4.1: Definición y Propiedades Básicas de la Derivada

Dejar\(G\) ser un subconjunto abierto de\(\mathbb{R}\) y considerar una función\(f: G \rightarrow \mathbb{R}\). Para cada\(a \in G\), la función

\[\phi_{a}(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

se define en\(G \backslash\{a\}\). Dado que\(G\) es un conjunto abierto,\(a\) es un punto límite de\(G \backslash \{a\}\) (ver Ejemplo 2.6.6). Por lo tanto, es posible discutir el límite

\[\lim _{x \rightarrow a} \phi_{a}(x)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]

Definición\(\PageIndex{1}\): Differentiable and Derivative

Dejar\(G\) ser un subconjunto abierto de\(\mathbb{R}\) y dejar\(a \in G\). Decimos que la función\(f\) definida on\(G\) es diferenciable en\(a\) si el límite

\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

existe (como un número real). En este caso, el límite se denomina la derivada de\(f\) at\(a\) denotada por\(f^{\prime}(a)\), y\(f\) se dice que es diferenciable at\(a\). Por lo tanto, si\(f\) es diferenciable en\(a\), entonces

\[f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]

Decimos que\(f\) es diferenciable sobre\(G\) si\(f\) es diferenciable en cada punto\(a \in G\). En este caso, la función\(f^{\prime}: G \rightarrow \mathbb{R}\) se llama la derivada on\(f\) on\(G\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

1. \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Déjese dar por\(f(x)=x\) y dejar\(a \in \mathbb{R}\).
2. \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Déjese dar por\(f(x)=x^{2}\) y dejar\(a \in \mathbb{R}\).
3. \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Déjese dar por\(f(x)=|x|\) y dejar\(a = 0\).

Solución

1. Entonces

\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{x-a}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a} 1=1.\]

De ello se deduce que\(f\) es diferenciable en\(a\) y\(f^{\prime}(a)=1\).

2. Entonces

\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{2}-a^{2}}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{(x-a)(x+a)}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a}(x+a)=2 a .\]

Así,\(f\) es diferenciable en cada\(a \in \mathbb{R}\) y\(f^{\prime}(a)=2 a\).

3. Entonces

\[\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{|x|}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x}=1 ,\]

y

\[\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{|x|}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x}{x}=-1 .\]

Por lo tanto,\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\) no existe y, por lo tanto, no\(f\) es diferenciable en\(0\).

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(G\) ser un subconjunto abierto de\(\mathbb{R}\) y dejar\(f\) ser definido en\(G\). Si\(f\) es diferenciable en\(a \in G\), entonces\(f\) es continuo en este punto.

Prueba

Tenemos la siguiente identidad para\(x \in G \backslash\{a\}\):

\ [\ begin {alineado}
f (x) &=f (x) -f (a) +f (a)\\
&=\ frac {f (x) -f (a)} {x-a} (x-a) +f (a)
\ end {alineado}.\]

Por lo tanto,

\[\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a}\left[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)+f(a)\right]=f^{\prime}(a) \cdot 0+f(a)=f(a) .\]

Por lo tanto,\(f\) es continuo en\(a\) por el Teorema 3.3.2. \(\square\)

Remarcar\(\PageIndex{2}\)

Lo contrario del Teorema 4.1.1 no es cierto. Por ejemplo, la función de valor absoluto\(f(x)=|x|\) es continua en\(0\), pero no es diferenciable en este punto (como se muestra en el ejemplo anterior).

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(G\) ser un subconjunto abierto de\(\mathbb{R}\) y dejar\(f, g: G \rightarrow \mathbb{R}\). Supongamos que ambos\(f\) y\(g\) son diferenciables en\(a \in G\). Después se mantiene el siguiente.

1. La función\(f+g\) es diferenciable en\(a\) y\[(f+g)^{\prime}(a)=f^{\prime}(a)+g^{\prime}(a) .\]
2. Para una constante\(c\), la función\(cf\) es diferenciable en\(a\) y\[(c f)^{\prime}(a)=c f^{\prime}(a) .\]
3. La función\(fg\) es diferenciable en\(a\) y\[(f g)^{\prime}(a)=f^{\prime}(a) g(a)+f(a) g^{\prime}(a) .\]
4. Supongamos además eso\(g(a) \neq 0\). Entonces la función\(\frac{f}{g}\) es diferenciable en\(a\) y\[\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}(a)=\frac{f^{\prime}(a) g(a)-f(a) g^{\prime}(a)}{(g(a))^{2}}\].

