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Se discute aquí una noción más fuerte de continuidad.

## Definición$$\PageIndex{1}$$: Uniformly Continuous

Dejar$$D$$ ser un subconjunto no vacío de$$\mathbb{R}$$. Una función$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ se llama uniformemente continua en$$D$$ si para alguna$$\varepsilon > 0$$, existe$$\delta > 0$$ tal que si$$u,v \in D$$ y$$|u-v|<\delta$$, entonces

$|f(u)-f(v)|<\varepsilon .$

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Cualquier función constante$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$, es uniformemente continua en su dominio.

Solución

En efecto, dado$$\varepsilon > 0$$,$$|f(u)-f(v)|=0<\varepsilon$$ para todos$$u,v \in D$$ independientemente de la elección de$$\delta$$.

El siguiente resultado es sencillo a partir de la definición.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Si$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ es uniformemente continuo encendido$$D$$, entonces$$f$$ es continuo en cada punto$$x_{0} \in D$$.

## Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$Déjese dar por$$f(x)=7 x-2$$. Vamos a mostrar que$$f$$ es uniformemente continuo en$$\mathbb{R}$$.

Solución

Deja$$\varepsilon > 0$$ y elige$$\delta=\varepsilon / 7$$. Entonces, si$$u,v \in \mathbb{R}$$ y$$|u-v|<\delta$$, tenemos

$|f(u)-f(v)|=|7 u-2-(7 v-2)|=|7(u-v)|=7|u-v|<7 \delta=\varepsilon \nonumber$

## Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

$$f:[-3,2] \rightarrow \mathbb{R}$$Déjese dar por$$f(x)=x^{2}$$. Esta función es uniformemente continua en$$[-3,2]$$.

Solución

Vamos$$\varepsilon > 0$$. Primero observa eso$$u,v \in [-3,2]$$ porque tenemos$$|u+v| \leq|u|+|v| \leq 6$$. Ahora listo$$\delta=\varepsilon / 6$$. Entonces, para$$u,v \in [-3,2]$$ satisfacer$$|u-v|<\delta$$, tenemos

$|f(u)-f(v)|=\left|u^{2}-v^{2}\right|=|u-v||u+v| \leq 6|u-v|<6 \delta=\varepsilon. \nonumber$

## Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$Déjese dar por$$f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}$$. Vamos a mostrar que$$f$$ es uniformemente continuo en$$\mathbb{R}$$.

Solución

Vamos$$\varepsilon > 0$$. Observamos primero que

\begin{align*} \mid \frac{u^{2}}{u^{2}+1} -\frac{v^{2}}{v^{2}+1} \mid &= | \frac{u^{2}\left(v^{2}+1\right)-v^{2}\left(u^{2}+1\right)}{\left(u^{2}+1\right)\left(v^{2}+1\right)} | \\[4pt] &= \frac{|u-v||u+v|}{\left(u^{2}+1\right)\left(v^{2}+1\right)} \leq \frac{|u-v|(|u|+|v|)}{\left(u^{2}+1\right)\left(v^{2}+1\right)} \\[4pt] &\leq \frac{|u-v|\left(\left(u^{2}+1\right)+\left(v^{2}+1\right)\right)}{\left(u^{2}+1\right)\left(v^{2}+1\right)} \\[4pt] &\leq|u-v|\left(\frac{1}{v^{2}+1}+\frac{1}{u^{2}+1}\right) \leq 2|u-v| , \end{align*}

(donde usamos eso$$|x| \leq x^{2}+1$$ para todos$$x \in \mathbb{R}$$, que se puede ver fácilmente considerando por separado los casos$$|x|<1$$ y$$|x| \geq 1)$$.

Ahora listo$$\delta=\varepsilon / 2$$. En vista del cálculo anterior, dado$$u,v \in \mathbb{R}$$ satisfactorio$$|u-v|<\delta$$ tenemos

$|f(u)-f(v)|=\left|\frac{u^{2}}{u^{2}+1}-\frac{v^{2}}{v^{2}+1}\right| \leq 2|u-v|<2 \delta=\varepsilon . \nonumber$

## Definición$$\PageIndex{2}$$: Hölder Continuity

Dejar$$D$$ ser un subconjunto no vacío de$$\mathbb{R}$$. Se dice que una función$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ es Hölder continua si hay constantes$$\ell \geq 0$$ y$$\alpha > 0$$ tal que

$|f(u)-f(v)| \leq \ell|u-v|^{\alpha} \text { for every } u, v \in D .$

El número$$\alpha$$ se llama Hölder exponente de la función. Si$$\alpha = 1$$, entonces la función$$f$$ se llama Lipschitz continua.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Si una función$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ es Hölder continua, entonces es uniformemente continua.

