3.5: Continuidad Uniforme
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Se discute aquí una noción más fuerte de continuidad.
Dejar\(D\) ser un subconjunto no vacío de\(\mathbb{R}\). Una función\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) se llama uniformemente continua en\(D\) si para alguna\(\varepsilon > 0\), existe\(\delta > 0\) tal que si\(u,v \in D\) y\(|u-v|<\delta\), entonces
\[|f(u)-f(v)|<\varepsilon .\]
Cualquier función constante\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\), es uniformemente continua en su dominio.
Solución
En efecto, dado\(\varepsilon > 0\),\(|f(u)-f(v)|=0<\varepsilon\) para todos\(u,v \in D\) independientemente de la elección de\(\delta\).
El siguiente resultado es sencillo a partir de la definición.
Si\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) es uniformemente continuo encendido\(D\), entonces\(f\) es continuo en cada punto\(x_{0} \in D\).
\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Déjese dar por\(f(x)=7 x-2\). Vamos a mostrar que\(f\) es uniformemente continuo en\(\mathbb{R}\).
Solución
Deja\(\varepsilon > 0\) y elige\(\delta=\varepsilon / 7\). Entonces, si\(u,v \in \mathbb{R}\) y\(|u-v|<\delta\), tenemos
\[|f(u)-f(v)|=|7 u-2-(7 v-2)|=|7(u-v)|=7|u-v|<7 \delta=\varepsilon \nonumber\]
\(f:[-3,2] \rightarrow \mathbb{R}\)Déjese dar por\(f(x)=x^{2}\). Esta función es uniformemente continua en\([-3,2]\).
Solución
Vamos\(\varepsilon > 0\). Primero observa eso\(u,v \in [-3,2]\) porque tenemos\(|u+v| \leq|u|+|v| \leq 6\). Ahora listo\(\delta=\varepsilon / 6\). Entonces, para\(u,v \in [-3,2]\) satisfacer\(|u-v|<\delta\), tenemos
\[|f(u)-f(v)|=\left|u^{2}-v^{2}\right|=|u-v||u+v| \leq 6|u-v|<6 \delta=\varepsilon. \nonumber\]
\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Déjese dar por\(f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\). Vamos a mostrar que\(f\) es uniformemente continuo en\(\mathbb{R}\).
Solución
Vamos\(\varepsilon > 0\). Observamos primero que
\[\begin{align*} \mid \frac{u^{2}}{u^{2}+1} -\frac{v^{2}}{v^{2}+1} \mid &= | \frac{u^{2}\left(v^{2}+1\right)-v^{2}\left(u^{2}+1\right)}{\left(u^{2}+1\right)\left(v^{2}+1\right)} | \\[4pt] &= \frac{|u-v||u+v|}{\left(u^{2}+1\right)\left(v^{2}+1\right)} \leq \frac{|u-v|(|u|+|v|)}{\left(u^{2}+1\right)\left(v^{2}+1\right)} \\[4pt] &\leq \frac{|u-v|\left(\left(u^{2}+1\right)+\left(v^{2}+1\right)\right)}{\left(u^{2}+1\right)\left(v^{2}+1\right)} \\[4pt] &\leq|u-v|\left(\frac{1}{v^{2}+1}+\frac{1}{u^{2}+1}\right) \leq 2|u-v| , \end{align*}\]
(donde usamos eso\(|x| \leq x^{2}+1\) para todos\(x \in \mathbb{R}\), que se puede ver fácilmente considerando por separado los casos\(|x|<1\) y\(|x| \geq 1)\).
Ahora listo\(\delta=\varepsilon / 2\). En vista del cálculo anterior, dado\(u,v \in \mathbb{R}\) satisfactorio\(|u-v|<\delta\) tenemos
\[|f(u)-f(v)|=\left|\frac{u^{2}}{u^{2}+1}-\frac{v^{2}}{v^{2}+1}\right| \leq 2|u-v|<2 \delta=\varepsilon . \nonumber\]
Dejar\(D\) ser un subconjunto no vacío de\(\mathbb{R}\). Se dice que una función\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) es Hölder continua si hay constantes\(\ell \geq 0\) y\(\alpha > 0\) tal que
\[|f(u)-f(v)| \leq \ell|u-v|^{\alpha} \text { for every } u, v \in D .\]
El número\(\alpha\) se llama Hölder exponente de la función. Si\(\alpha = 1\), entonces la función\(f\) se llama Lipschitz continua.