Prueba

Las pruebas para (a) y (b) son sencillas y las dejamos como exsercises. Demostremos (c). Por cada\(x \in G \backslash\{a\}\), podemos escribir

\ [\ begin {alineado}
\ frac {(f g) (x) - (f g) (a)} {x-a} &=\ frac {f (x) g (x) -f (a) g (x) +f (a) g (x) -f (a) g (a)} {x-a}\\
&=\ frac {(f (x) -f (a)) g (x)} {x-a} +\ frac {f (a) (g (x) -g (a))} {x-a}
\ final {alineado}.\]

Por el Teorema 4.1.1, la función\(g\) es continua en\(a\) y, por lo tanto

\[\lim _{x \rightarrow a} g(x)=g(a) .\]

Por lo tanto,

\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{(f g)(x)-(f g)(a)}{x-a}=f^{\prime}(a) g(a)+f(a) g^{\prime}(a) .\]

Esto implica (c).

A continuación mostramos (d). Ya que\(g(a) \neq 0\), por (4.1), existe un intervalo abierto\(I\) que contiene\(a\) tal que\(g(x) \neq 0\) para todos\(x \in I\). Vamos\(h = \frac{f}{g}\). Entonces\(h\) se define en\(I\). Por otra parte,

\ [\ begin {alineado}
\ frac {h (x) -h (a)} {x-a} &=\ frac {\ frac {f (x)} {g (x)} -\ frac {f (a)} {g (x)} +\ frac {f (a)} {g (x)} -\ frac {f (a)} {g (a)}} {x-a}\\
&=\ frac {\ frac {1} {g (x)} (f (x) -f (a)) +\ frac {f (a)} {g (x) g (a)} (g (a) -g (x))} {x-a}\\
&=\ frac {1} {g (x) g (a)} izquierda\ [g (a)\ frac {f (x) -f (a)} {x-a} -f (a)\ frac {g (x) -g (a)} {x-a}\ derecha]
\ final {alineado}.\]

Tomando el límite como\(x \rightarrow a\), obtenemos (d). La prueba ya está completa. \(\square\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Déjese dar por\(f(x) = x^2\) y dejar\(a \in \mathbb{R}\).

Solución

Usando el Ejemplo 4.1.1 (a) y el Teorema 4.1.3 (c) podemos proporcionar una derivación alternativa de una fórmula para\(f^{\prime}(a)\). Efectivamente,\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) déjese dar por\(g(x) = x\). Entonces\(f=g \cdot g\) así

\[f^{\prime}(a)=(g g)^{\prime}(a)=g^{\prime}(a) g(a)+g(a) g^{\prime}(a)=2 g^{\prime}(a) g(a)=2 a .\]

Procediendo por inducción, podemos obtener la derivada de\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por\(g(x)=x^{n}\) for\(n \in \mathbb{N}\) as\(g^{\prime}(a)=n x^{n-1}\). Además, utilizando este y el Teorema 4.1.3 (a) (b) obtenemos la fórmula familiar para la derivada de un polinomio\(p(x)=a_{n} x^{n}+\cdots+a_{1} x+a_{0}\) como\(p^{\prime}(x)=n a_{n} x^{n-1}+\cdots+2 a_{2} x+a_{1}\).

El siguiente lema es muy conveniente para estudiar la diferenciabilidad de la composición de funciones.

Lema\(\PageIndex{4}\)

Dejar\(G\) ser un subconjunto abierto de\(\mathbb{R}\) y dejar\(f: G \rightarrow \mathbb{R}\). Supongamos que\(f\) es diferenciable en\(a\). Entonces existe una función\(u: G \rightarrow \mathbb{R}\) satisfactoria

\[f(x)-f(a)=\left[f^{\prime}(a)+u(x)\right](x-a) \text { for all } x \in G\]

y\(\lim _{x \rightarrow a} u(x)=0\).

