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2.4: El teorema de Bolazno-Weierstrass

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    El Teorema de Bolzano-Weierstrass está en la base de muchos resultados en el análisis. es, de hecho, equivalente al axioma de integridad de los números reales.

    Teorema\(\PageIndex{1}\): Bolzano-Weierstrass Theorem

    Cada secuencia delimitada\(\left\{a_{n}\right\}\) de números reales tiene una subsecuencia convergente.

    Prueba

    Supongamos que\(\left\{a_{n}\right\}\) es una secuencia acotada. Definir\(A=\left\{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right\}\) (el conjunto de valores de la secuencia\(\left\{a_{n}\right\}\)). Si\(A\) es finito, entonces al menos uno de los elementos de\(A\), digamos\(x\), debe ser igual a\(a_{n}\) para infinitamente muchas opciones\(n\). Más precisamente,\(B_{x}=\left\{n \in \mathbb{N}: a_{n}=x\right\}\) es infinito. Entonces podemos definir una subsecuencia convergente de la siguiente manera. Escoge\(n_{1}\) tal que\(a_{n_{1}}=x\). Ahora, como\(B_{x}\) es infinito, podemos elegir\(n_{2}>n_{1}\) tal que\(a_{n_{2}}=x\). Continuando de esta manera, podemos definir una subsecuencia\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\) que es constante, igual\(x\) y, por lo tanto, converge a\(x\).

    Supongamos ahora que\(A\) es infinito. Primero observamos que existe\(c, d \in \mathbb{R}\) tal que\(c \leq a_{n} \leq d\) para todos\(n \in \mathbb{N}\), es decir,\(A \subset[c, d]]\).

    Definimos una secuencia de intervalos delimitados cerrados anidados no vacíos de la siguiente manera. Set\(I_{1}=[c, d]\). A continuación considere los dos subintervalos\(\left[c, \frac{c+d}{2}\right]\) y\(\left[\frac{c+d}{2}, d\right]\). Ya que\(A\) es infinito, al menos uno de\(A \cap\left[c, \frac{c+d}{2}\right]\) o\(A \cap\left[\frac{c+d}{2}, d\right]\) es infinito. Que\(I_{2}=\left[c, \frac{c+d}{2}\right]\) si\(A \cap\left[c, \frac{c+d}{2}\right]\) es infinte y de\(I_{2}=\left[\frac{c+d}{2}, d\right]\) otra manera. Continuando de esta manera, construimos una secuencia anidada de intervalos delimitados no vacíos cllosed\(\left\{I_{n}\right\}\) tal que\(I_{n} \cap A\) es infinito y la longitud de\(I_{n}\) tiende a 0 as\(n \rightarrow \infty\).

    Ahora construimos la subsecuencia deseada de la\(\left\{a_{n}\right\}\) siguiente manera. Vamos\(n_{1}=1\). Elige\(n_{2}>n_{1}\) tal que\(a_{n_{2}} \in I_{2}\). Esto es posible ya que\(I_{2} \cap A\) es infinito. Siguiente elige\(n_{3}>n_{2}\) tal que\(a_{n_{3}} \in I_{3}\). De esta manera, obtenemos una subsecuencia\(\left\{a_{n_{k}}\right\}\) tal que\(a_{n_{k}} \in I_{k}\) para todos\(k \in \mathbb{N}\).

    Set\(I_{n}=\left[c_{n}, d_{n}\right]\). Entonces\(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(d_{n}-c_{n}\right)=0\). También sabemos por la prueba del Teorema de Convergencia Monótona (Teorema 2.3.1), que\(\left\{c_{n}\right\}\) converge. Diga\(\ell=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}\). Así,\(\lim _{n \rightarrow \infty} d_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(d_{n}-c_{n}\right)+c_{n}\right]=\ell\) también. Ya que\(c_{k} \leq a_{n_{k}} \leq d_{k}\) para todos\(k \in \mathbb{N}\), se deduce del Teorema 2.1.5 que\(\lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}}=\ell\). Esto completa la prueba. \(\square\)

    Definición\(\PageIndex{1}\): Cauchy sequence

    Una secuencia\(\left\{a_{n}\right\}\) de números reales se llama secuencia de Cauchy si para alguna\(\varepsilon>0\), existe un entero positivo\(N\) tal que para cualquiera\(m, n \geq N\), uno tiene

    \[\left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon.\]

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Una secuencia convergente es una secuencia de Cauchy.