Si una función\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) es Hölder continua, entonces es uniformemente continua.
- Prueba
-
Como\(f\) es Hölder conitnuous, hay constantes\(\ell \geq 0\) y\(\alpha > 0\) tales que
\[|f(u)-f(v)| \leq \ell|u-v|^{\alpha} \text { for every } u, v \in D . \nonumber\]
Si\(\ell = 0\), entonces\(f\) es constante y, por lo tanto, uniformemente continuo. Supongamos que después eso\(\ell > 0\). Para cualquiera\(\varepsilon > 0\), vamos\(\delta=\left(\frac{\varepsilon}{\ell}\right)^{1 / \alpha}\). Entonces, siempre que\(u,v \in D\), con\(|u-v|<\delta\) nosotros tenemos
\[|f(u)-f(v)| \leq \ell|u-v|^{\alpha}<\ell \delta^{\alpha}=\varepsilon . \nonumber\]
La prueba ya está completa. \(\square\)
- Vamos\(D=[a, \infty)\), dónde\(a > 0\). (2) Vamos\(D=[0, \infty)\).
Solución
- Entonces la función\(f(x)=\sqrt{x}\) es Lipschitz continua\(D\) y, por lo tanto, uniformemente continua en este set. En efecto, para cualquiera\(u,v \in D\), tenemos
\[|f(u)-f(v)|=|\sqrt{u}-\sqrt{v}|=\frac{|u-v|}{\sqrt{u}+\sqrt{v}} \leq \frac{1}{2 \sqrt{a}}|u-v| ,\]
que muestra\(f\) es Lipschitz con\(\ell=1 /(2 \sqrt{a})\).
Figura\(3.4\): La función de raíz cuadrada.
- Entonces no\(f\) es Lipschitz continuo encendido\(D\), sino que es Hölder continuo encendido\(D\) y, por lo tanto, también\(f\) es uniformemente continuo en este set.
En efecto, supongamos por contradicción que\(f\) es Lipschitz continuo\(D\). Entonces existe una constante\(\ell>0\) tal htat
\[|f(u)-f(v)|=|\sqrt{u}-\sqrt{v}| \leq \ell|u-v| \text { for every } u, v \in D .\]
Así, para cada\(n \in \mathbb{N}\), tenemos
\[\left|\frac{1}{\sqrt{n}}-0\right| \leq \ell\left|\frac{1}{n}-0\right| .\]
Esto implica
\[\sqrt{n} \leq \ell \text { or } n \leq \ell^{2} \text { for every } n \in \mathbb{N} .\]
Esto es una contradicción. Por lo tanto, no\(f\) es Lipschitz continuo en\(D\).
Demostremos que\(f\) es Hölder continuo en\(D\). Vamos a demostrar que
\[|f(u)-f(v)| \leq|u-v|^{1 / 2} \text { for every } u, v \in D .\]
La desigualdad en (3.9) sostiene obviamente para\(u = v = 0\). Para\(u > 0\) o\(v > 0\), tenemos
\ [\ begin {alineado}
|f (u) -f (v) | &=|\ sqrt {u} -\ sqrt {v} |\\
&=\ izquierda|\ frac {u-v} {\ sqrt {u} +\ sqrt {v}}\ derecha|\\
&=\ sqrt {|u-v|}\ frac {\ sqrt {|u-v|}} {\ sqrt {u} +\ sqrt {v}}\\
&\ leq\ frac {\ sqrt {|u|+|v|}} {\ sqrt {u} +\ sqrt {v}}\ sqrt {|u-v|}\\
&=\ sqrt {|u-v|}
\ end {alineado}.\]
Tenga en cuenta que uno puede justificar esa desigualdad
\[\frac{\sqrt{|u|+|v|}}{\sqrt{u}+\sqrt{v}} \leq 1\]
al cuadrar ambos lados ya que ambos son positivos. Así, (3.9) queda satisfecho.