Prueba

Definir

\ [u (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
\ frac {f (x) -f (a)} {x-a} -f^ {\ prime} (a), & x\ en G\ barra diagonal\ {a\}\\
0, & x=a
\ end {array}\ derecha.\]

Ya que\(f\) es diferenciable en\(a\), tenemos

\[\lim _{x \rightarrow a} u(x)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f^{\prime}(a)=f^{\prime}(a)-f^{\prime}(a)=0 .\]

Por lo tanto, la función\(u\) satisface las condiciones del lema. \(\square\)

Teorema\(\PageIndex{5}\) - Chain rule.

Let\(f: G_{1} \rightarrow \mathbb{R}\) y let\(g: G_{2} \rightarrow \mathbb{R}\), donde\(G_{1}\) y\(G_{2}\) son dos subconjuntos abiertos de\(\mathbb{R}\) con\(f\left(G_{1}\right) \subset G_{2}\). Supongamos que\(f\) es diferenciable en\(a\) y\(g\) es diferenciable en\(f(a)\). Entonces la función\(g \circ f\) es diferenciable en\(a\) y

\[(g \circ f)^{\prime}(a)=g^{\prime}(f(a)) f^{\prime}(a) .\]

Prueba

Dado que\(f\) es diferenciable en\(a\), por Lema 4.1.4, existe una función\(u\) definida en\(G_{1}\) con

\[f(x)-f(a)=\left[f^{\prime}(a)+u(x)\right](x-a) \text { for all } x \in G_{1} ,\]

y\(\lim _{x \rightarrow a} u(x)=0\).

Del mismo modo, dado que\(g\) es diferenciable en\(f(a)\), existe una función\(v\) definida en\(G_{2}\) con

\[g(t)-g(f(a))=\left[g^{\prime}(f(a))+v(t)\right][t-f(a)] \text { for all } t \in G_{2} ,\]

y\(\lim _{t \rightarrow f(a)} v(t)=0\).

Aplicando (4.2) para\(t = f(x)\), tenemos

\[g(f(x))-g(f(a))=\left[g^{\prime}(f(a))+v(f(x))\right][f(x)-f(a)] .\]

Por lo tanto,

\[g(f(x))-g(f(a))=\left[g^{\prime}(f(a))+v(f(x))\right]\left[f^{\prime}(a)+u(x)\right](x-a) \text { for all } x \in G_{1} .\]

Esto implica

\[\frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a}=\left[g^{\prime}(f(a))+v(f(x))\right]\left[f^{\prime}(a)+u(x)\right] \text { for all } x \in G_{1} \backslash\{a\} .\]

Por la continuidad de\(f\) at\(a\) y la propiedad de\(v\), tenemos\(\lim _{x \rightarrow a} v(f(x))=0\) y, por lo tanto,

\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a}=g^{\prime}(f(a)) f^{\prime}(a)\].

La prueba ya está completa. \(\square\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Considera la función\(h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) que le da\(h(x)=\left(3 x^{4}+x+7\right)^{15}\).

Solución

Dado que\(h(x)\) es un polinomio podríamos en principio computar\(h^{\prime}(x)\) expandiendo la potencia y usando el Ejemplo 4.1.2. Sin embargo, el Teorema 4.1.5 proporciona un camino más corto. Definir\(f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por\(f(x)=3 x^{4}+x+7\) y\(g(x)=x^{15}\). Entonces\(h=g \circ f\). Dado\(a \in \mathbb{R}\), se deduce del Teorema 4.1.5 que

\[(g \circ f)^{\prime}(a)=g^{\prime}(f(a)) f^{\prime}(a)=15\left(3 a^{4}+a+7\right)^{14}\left(12 a^{3}+1\right) .\]

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Al iterar la Regla de Cadena, podemos extender el resultado a la composición de más de dos funciones de una manera sencilla. Por ejemplo, dadas las funciones\(f: G_{1} \rightarrow \mathbb{R}\)\(g: G_{2} \rightarrow \mathbb{R}\), y\(h: G_{3} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que\(f\left(G_{1}\right) \subset G_{2}\),\(g\left(G_{2}\right) \subset G_{3}\),\(f\) es diferenciable en\(a\),\(g\) es diferenciable en\(f(a)\), y\(h\) es diferenciable en\(g(f(a))\), obtenemos que\(h \circ g \circ f\) es diferenciable en\(a\) y\((h \circ g \circ f)^{\prime}(a)=h^{\prime}(g(f(a))) g^{\prime}(f(a)) f^{\prime}(a)\)

Solución

Agrega texto aquí.

