2.3: Secuencias monótona

Definición\(\PageIndex{1}\)

Una secuencia\(\left\{a_{n}\right\}\) se llama aumentar si

\[a_{n} \leq a_{n+1} \text { for all } n \in \mathbb{N}.\]

Se llama decreciente si

\[a_{n} \geq a_{n+1} \text { for all } n \in \mathbb{N}.\]

Si\(\left\{a_{n}\right\}\) está aumentando o disminuyendo, entonces se le llama una secuencia monótona.

La secuencia se llama estrictamente creciente (resp. estrictamente decreciente) si\(a_{n}<a_{n+1} \text { for all } n \in \mathbb{N}\) (resp. \(a_{n}>a_{n+1} \text { for all } n \in \mathbb{N}\).

Es fácil demostrar por inducción que si\(\left\{a_{n}\right\}\) es una secuencia creciente, entonces\(a_{n} \leq a_{m}\) cuando sea\(n \leq m\).

Teorema\(\PageIndex{1}\) - Monotone Convergence Theorem.

\(\left\{a_{n}\right\}\)Sea una secuencia de números reales. Se mantienen los siguientes:

1. Si\(\left\{a_{n}\right\}\) está aumentando y acotado por encima, entonces es convergente.
2. Si\(\left\{a_{n}\right\}\) es decreciente y acotado por debajo, entonces es convergente.

Prueba

(a)\(\left\{a_{n}\right\}\) Sea una secuencia creciente que esté delimitada arriba. Definir

\(A=\left\{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right\}\).

Entonces\(A\) es un subconjunto de\(\mathbb{R}\) eso no está vacío y delimitado arriba y, por lo tanto,\(\sup A\) existe. Dejar\(\ell=\sup A\) y dejar\(\varepsilon>0\). Por la Proposición 1.5.1, existe\(N \in \mathbb{N}\) tal que

\(\ell-\varepsilon<a_{N} \leq \ell\).

Dado que\(\left\{a_{n}\right\}\) es cada vez mayor,

\(\ell-\varepsilon<a_{N} \leq a_{n} \text { for all } n \geq N\).

Por otro lado, ya que\(\ell\) es un límite superior para\(A\), tenemos\(a_{n} \leq \ell\) para todos\(n\). Por lo tanto,

\(\ell-\varepsilon<a_{n}<\ell+\varepsilon \text { for all } n \geq N\).

Por lo tanto,\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\ell\).

(b) Dejar\(\left\{a_{n}\right\}\) ser una secuencia decreciente que se encuentra delimitada a continuación. Definir

\(b_{n}=-a_{n}\).

Entonces\(\left\{b_{n}\right\}\) está aumentando y acotado arriba (si\(M\) es un límite inferior para\(\left\{a_{n}\right\}\), entonces\(-M\) es un límite superior para\(\left\{b_{n}\right\}\)). Let

\(\ell=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(-a_{n}\right)\).

Después\(\left\{a_{n}\right\}\) converge a\(-\ell\) por Teorema 2.2.1. \(\square\)

OBSERVACIÓN\(\PageIndex{2}\)

De la prueba del Teorema 2.3.1 se deduce que si\(\left\{a_{n}\right\}\) está aumentando y acotado por encima, entonces

\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\sup \left\{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right\}.\]

Del mismo modo, si\(\left\{a_{n}\right\}\) es decreciente y delimitado por debajo, entonces

\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\inf \left\{a_{n}: n \in \mathbb{N}\right\}.\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Dado\(r \in \mathbb{R}\) con\(|r|<1\), definir\(a_{n}=r^{n}\) para\(n \in \mathbb{N}\). Entonces

\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0.\]

Solución

Esto es claro si\(r=0\). Consideremos primero el caso donde\(0<r<1\). Entonces\(0 \leq a_{n+1}=r a_{n} \leq a_{n}\) para todos\(n\). Por lo tanto,\(\left\{a_{n}\right\}\) es decreciente y acotado por debajo. Por Teorema 2.3.1, la secuencia converge. Let

\[\ell=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}.\]

Ya que\(a_{n+1}=r a_{n}\) para todos\(n\), tomar límites en ambos lados da\(\ell = r \ell\). Así,\((1-r) \ell=0\) y, de ahí,\(\ell = 0\). En el caso general, sólo hay que considerar la secuencia definida por\(b_{n}=\left|a_{n}\right|\) for\(n \in \mathbb{N}\); ver Ejercicio 2.1.3.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Considere la secuencia\(\left\{a_{n}\right\}\) definida de la siguiente manera:

\[a_{1}=2\]

\[a_{n+1}=\frac{a_{n}+5}{3} \text { for } n \geq 1\]