Si bien cada función uniformemente continua en un conjunto también\(D\) es continua en cada punto de\(D\), lo contrario no es cierto en general. El siguiente ejemplo ilustra este punto.
\(f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}\)Déjese dar por
\[f(x)=\frac{1}{x} .\]
Figura\(3.5\): Continuo pero no uniformemente continuo encendido\((0, \infty)\).
Solución
Ya sabemos que esta función es continua en cada uno\(\bar{x} \in(0,1)\). Vamos a mostrar que no\(f\) es uniformemente continuo en\((0,1)\). Dejar\(\varepsilon = 2\) y\(\delta > 0\). Establecer\(\delta_{0}=\min \{\delta / 2,1 / 4\}\),\(x=\delta_{0}\), y\(y=2 \delta_{0}\). Entonces\(x,y \in (0,1)\) y\(|x-y|=\delta_{0}<\delta\), pero
\[|f(x)-f(y)|=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|=\left|\frac{y-x}{x y}\right|=\left|\frac{\delta_{0}}{2 \delta_{0}^{2}}\right|=\left|\frac{1}{2 \delta_{0}}\right| \geq 2=\varepsilon .\]
Esto muestra no\(f\) es uniformemente continuo en\((0,1)\).
El siguiente teorema ofrece una caracterización secuencial de continuidad uniforme análoga a la del Teorema 3.3.3.
Dejar\(D\) ser un subconjunto no vacío de\(\mathbb{R}\) y\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\). Entonces\(f\) es uniformemente continuo\(D\) si y solo si se cumple la siguiente condición
(C) por cada dos secuencias\(\left\{u_{n}\right\}\),\(\left\{v_{n}\right\}\) en\(D\) tal que\(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(u_{n}-v_{n}\right)=0\), de ello se deduce\(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(u_{n}\right)-f\left(v_{n}\right)\right)=0\).
- Prueba
-
Supongamos primero que\(f\) es uniformemente continuo y dejar\(\left\{u_{n}\right\}\),\(\left\{v_{n}\right\}\) ser secuencias en\(D\) tal que\(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(u_{n}-v_{n}\right)=0\). Vamos\(\varepsilon > 0\). Elige de\(\delta > 0\) tal manera que\(|f(u)-f(v)|<\varepsilon\) cuando\(u,v \in D\) y\(|u-v|<\delta\). \(N \in \mathbb{N}\)Sea tal que\(\left|u_{n}-v_{n}\right|<\delta\) para\(n \geq N\). Para tal\(n\), tenemos\(\left|f\left(u_{n}\right)-f\left(v_{n}\right)\right|<\varepsilon\). Esto muestra\(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(u_{n}\right)-f\left(v_{n}\right)\right)=0\).
Para probar lo contrario, asumir la condición (C) sostiene y suponga, a modo de contradicción, que no\(f\) es uniformemente continuo. Entonces existe\(\varepsilon_{0}>0\) tal que para cualquiera\(\delta > 0\), existe\(u,v \in D\) con
\[|u-v|<\delta \text { and }|f(u)-f(v)| \geq \varepsilon_{0} .\]
Así, para cada\(n \in \mathbb{N}\), existen\(u_{n}, v_{n} \in D\) con
\[\left|u_{n}-v_{n}\right| \leq 1 / n \text { and }\left|f\left(u_{n}\right)-f\left(v_{n}\right)\right| \geq \varepsilon_{0} .\]
De ello se deduce que para tales secuencias\(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(u_{n}-v_{n}\right)=0\),, pero\(\left\{f\left(u_{n}\right)-f\left(v_{n}\right)\right\}\) no converge a cero, lo que contradice el supuesto. \(\square\)
Usando este teorema, podemos dar una prueba más fácil de que la función en el Ejemplo 3.5.6 no es uniformemente continua.
Solución
Considera las dos secuencias\(u_{n}=1 /(n+1)\) y\(v_{n}=1 / n\) para todos\(n \geq 2\). Entonces claramente,\(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(u_{n}-v_{n}\right)=0\), pero
\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(u_{n}\right)-f\left(v_{n}\right)\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1 /(n+1)}-\frac{1}{1 / n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}(n+1-n)=1 \neq 0 .\]
El siguiente teorema muestra un caso importante en el que la continuidad implica continuidad uniforme.
Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) ser una función continua. Supongamos que\(D\) es compacto. Entonces\(f\) es uniformemente continuo en\(D\).
- Prueba
-
Supongamos por contraadición que no\(f\) es uniformemente continuo en\(D\). Entonces existe\(\varepsilon_{0}>0\) tal que para cualquiera\(\delta > 0\), existe\(u,v \in D\) con
\[|u-v|<\delta \text { and }|f(u)-f(v)| \geq \varepsilon_{0} .\]
Así, para cada\(n \in \mathbb{N}\), existe\(u_{n}, v_{n} \in D\) con
\[\left|u_{n}-v_{n}\right| \leq 1 / n \text { and }\left|f\left(u_{n}\right)-f\left(v_{n}\right)\right| \geq \varepsilon_{0} .\]
Dado que\(D\) es compacto, existe\(u_{0} \in D\) y una subsecuencia\(\left\{u_{n_{k}}\right\}\) de\(\left\{u_{n}\right\}\) tal manera que
\[u_{n_{k}} \rightarrow u_{0} \text { as } k \rightarrow \infty .\]
Entonces
\[\left|u_{n_{k}}-v_{n_{k}}\right| \leq \frac{1}{n_{k}} .\]
para todos\(k\) y, de ahí, también tenemos
\[v_{n_{k}} \rightarrow u_{0} \text { as } k \rightarrow \infty .\]
Por la continuidad de\(f\),
\[f\left(u_{n_{k}}\right) \rightarrow f\left(u_{0}\right) \text { and } f\left(v_{n_{k}}\right) \rightarrow f\left(u_{0}\right) .\]
Por lo tanto,\(f\) converge a cero, lo cual es una contradicción. La prueba ya está completa.
\(\square\)
Ahora demostramos un resultado que caracteriza la continuidad uniforme en intervalos delimitados abiertos. Primero hacemos la observación de que si\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) es uniformemente continuo encendido\(D\) y\(A \subset D\), entonces\(f\) es uniformemente continuo encendido\(A\). Más precisamente, la restricción\(f_{\mid A}: A \rightarrow \mathbb{R}\) es uniformemente continua en\(A\) (ver Sección 1.2 para la notación). Esto sigue al señalar que si\(|f(u)-f(v)|<\varepsilon\) siempre\(u,v \in D\) con\(|u-v|<\delta\), entonces también tenemos\(|f(u)-f(v)|<\varepsilon\) cuando restringimos\(u,v\) estar adentro\(A\).
Dejar\(a,b \in \mathbb{R}\) y\(a < b\). Una función\(f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}\) es uniformemente continua si y solo si se\(f\) puede extender a una función continua\(\tilde{f}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) (es decir, hay una función continua\(\tilde{f}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) tal que\(f=\tilde{f}_{\mid(a, b)}\)).
- Prueba
-
Supongamos primero que existe una función continua\(\tilde{f}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) tal que\(f=\tilde{f}_{\mid(a, b)}\). Por Teorema 3.5.4, la función\(\tilde{f}\) es uniformemente continua en\([a,b]\). Por lo tanto, de nuestra observación temprana se desprende que\(f\) es uniformemente continua\((a,b)\).
Para lo contrario, supongamos que\(f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}\) es uniformemente continuo. Vamos a mostrar primero que\(\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)\) existe. Obsérvese que el límite unilateral corresponde al límite en el Teorema 3.2.2. Comprobaremos que se mantenga la\(\varepsilon-\delta\) condición del Teorema 3.2.2.