Prueba

Como$$f$$ es Hölder conitnuous, hay constantes$$\ell \geq 0$$ y$$\alpha > 0$$ tales que

$|f(u)-f(v)| \leq \ell|u-v|^{\alpha} \text { for every } u, v \in D . \nonumber$

Si$$\ell = 0$$, entonces$$f$$ es constante y, por lo tanto, uniformemente continuo. Supongamos que después eso$$\ell > 0$$. Para cualquiera$$\varepsilon > 0$$, vamos$$\delta=\left(\frac{\varepsilon}{\ell}\right)^{1 / \alpha}$$. Entonces, siempre que$$u,v \in D$$, con$$|u-v|<\delta$$ nosotros tenemos

$|f(u)-f(v)| \leq \ell|u-v|^{\alpha}<\ell \delta^{\alpha}=\varepsilon . \nonumber$

La prueba ya está completa. $$\square$$

## Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

1. Vamos$$D=[a, \infty)$$, dónde$$a > 0$$. (2) Vamos$$D=[0, \infty)$$.

Solución

1. Entonces la función$$f(x)=\sqrt{x}$$ es Lipschitz continua$$D$$ y, por lo tanto, uniformemente continua en este set. En efecto, para cualquiera$$u,v \in D$$, tenemos

$|f(u)-f(v)|=|\sqrt{u}-\sqrt{v}|=\frac{|u-v|}{\sqrt{u}+\sqrt{v}} \leq \frac{1}{2 \sqrt{a}}|u-v| ,$

que muestra$$f$$ es Lipschitz con$$\ell=1 /(2 \sqrt{a})$$.

Figura$$3.4$$: La función de raíz cuadrada.

1. Entonces no$$f$$ es Lipschitz continuo encendido$$D$$, sino que es Hölder continuo encendido$$D$$ y, por lo tanto, también$$f$$ es uniformemente continuo en este set.

En efecto, supongamos por contradicción que$$f$$ es Lipschitz continuo$$D$$. Entonces existe una constante$$\ell>0$$ tal htat

$|f(u)-f(v)|=|\sqrt{u}-\sqrt{v}| \leq \ell|u-v| \text { for every } u, v \in D .$

Así, para cada$$n \in \mathbb{N}$$, tenemos

$\left|\frac{1}{\sqrt{n}}-0\right| \leq \ell\left|\frac{1}{n}-0\right| .$

Esto implica

$\sqrt{n} \leq \ell \text { or } n \leq \ell^{2} \text { for every } n \in \mathbb{N} .$

Esto es una contradicción. Por lo tanto, no$$f$$ es Lipschitz continuo en$$D$$.

Demostremos que$$f$$ es Hölder continuo en$$D$$. Vamos a demostrar que

$|f(u)-f(v)| \leq|u-v|^{1 / 2} \text { for every } u, v \in D .$

La desigualdad en (3.9) sostiene obviamente para$$u = v = 0$$. Para$$u > 0$$ o$$v > 0$$, tenemos

|f (u) -f (v) | &=|\ sqrt {u} -\ sqrt {v} |\\
&=\ izquierda|\ frac {u-v} {\ sqrt {u} +\ sqrt {v}}\ derecha|\\
&=\ sqrt {|u-v|}\ frac {\ sqrt {|u-v|}} {\ sqrt {u} +\ sqrt {v}}\\
&\ leq\ frac {\ sqrt {|u|+|v|}} {\ sqrt {u} +\ sqrt {v}}\ sqrt {|u-v|}\\
&=\ sqrt {|u-v|}

Tenga en cuenta que uno puede justificar esa desigualdad

$\frac{\sqrt{|u|+|v|}}{\sqrt{u}+\sqrt{v}} \leq 1$

al cuadrar ambos lados ya que ambos son positivos. Así, (3.9) queda satisfecho.