Solución

Primero mostraremos que la secuencia va en aumento. Probamos por inducción que para todos\(n \in \mathbb{N}\),\(a_{n}<a_{n+1}\). Ya que\(a_{2}=\frac{a_{1}+5}{3}=\frac{7}{3}>2=a_{1}\), la afirmación es cierta para\(n=1\). A continuación, supongamos\(a_{k}<a_{k+1}\) para algunos\(k \in \mathbb{N}\). Entonces\(a_{k}+5<a_{k+1}+5\) y\(\left(a_{k}+5\right) / 3<\left(a_{k+1}+5\right) / 3\). Por lo tanto,

\[a_{k+1}=\frac{a_{k}+5}{3}<\frac{a_{k+1}+5}{3}=a_{k+2}.\]

Se deduce por inducción que la secuencia va en aumento.

A continuación probamos que la secuencia está delimitada por\(3\). Nuevamente, procedemos por inducción. La afirmación es claramente cierta para\(n=1\). Supongamos que\(a_{k} \leq 3\) para algunos\(k \in \mathbb{N}\). Entonces

\[a_{k+1}=\frac{a_{k}+5}{3} \leq \frac{3+5}{3}=\frac{8}{3} \leq 3.\]

De ello se deduce que\(a_{n} \leq 3\) para todos\(n \in \mathbb{N}\).

Del Teorema de la Convergencia Monótona, deducimos que hay\(\ell \in \mathbb{R}\) tal que\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\ell\). Dado que la subsecuencia\(\left\{a_{k+1}\right\}_{k=1}^{\infty}\) también converge a\(\ell\), tomando límites en ambos lados de la ecuationin (2.7), obtenemos

\[\ell=\frac{\ell+5}{3}.\]

Por lo tanto,\(3 \ell=\ell+5\) y, de ahí,\(\ell=5 / 2\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\) - The number e.

Considere la secuencia\(\left\{a_{n}\right\}\) dada por

\[a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}, n \in \mathbb{N}.\]

Por el teorema binomial,

\ [\ begin {aligned}
a_ {n} &=\ suma_ {k=0} ^ {n}\ izquierda (\ begin {array} {l}
n\\
k
\ end {array}\ right)\ left (\ frac {1} {n}\ right) ^ {k}\\
&=1+1+\ frac {n (n-1)} {2!} \ frac {1} {n^ {2}} +\ frac {n (n-1) (n-2)} {3!} \ frac {1} {n^ {3}} +\ cdots+\ frac {n (n-1)\ cdots (n- (n-1))} {n!} \ frac {1} {n^ {n}}\\
&=1+1+\ frac {1} {2!} \ izquierda (1-\ frac {1} {n}\ derecha) +\ frac {1} {3!} \ izquierda (1-\ frac {1} {n}\ derecha)\ izquierda (1-\ frac {2} {n}\ derecha) +\ cdots+\ frac {1} {n!} \ izquierda (1-\ frac {1} {n}\ derecha)\ izquierda (1-\ frac {2} {n}\ derecha)\ cdots\ izquierda (1-\ frac {n-1} {n}\ derecha)
\ end {alineado}.\]

La expresión correspondiente para\(a_{n+1}\) tiene un término más y cada factor\(\left(1-\frac{k}{n}\right)\) es reemplazado por el factor mayor\(\left(1-\frac{k}{n}\right)\). Entonces queda claro eso\(a_{n}<a_{n+1}\) para todos\(n \in \mathbb{N}\). Así, la secuencia va en aumento. Por otra parte,

\ [\ begin {alineado}
a_ {n} &\ leq 1+1+\ frac {1} {2!} +\ frac {1} {3!} +\ cdots+\ frac {1} {n!} \\
&<2+\ frac {1} {1.2} +\ frac {1} {2.3} +\ cdots+\ frac {1} {(n-1)\ cdot n}\\
&=2+\ suma_ {k=1} ^ {n-1}\ izquierda (\ frac {1} {k} -\ frac {1} {k+1}\ derecha) =3-\ frac ac {1} {n} <3
\ end {alineado}.\]

De ahí que la secuencia esté delimitada arriba.

Solución

Por el Teorema de Convergencia monótona,\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}\) existe y se denota por\(e\). De hecho,\(e\) es un número irracional y\(e \approx 2.71828\).

El siguiente resultado fundamental es una aplicación del Teorema de Convergencia Monótona.

Teorema\(\PageIndex{3}\) - Nested Intervals Theorem.

Dejar\(\left\{I_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) ser una secuencia de intervalos delimitados cerrados no vacíos satisfactorios\(I_{n+1} \subset I_{n}\) para todos\(n \in \mathbb{N}\). Después se mantienen los siguientes:

1. \(\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} \neq \emptyset\).
2. Si, además, las longitudes de los intervalos\(I_{n}\) convergen a cero, entonces\(\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}\) consiste en un solo punto.