Vamos\(\varepsilon > 0\). Elige\(\delta_{0}>0\) para que\(|f(u)-f(v)|<\varepsilon\) cuando\(u,v \in (a,b)\) y\(|u-v|<\delta_{0}\). Set\(\delta=\delta_{0} / 2\). Entonces, si\(u, v \in(a, b)\)\(|u-a|<\delta\),, y\(|v-a|<\delta\) tenemos
\[|u-v| \leq|u-a|+|a-v|<\delta+\delta=\delta_{0}\]
y, de ahí,\(|f(u)-f(v)|<\varepsilon\). Ahora podemos invocar el Teorema 3.2.2 para concluir que\(\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)\) existe. De manera similar podemos demostrar que\(\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)\) existe. Ahora define,\(\tilde{f}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) por
\ [\ tilde {f} (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
f (x), &\ text {if} x\ in (a, b)\ text {;}\
\ lim _ {x\ rightarrow a^ {+}} f (x), &\ text {if} x=a\ text {;}\
\ lim _ {x\ righttarrow fila b^ {-}} f (x), &\ texto {si} x=b\ texto {.}
\ end {array}\ derecho.\]Por su definición\(\tilde{f}_{\mid(a, b)}=f\) y, así,\(tilde{f}\) es continuo a cada\(x \in (a,b)\). Por otra parte\(\lim _{x \rightarrow b^{-}} \tilde{f}(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=\tilde{f}(b)\),\(\lim _{x \rightarrow a^{+}} \tilde{f}(x)= \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\tilde{f}(a)\) y, así también\(\tilde{f}\) es continuo en\(a\) y\(b\) por el Teorema 3.3.2. Así\(\tilde{f}\) es la extensión continua deseada de\(f\). \(\square\)
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Demostrar que cada una de las siguientes funciones es uniformemente continua en el dominio dado:
- \(f(x)=a x+b, a, b \in \mathbb{R}\), el\(\mathbb{R}\).
- \(f(x)=1 / x \text { on }[a, \infty)\), donde\(a > 0\).
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-
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Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Demostrar que cada una de las siguientes funciones no es uniformemente continua en el dominio dado:
- \(f(x)=x^{2}\)encendido\(\mathbb{R}\).
- \(f(x)=\sin \frac{1}{x}\)encendido\((0,1)\).
- \(f(x)=\ln (x)\)encendido\((0, \infty)\).
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Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
Determinar cuáles de las siguientes funciones son uniformemente continuas en los dominios dados.
- \(f(x)=x \sin \left(\frac{1}{x}\right)\)encendido\((0,1)\).
- \(f(x)=\frac{x}{x+1}\)encendido\([0, \infty)\).
- \(f(x)=\frac{1}{|x-1|}\)encendido\((0,1)\).
- \(f(x)=\frac{1}{|x-2|}\)encendido\((0,1)\).
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Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Dejar\(D \subset \mathbb{R}\) y\(k \in \mathbb{R}\). Demostrar que si\(f, g: D \rightarrow \mathbb{R}\) son uniformemente continuos en\(D\), entonces\(f+g\) y\(kf\) son uniformemente continuos en\(D\).
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Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Dé un ejemplo de un subconjunto\(D\)\(\mathbb{R}\) de funciones uniformemente continuas de\(f, g: D \rightarrow \mathbb{R}\) manera que no\(fg\) sea uniformemente continua en\(D\).
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Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Dejar\(D\) ser un subconjunto no vacío de\(\mathbb{R}\) y let\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\). Supongamos que\(f\) es uniformemente continuo en\(D\). Demostrar que si\(\left\{x_{n}\right\}\) es una secuencia cauchy con\(x_{n} \in D\) para cada\(n \in \mathbb{N}\), entonces también\(\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}\) es una secuencia Caucy.
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Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
Dejar\(a,b \in \mathbb{R}\) y dejar\(f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}\).
- Demostrar que si\(f\) es uniformemente continuo, entonces\(f\) está acotado.
- Demostrar que si\(f\) es continuo, acotado y monótona, entonces es uniformemente continuo.
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Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
Dejar\(f\) ser una función continua en\([a, \infty)\). Supongamos
\[\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=c .\]
- Demostrar que\(f\) está acotado en\([a, \infty)\).
- Demostrar que\(f\) es uniformemente continuo en\([a, \infty)\).
- Supongamos además eso\(c > f(a)\). Demostrar que existe\(x_{0} \in[a, \infty)\) tal que
\[f\left(x_{0}\right)=\inf \{f(x): x \in[a, \infty)\}.\]
- Responder
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