Si bien cada función uniformemente continua en un conjunto también$$D$$ es continua en cada punto de$$D$$, lo contrario no es cierto en general. El siguiente ejemplo ilustra este punto.

## Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

$$f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$$Déjese dar por

$f(x)=\frac{1}{x} .$

Figura$$3.5$$: Continuo pero no uniformemente continuo encendido$$(0, \infty)$$.

Solución

Ya sabemos que esta función es continua en cada uno$$\bar{x} \in(0,1)$$. Vamos a mostrar que no$$f$$ es uniformemente continuo en$$(0,1)$$. Dejar$$\varepsilon = 2$$ y$$\delta > 0$$. Establecer$$\delta_{0}=\min \{\delta / 2,1 / 4\}$$,$$x=\delta_{0}$$, y$$y=2 \delta_{0}$$. Entonces$$x,y \in (0,1)$$ y$$|x-y|=\delta_{0}<\delta$$, pero

$|f(x)-f(y)|=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|=\left|\frac{y-x}{x y}\right|=\left|\frac{\delta_{0}}{2 \delta_{0}^{2}}\right|=\left|\frac{1}{2 \delta_{0}}\right| \geq 2=\varepsilon .$

Esto muestra no$$f$$ es uniformemente continuo en$$(0,1)$$.

El siguiente teorema ofrece una caracterización secuencial de continuidad uniforme análoga a la del Teorema 3.3.3.

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Dejar$$D$$ ser un subconjunto no vacío de$$\mathbb{R}$$ y$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$. Entonces$$f$$ es uniformemente continuo$$D$$ si y solo si se cumple la siguiente condición

(C) por cada dos secuencias$$\left\{u_{n}\right\}$$,$$\left\{v_{n}\right\}$$ en$$D$$ tal que$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(u_{n}-v_{n}\right)=0$$, de ello se deduce$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(u_{n}\right)-f\left(v_{n}\right)\right)=0$$.

Prueba

Supongamos primero que$$f$$ es uniformemente continuo y dejar$$\left\{u_{n}\right\}$$,$$\left\{v_{n}\right\}$$ ser secuencias en$$D$$ tal que$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(u_{n}-v_{n}\right)=0$$. Vamos$$\varepsilon > 0$$. Elige de$$\delta > 0$$ tal manera que$$|f(u)-f(v)|<\varepsilon$$ cuando$$u,v \in D$$ y$$|u-v|<\delta$$. $$N \in \mathbb{N}$$Sea tal que$$\left|u_{n}-v_{n}\right|<\delta$$ para$$n \geq N$$. Para tal$$n$$, tenemos$$\left|f\left(u_{n}\right)-f\left(v_{n}\right)\right|<\varepsilon$$. Esto muestra$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(u_{n}\right)-f\left(v_{n}\right)\right)=0$$.

Para probar lo contrario, asumir la condición (C) sostiene y suponga, a modo de contradicción, que no$$f$$ es uniformemente continuo. Entonces existe$$\varepsilon_{0}>0$$ tal que para cualquiera$$\delta > 0$$, existe$$u,v \in D$$ con

$|u-v|<\delta \text { and }|f(u)-f(v)| \geq \varepsilon_{0} .$

Así, para cada$$n \in \mathbb{N}$$, existen$$u_{n}, v_{n} \in D$$ con

$\left|u_{n}-v_{n}\right| \leq 1 / n \text { and }\left|f\left(u_{n}\right)-f\left(v_{n}\right)\right| \geq \varepsilon_{0} .$

De ello se deduce que para tales secuencias$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(u_{n}-v_{n}\right)=0$$,, pero$$\left\{f\left(u_{n}\right)-f\left(v_{n}\right)\right\}$$ no converge a cero, lo que contradice el supuesto. $$\square$$

## Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

Usando este teorema, podemos dar una prueba más fácil de que la función en el Ejemplo 3.5.6 no es uniformemente continua.

Solución

Considera las dos secuencias$$u_{n}=1 /(n+1)$$ y$$v_{n}=1 / n$$ para todos$$n \geq 2$$. Entonces claramente,$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(u_{n}-v_{n}\right)=0$$, pero

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(u_{n}\right)-f\left(v_{n}\right)\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1 /(n+1)}-\frac{1}{1 / n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}(n+1-n)=1 \neq 0 .$

El siguiente teorema muestra un caso importante en el que la continuidad implica continuidad uniforme.