    Prueba

    Dejar\(\left\{a_{n}\right\}\) ser una secuencia convergente y dejar

    \[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a.\]

    Entonces para cualquiera\(\varepsilon>0\), existe un entero positivo\(N\) tal que

    \[\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon / 2 \text { for all } n \geq N.\]

    Para cualquiera\(m, n \geq N\), uno tiene

    \[\left|a_{m}-a_{n}\right| \leq\left|a_{m}-a\right|+\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon / 2+\varepsilon / 2=\varepsilon.\]

    Así,\(\left\{a_{n}\right\}\) es una secuencia de Cauchy. \(\square\)

    Teorema\(\PageIndex{3}\)

    Una secuencia de Cauchy está delimitada.

    Prueba

    \(\left\{a_{n}\right\}\)Déjese ser una secuencia de Cauchy. Entonces para\(\varepsilon=1\), existe un entero positivo\(N\) tal que

    \[\left|a_{m}-a_{n}\right|<1 \text { for all } m, n \geq N\]

    En particular,

    \[\left|a_{n}-a_{N}\right|<1 \text { for all } n \geq N.\]

    Vamos\(M=\max \left\{\left|a_{1}\right|, \ldots,\left|a_{N-1}\right|, 1+\left|a_{N}\right|\right\}\). Entonces, para\(n=1, \ldots, N-1 \text {, we clearly have } \left|a_{n}\right| \leq M\) .Por otra parte, para\(n \geq N\),

    \[\left|a_{n}\right|=\left|a_{n}-a_{N}+a_{N}\right| \leq\left|a_{n}-a_{N}\right|+\left|a_{N}\right| \leq 1+\left|a_{N}\right| \leq M.\]

    Por lo tanto,\(\left|a_{n}\right| \leq M\) para todos\(n \in \mathbb{N}\) y, así,\(\left\{a_{n}\right\}\) está acotada. \(\square\)

    Lema\(\PageIndex{4}\)

    Una secuencia de Cauchy que tiene una subsecuencia convergente es convergente.

    Prueba

    Let\(\left\{a_{n}\right\}\) Ser una secuencia Cauchy que tiene una subsecuencia convergente. Para cualquiera\(\varepsilon>0\), existe un entero positivo\(N\) tal que

    \[\left|a_{m}-a_{n}\right| \leq \varepsilon / 2 \text { for all } m, n \geq N.\]

    Así, podemos encontrar un entero positivo\(n_{\ell}>N\) tal que

    \ [\ izquierda|a_ {n_ {\ ell}} -a\ derecha|<\ varepsilon/2\).

    Entonces para cualquiera\(n \geq N\), tenemos

    \[\left|a_{n}-a\right| \leq\left|a_{n}-a_{n_{\ell}}\right|+\left|a_{n_{\ell}}-a\right|<\varepsilon.\]

    Por lo tanto,\(\left\{a_{n}\right\}\) converge a\(a\). \(\square\)

    Teorema\(\PageIndex{5}\)

    \(\left\{a_{n}\right\}\)Cualquier secuencia Cauchy de números reales es convergente.

    Prueba

    \(\left\{a_{n}\right\}\)Déjese ser una secuencia de Cauchy. Entonces está delimitado por el Teorema 2.4.3. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass,\(\left\{a_{n}\right\}\) tiene una subsecuencia convergente. Por lo tanto, es convergente por Lemma 2.4.4. \(\square\)

    OBSERVACIÓN\(\PageIndex{6}\)

    De la Definición 2.4.1 se desprende que\(\left\{a_{n}\right\}\) es una secuencia de Cauchy si y solo si por cada\(\varepsilon>0\), existe\(N \in \mathbb{N}\) tal que

    \[\left|a_{n+p}-a_{n}\right|<\varepsilon \text { for all } n \geq N \text { and for all } p \in \mathbb{N}.\]

    Definición\(\PageIndex{2}\): Contractive Sequences

    Una secuencia\(\left\{a_{n}\right\}\) se llama contractiva si existe\(k \in[0,1)\) tal que

    \[\left|a_{n+2}-a_{n+1}\right| \leq k\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \text { for all } n \in \mathbb{N}.\]

    Teorema\(\PageIndex{7}\)

    Toda secuencia contractiva es convergente.