Prueba

Seamos\(\left\{I_{n}\right\}\) como en el comunicado con\(I_{n}=\left[a_{n}, b_{n}\right]\). En particular,\(a_{n} \leq b_{n}\) para todos\(n \in \mathbb{N}\). Dado eso\(I_{n+1} \subset I_{n}\), tenemos\(a_{n} \leq a_{n+1}\) y\(b_{n+1} \leq b_{n}\) para todos\(n \in \mathbb{N}\). Esto muestra que\(\left\{a_{n}\right\}\) es una secuencia creciente delimitada arriba por\(b_{1}\) y\(\left\{b_{n}\right\}\) es una secuencia decreciente delimitada por debajo por\(a_{1}\). Por el Teorema de Convergencia Monótona (Teorema 2.3.1), existen\(a, b \in \mathbb{R}\) tales que\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a\) y\(\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b\). Ya que\(a_{n} \leq b_{n}\) para todos\(n\), por Teorema 2.1.5, obtenemos\(a \leq b\). Ahora, también tenemos\(a_{n} \leq a\) y\(b \leq b_{n}\) para todos\(n \in \mathbb{N}\) (ya que\(\left\{a_{n}\right\}\) va en aumento y\(\left\{b_{n}\right\}\) va disminuyendo). Esto demuestra que si\(a \leq x \leq b\), entonces\(x \in I_{n}\) para todos\(n \in \mathbb{N}\). Así,\([a, b] \subset \bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}\). De ello se deduce que\(\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} \neq \emptyset\). Esto prueba la parte (a).

Ahora tenga en cuenta también eso\(\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} \subset[a, b]\). En efecto, si\(x \in \bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}\), entonces\(x \in I_{n}\) para todos\(n\). Por lo tanto,\(a_{n} \leq x \leq b_{n}\) para todos\(n\). Usando el Teorema 2.1.5, concluimos\(a \leq x \leq b\). Así,\(x \in[a, b]\). Esto demuestra la inclusión deseada y, por lo tanto,\(\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}=[a, b]\).

Ahora probamos la parte (b). Supongamos que las longitudes de los intervalos\(I_{n}\) convergen a cero. Esto significa\(b_{n}-a_{n} \rightarrow 0\) como\(n \rightarrow \infty\). Entonces\(b=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(b_{n}-a_{n}\right)+a_{n}\right]=a\). De ello se deduce que\(\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n}=\{a\}\) como se desee. \(\square\)

Cuando una secuencia monótona no está acotada, no converge. Sin embargo, el comportamiento sigue un patrón claro. Para hacer esto preciso proporcionamos la siguiente definición.

Definición\(\PageIndex{2}\)

\(\left\{a_{n}\right\}\)Se dice que una secuencia diverge a\(\infty\) si por cada\(M \in \mathbb{R}\), existe\(N \in \mathbb{N}\) tal que

\[a_{n}>M \text { for all } n \geq N.\]

En este caso, escribimos\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty\). De igual manera, decimos que\(\left\{a_{n}\right\}\) diverge\(-\infty\) y escribe\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=-\infty\) si por cada\(M \in \mathbb{R}\), existe\(N \in \mathbb{N}\) tal que

\[a_{n}<M \text { for all } n \geq N.\]

OBSERVACIÓN\(\PageIndex{4}\)

No debemos confundir una secuencia que diverge a\(\infty\) (es decir, una que satisface la definición anterior), con una secuencia divergente (es decir, una que no converge).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Considera la secuencia\(a_{n}=\frac{n^{2}+1}{5 n}\). Mostraremos, usando la Definición 2.3.2, eso\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty\).

Solución

Vamos\(M \in \mathbb{R}\). Tenga en cuenta que

\[\frac{n^{2}+1}{5 n}=\frac{n}{5}+\frac{1}{5 n} \geq \frac{n}{5}.\]

Elige\(N>5M\). Entonces, si\(n \geq N\), tenemos

\[a_{n} \geq \frac{n}{5} \geq \frac{N}{5}>M.\]

El siguiente resultado completa la descripción del comportamiento de las secuencias monótona.