## Teorema$$\PageIndex{4}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ ser una función continua. Supongamos que$$D$$ es compacto. Entonces$$f$$ es uniformemente continuo en$$D$$.

Prueba

Supongamos por contraadición que no$$f$$ es uniformemente continuo en$$D$$. Entonces existe$$\varepsilon_{0}>0$$ tal que para cualquiera$$\delta > 0$$, existe$$u,v \in D$$ con

$|u-v|<\delta \text { and }|f(u)-f(v)| \geq \varepsilon_{0} .$

Así, para cada$$n \in \mathbb{N}$$, existe$$u_{n}, v_{n} \in D$$ con

$\left|u_{n}-v_{n}\right| \leq 1 / n \text { and }\left|f\left(u_{n}\right)-f\left(v_{n}\right)\right| \geq \varepsilon_{0} .$

Dado que$$D$$ es compacto, existe$$u_{0} \in D$$ y una subsecuencia$$\left\{u_{n_{k}}\right\}$$ de$$\left\{u_{n}\right\}$$ tal manera que

$u_{n_{k}} \rightarrow u_{0} \text { as } k \rightarrow \infty .$

Entonces

$\left|u_{n_{k}}-v_{n_{k}}\right| \leq \frac{1}{n_{k}} .$

para todos$$k$$ y, de ahí, también tenemos

$v_{n_{k}} \rightarrow u_{0} \text { as } k \rightarrow \infty .$

Por la continuidad de$$f$$,

$f\left(u_{n_{k}}\right) \rightarrow f\left(u_{0}\right) \text { and } f\left(v_{n_{k}}\right) \rightarrow f\left(u_{0}\right) .$

Por lo tanto,$$f$$ converge a cero, lo cual es una contradicción. La prueba ya está completa.

$$\square$$

Ahora demostramos un resultado que caracteriza la continuidad uniforme en intervalos delimitados abiertos. Primero hacemos la observación de que si$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ es uniformemente continuo encendido$$D$$ y$$A \subset D$$, entonces$$f$$ es uniformemente continuo encendido$$A$$. Más precisamente, la restricción$$f_{\mid A}: A \rightarrow \mathbb{R}$$ es uniformemente continua en$$A$$ (ver Sección 1.2 para la notación). Esto sigue al señalar que si$$|f(u)-f(v)|<\varepsilon$$ siempre$$u,v \in D$$ con$$|u-v|<\delta$$, entonces también tenemos$$|f(u)-f(v)|<\varepsilon$$ cuando restringimos$$u,v$$ estar adentro$$A$$.

## Teorema$$\PageIndex{5}$$

Dejar$$a,b \in \mathbb{R}$$ y$$a < b$$. Una función$$f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}$$ es uniformemente continua si y solo si se$$f$$ puede extender a una función continua$$\tilde{f}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$$ (es decir, hay una función continua$$\tilde{f}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$$ tal que$$f=\tilde{f}_{\mid(a, b)}$$).

Prueba

Supongamos primero que existe una función continua$$\tilde{f}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$$ tal que$$f=\tilde{f}_{\mid(a, b)}$$. Por Teorema 3.5.4, la función$$\tilde{f}$$ es uniformemente continua en$$[a,b]$$. Por lo tanto, de nuestra observación temprana se desprende que$$f$$ es uniformemente continua$$(a,b)$$.

Para lo contrario, supongamos que$$f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}$$ es uniformemente continuo. Vamos a mostrar primero que$$\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$$ existe. Obsérvese que el límite unilateral corresponde al límite en el Teorema 3.2.2. Comprobaremos que se mantenga la$$\varepsilon-\delta$$ condición del Teorema 3.2.2.