    Prueba

    Por inducción, uno tiene

    \[\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leq k^{n-1}\left|a_{2}-a_{1}\right| \text { for all } n \in \mathbb{N}\]

    Por lo tanto,

    \ [\ comenzar {alineado}
    \ izquierda|a_ {n+p} -a_ {n}\ derecha| &\ leq\ izquierda|a_ {n+1} -a_ {n}\ derecha|+\ izquierda|a_ {n+2} -a_ {n+1}\ derecha|+\ cdots+\ izquierda|a_ {n+p} -a_ {n++p-1}\ derecha|\\
    &\ leq\ izquierda (k^ {n-1} +k^ {n} +\ cdots+k^ {n+p-2}\ derecha)\ izquierda|a_ {2} -a_ {1}\ derecha|\\
    &\ leq k^ {n-1}\ izquierda ( 1+k+k^ {2} +\ cdots+k^ {p-1}\ derecha)\ izquierda|a_ {2} -a_ {1}\ derecha|\\
    &\ leq\ frac {k^ {n-1}} {1-k}\ izquierda|a_ {2} -a_ {1}\ derecha|
    \ fin {alineado}.\]

    para todos\(n,p \in \mathbb{N}\). Ya que\(k^{n-1} \rightarrow 0\) como\(n \rightarrow \infty\) (independientemente de\(p\)), esto implica\(\left\{a_{n}\right\}\) es una secuencia Cauchy y, por lo tanto, es convergente. \(\square\)

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    La condición\(k<1\) en el teorema anterior es crucial. Considera el siguiente ejemplo. Vamos\(a_{n}=\ln n\) para todos\(n \in \mathbb{N}\).

    Solución

    Ya que\(1<\frac{n+2}{n+1}<\frac{n+1}{n}\) para todos\(n \in \mathbb{N}\) y el logaritmo natural es una función creciente, tenemos

    \ [\ begin {array} {c}\ izquierda|a_ {n+2} -a_ {n+1}\ derecha|=|\ ln (n+2) -\ ln (n+1) |=\ izquierda|\ ln\ izquierda (\ frac {n+2} {n+1}\ derecha)\ derecha|=\ ln\ izquierda (\ frac {n+2} {n+1}\ derecha)\\
    <\ ln\ izquierda (\ frac {n+1} {n}\ derecha) =|\ ln (n+1) -\ ln n|=\ izquierda|a_ {n+1} -a_ {n}\ derecha|
    \ end {array}. \ nonumber\]

    Por lo tanto, se satisface la desigualdad en la Definición 2.4.2\(k=1\), sin embargo, la secuencia\(\{\ln n\}\) no converge.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Determinar cuáles de las siguientes son secuencias de Cauchy.

    1. \(a_{n}=(-1)^{n}\).
    2. \(a_{n}=(-1)^{n} / n\).
    3. \(a_{n}=n /(n+1)\).
    4. \(a_{n}=(\cos n) / n\).

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Demostrar que la secuencia

    \[a_{n}=\frac{n \cos \left(3 n^{2}+2 n+1\right)}{n+1}. \nonumber\]

    tiene una subsecuencia convergente

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    \(f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}\)Sea tal que\(f(x)>0\) para todos\(x\). Definir

    \[a_{n}=\frac{f(n)}{f(n)+1}. \nonumber\]

    Demostrar que la secuencia\(a_{n}\) tiene una subsecuencia convergente

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Definir

    \[a_{n}=\frac{1+2^{n}}{2^{n}} \text { for } n \in \mathbb{N}. \nonumber\]

    Demostrar que la secuencia\(a_{n}\) es contractiva

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Que\(r \in \mathbb{R}\) sea tal que\(|r|<1\). Definir\(a_{n}=r^{n}\) para\(n \in \mathbb{N}\). Demostrar que la secuencia\(\left\{a_{n}\right\}\) es contractiva

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Demostrar que la secuencia no\(\left\{\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) es contractiva


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