Teorema\(\PageIndex{5}\)

Si una secuencia\(\left\{a_{n}\right\}\) está aumentando y no delimitada arriba, entonces

\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty.\]

Del mismo modo, si\(\left\{a_{n}\right\}\) es decreciente y no delimitado por debajo, entonces

\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=-\infty\]

Prueba

Arreglar cualquier número real\(M\). Ya que no\(\left\{a_{n}\right\}\) está acotado arriba, existe\(N \in \mathbb{N}\) tal que\(a_{N} \geq M\). Entonces

\[a_{n} \geq a_{N} \geq M \text { for all } n \geq N\]

porque\(\left\{a_{n}\right\}\) va en aumento. Por lo tanto,\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty\). La prueba para el segundo caso es similar. \(\square\)

Teorema\(\PageIndex{6}\)

Dejar\(\left\{a_{n}\right\}\),\(\left\{b_{n}\right\}\), y\(\left\{c_{n}\right\}\) ser secuencias de números reales y dejar\(k\) ser una constante. Supongamos

\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\infty, \text { and } \lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=-\infty\]

Entonces

1. \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)=\infty\);
2. \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} b_{n}\right)=\infty\);
3. \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} c_{n}\right)=-\infty\);
4. \(\lim _{n \rightarrow \infty} k a_{n}=\infty\)si\(k>0\), y\(\lim _{n \rightarrow \infty} k a_{n}=-\infty\) si\(k<0\);
5. \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n}}=0\). (Aquí asumimos\(a_{n} \neq 0\) para todos\(n\).)

Prueba

Proporcionamos pruebas para (a) y (e) y dejamos los demás como ejercicios.

(a) Fijar cualquier\(M \in \mathbb{R}\). Ya que\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty\), existe\(N_{1} \in \mathbb{N}\) tal que

\[a_{n} \geq \frac{M}{2} \text { for all } n \geq N_{1}.\]

Del mismo modo, existe\(N_{2} \in \mathbb{N}\) tal que

\[b_{n} \geq \frac{M}{2} \text { for all } n \geq N_{1}\]

Vamos\(N=\max \left\{N_{1}, N_{2}\right\}\). Entonces queda claro que

\[a_{n}+b_{n} \geq M \text { for all } n \geq N.\]

Esto implica (a).

(e) Para cualquier\(\varepsilon>0\), vamos\(M=\frac{1}{\varepsilon}\). Ya que\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty\), existe\(N \in \mathbb{N}\) tal que

\[a_{n}>\frac{1}{\varepsilon} \text { for all } n \geq N\]

Esto implica que para\(n \geq N\),

\[\left|\frac{1}{a_{n}}-0\right|=\frac{1}{a_{n}}<\varepsilon.\]

Así, (e) sostiene. \(\square\)

La prueba del teorema de comparación a continuación sigue directamente de la Definición 2.3.2 (véase también Teorema 2.1.5).

Teorema\(\PageIndex{7}\)

Supongamos\(a_{n} \leq b_{n}\) para todos\(n \in \mathbb{N}\).

1. Si\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty\), entonces\(\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\infty\).
2. Si\(\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=-\infty\), entonces\(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=-\infty\).

Prueba

Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Vamos\(a_{1}=\sqrt{2}\). Definir

\[a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2} \text { for } n \geq 1\]

1. \(a_{n}<2\)Demuéstralo para todos\(n \in \mathbb{N}\).
2. Demostrar que\(\left\{a_{n}\right\}\) es una secuencia creciente.
3. \(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=2\)Demuéstralo.

Responder

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que cada una de las siguientes secuencias es convergente y encuentra su límite.

1. \(a_{1}=1\)y\(a_{n+1}=\frac{a_{n}+3}{2}\) para\(n \geq 1\).
2. \(a_{1}=\sqrt{6}\)y\(a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+6}\) para\(n \geq 1\).
3. \(a_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2 a_{n}+\frac{1}{a_{n}^{2}}\right), n \geq 1, a_{1}>0\).
4. \(a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{b}{a_{n}}\right), b>0\).

Responder

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar que cada una de las siguientes secuencias es convergente y encuentra su límite.

1. \(\sqrt{2} ; \sqrt{2 \sqrt{2}} ; \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}} ; \cdots\)
2. \(1 / 2 ; \frac{1}{2+1 / 2} ; \frac{1}{2+\frac{1}{2+1 / 2}} ; \cdots\)

Responder

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que la siguiente secuencia es convergente:

\(a_{n}=1+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots+\frac{1}{n !}, n \in \mathbb{N}\).

Responder

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dejar\(a\) y\(b\) ser dos números reales positivos con\(a<b\). Definir\(a_{1}=a, b_{1}=b\) y

\[a_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}} \text { and } b_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2} \text { for } n \geq 1.\]

\(\left\{b_{n}\right\}\)Demuéstralo\(\left\{a_{n}\right\}\) y son convergentes al mismo límite.

Responder

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar lo siguiente usando la Definición 2.3.2.

1. \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^{2}+n+1}{n-2}=\infty\).
2. \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-3 n^{2}}{n+2}=-\infty\).

Responder

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demostrar las partes (b), (c) y (d) del Teorema 2.3.6.

Responder

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Demostrar Teorema 2.3.7.

Responder

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.