Vamos$$\varepsilon > 0$$. Elige$$\delta_{0}>0$$ para que$$|f(u)-f(v)|<\varepsilon$$ cuando$$u,v \in (a,b)$$ y$$|u-v|<\delta_{0}$$. Set$$\delta=\delta_{0} / 2$$. Entonces, si$$u, v \in(a, b)$$$$|u-a|<\delta$$,, y$$|v-a|<\delta$$ tenemos

$|u-v| \leq|u-a|+|a-v|<\delta+\delta=\delta_{0}$

y, de ahí,$$|f(u)-f(v)|<\varepsilon$$. Ahora podemos invocar el Teorema 3.2.2 para concluir que$$\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$$ existe. De manera similar podemos demostrar que$$\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$$ existe. Ahora define,$$\tilde{f}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$$ por

\ [\ tilde {f} (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
f (x), &\ text {if} x\ in (a, b)\ text {;}\
\ lim _ {x\ rightarrow a^ {+}} f (x), &\ text {if} x=a\ text {;}\
\ lim _ {x\ righttarrow fila b^ {-}} f (x), &\ texto {si} x=b\ texto {.}
\ end {array}\ derecho.\]

Por su definición$$\tilde{f}_{\mid(a, b)}=f$$ y, así,$$tilde{f}$$ es continuo a cada$$x \in (a,b)$$. Por otra parte$$\lim _{x \rightarrow b^{-}} \tilde{f}(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=\tilde{f}(b)$$,$$\lim _{x \rightarrow a^{+}} \tilde{f}(x)= \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\tilde{f}(a)$$ y, así también$$\tilde{f}$$ es continuo en$$a$$ y$$b$$ por el Teorema 3.3.2. Así$$\tilde{f}$$ es la extensión continua deseada de$$f$$. $$\square$$

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Demostrar que cada una de las siguientes funciones es uniformemente continua en el dominio dado:

1. $$f(x)=a x+b, a, b \in \mathbb{R}$$, el$$\mathbb{R}$$.
2. $$f(x)=1 / x \text { on }[a, \infty)$$, donde$$a > 0$$.
Responder

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Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demostrar que cada una de las siguientes funciones no es uniformemente continua en el dominio dado:

1. $$f(x)=x^{2}$$encendido$$\mathbb{R}$$.
2. $$f(x)=\sin \frac{1}{x}$$encendido$$(0,1)$$.
3. $$f(x)=\ln (x)$$encendido$$(0, \infty)$$.
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Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Determinar cuáles de las siguientes funciones son uniformemente continuas en los dominios dados.

1. $$f(x)=x \sin \left(\frac{1}{x}\right)$$encendido$$(0,1)$$.
2. $$f(x)=\frac{x}{x+1}$$encendido$$[0, \infty)$$.
3. $$f(x)=\frac{1}{|x-1|}$$encendido$$(0,1)$$.
4. $$f(x)=\frac{1}{|x-2|}$$encendido$$(0,1)$$.
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Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Dejar$$D \subset \mathbb{R}$$ y$$k \in \mathbb{R}$$. Demostrar que si$$f, g: D \rightarrow \mathbb{R}$$ son uniformemente continuos en$$D$$, entonces$$f+g$$ y$$kf$$ son uniformemente continuos en$$D$$.

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Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Dé un ejemplo de un subconjunto$$D$$$$\mathbb{R}$$ de funciones uniformemente continuas de$$f, g: D \rightarrow \mathbb{R}$$ manera que no$$fg$$ sea uniformemente continua en$$D$$.

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Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Dejar$$D$$ ser un subconjunto no vacío de$$\mathbb{R}$$ y let$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$. Supongamos que$$f$$ es uniformemente continuo en$$D$$. Demostrar que si$$\left\{x_{n}\right\}$$ es una secuencia cauchy con$$x_{n} \in D$$ para cada$$n \in \mathbb{N}$$, entonces también$$\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$$ es una secuencia Caucy.

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Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Dejar$$a,b \in \mathbb{R}$$ y dejar$$f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}$$.

1. Demostrar que si$$f$$ es uniformemente continuo, entonces$$f$$ está acotado.
2. Demostrar que si$$f$$ es continuo, acotado y monótona, entonces es uniformemente continuo.
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Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Dejar$$f$$ ser una función continua en$$[a, \infty)$$. Supongamos

$\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=c .$

1. Demostrar que$$f$$ está acotado en$$[a, \infty)$$.
2. Demostrar que$$f$$ es uniformemente continuo en$$[a, \infty)$$.
3. Supongamos además eso$$c > f(a)$$. Demostrar que existe$$x_{0} \in[a, \infty)$$ tal que

$f\left(x_{0}\right)=\inf \{f(x): x \in[a, \infty)\}.$

Responder

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