -\ ln (n+1) |=\ izquierda|\ ln\ izquierda (\ frac {n+2} {n+1}\ derecha)\ derecha|=\ ln\ izquierda (\ frac {n+2} {n+1}\ derecha)\\
<\ ln\ izquierda (\ frac {n+1} {n}\ derecha) =|\ ln (n+1) -\ ln n|=\ izquierda|a_ {n+1} -a_ {n}\ derecha|
\ end {array}. \ nonumber\]

Por lo tanto, se satisface la desigualdad en la Definición 2.4.2$$k=1$$, sin embargo, la secuencia$$\{\ln n\}$$ no converge.

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Determinar cuáles de las siguientes son secuencias de Cauchy.

1. $$a_{n}=(-1)^{n}$$.
2. $$a_{n}=(-1)^{n} / n$$.
3. $$a_{n}=n /(n+1)$$.
4. $$a_{n}=(\cos n) / n$$.

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demostrar que la secuencia

$a_{n}=\frac{n \cos \left(3 n^{2}+2 n+1\right)}{n+1}. \nonumber$

tiene una subsecuencia convergente

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

$$f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$$Sea tal que$$f(x)>0$$ para todos$$x$$. Definir

$a_{n}=\frac{f(n)}{f(n)+1}. \nonumber$

Demostrar que la secuencia$$a_{n}$$ tiene una subsecuencia convergente

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Definir

$a_{n}=\frac{1+2^{n}}{2^{n}} \text { for } n \in \mathbb{N}. \nonumber$

Demostrar que la secuencia$$a_{n}$$ es contractiva

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Que$$r \in \mathbb{R}$$ sea tal que$$|r|<1$$. Definir$$a_{n}=r^{n}$$ para$$n \in \mathbb{N}$$. Demostrar que la secuencia$$\left\{a_{n}\right\}$$ es contractiva

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Demostrar que la secuencia no$$\left\{\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$$ es contractiva

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