Definición\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(G\) ser un conjunto abierto y dejar\(f: G \rightarrow \mathbb{R}\) ser una función diferenciable. Si la función también\(f^{\prime}: G \rightarrow \mathbb{R}\) es diferenciable, decimos que\(f\) es dos veces diferenciable (on\(G\)). La segunda derivada de\(f\) se denota\(f^{\prime \prime}\) o\(f^{(2)}\). Así\(f^{\prime \prime}=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}\). De igual manera, decimos que\(f\) es tres veces diferenciable si\(f^{(2)}\) es diferenciable, y\(\left(f^{(2)}\right)^{\prime}\) se llama la tercera derivada de\(f\) y se denota por\(f^{\prime \prime \prime}\) o\(f^{(3)}\). Podemos definir de esta manera\(n\) tiempos la diferenciabilidad y la\(nth\) derivada de\(f\) para cualquier entero positivo\(n\). Como convención,\(f^{(0)}=f\).

Definición\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(I\) ser un intervalo abierto en\(\mathbb{R}\) y dejar\(f: I \rightarrow \mathbb{R}\). \(f\)Se dice que la función es continuamente diferenciable si\(f\) es diferenciable encendido\(I\) y\(f^{\prime}\) es continuo encendido\(I\). Denotamos por\(C^{1}(I)\) el conjunto de todas las funciones continuamente diferenciables en\(I\). Si\(f\) es\(n\) tiempos diferenciables\(I\) y la\(nth\) derivada es continua, entonces\(f\) se llama\(n\) tiempos continuamente diferenciables. Denotamos por\(C^{n}(I)\) el conjunto de todos los\(n\) tiempos funciones continuamente diferenciables en\(I\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar las partes (a) y (b) del Teorema 4.1.3.

Contestar

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Compute las siguientes derivadas directamente a partir de la definición. Es decir, no use el Teorema 4.1.3, sino que compute el límite apropiado directamente (ver Ejemplo 4.1.1).

1. \(f(x)=m x+b \text { where } m, b \in \mathbb{R}\).
2. \(f(x) = \frac{1}{x}\)(aquí asumir\(x \neq 0\).
3. \(f(x)=\sqrt{x}\)(aquí supongamos\(x > 0\))

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Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Déjese dar por

\ [f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
x^ {2}, &\ text {if} x>0\ text {;}\\
0, &\ text {if} x\ leq 0\ text {.}
\ end {array}\ derecho.\]

1. Demostrar que\(f\) es diferenciable en\(0\). Encuentra\(f^{\prime}(x)\) para todos\(x \in \mathbb{R}\).
2. ¿Es\(f^{\prime}\) continuo? ¿Es\(f^{\prime}\) diferenciable?

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Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Let

\ [f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
x^ {\ alpha}, &\ text {if} x>0\ text {;}\\
0, &\ text {if} x\ leq 0\ text {.}
\ end {array}\ derecho.\]

1. Determinar los valores de\(\alpha\) para los cuales\(f\) es continuo en\(\mathbb{R}\).
2. Determinar los valores de\(\alpha\) para los cuales\(f\) es diferenciable en\(\mathbb{R}\). En este caso, encuentra\(f^{\prime}\).

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Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Utilice los Teoremas 4.1.3 y 4.1.5 para computar las derivadas de las siguientes funciones en los puntos indicados (ver también Ejemplo 4.1.4). (Asumir conocido que la función\(\sin x\) es diferenciable en todos los puntos y que su derivada es\(\cos x\).)

1. \(f(x)=\frac{3 x^{4}+7 x}{2 x^{2}+3} \text { at } a=-1\).
2. \(f(x)=\sin ^{5}\left(3 x^{2}+\frac{\pi}{2} x\right) \text { at } a=\frac{\pi}{8}\)

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Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Determinar los valores de\(x\) a los que cada función es diferenciable.

1. \ (f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
   x\ sin\ frac {1} {x}, &\ text {if} x\ neq 0\ text {;}\\
   0, &\ text {if} x=0\ text {.}
   \ end {array}\ derecho.\)
2. \ (f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
   x^ {2}\ sin\ frac {1} {x}, &\ text {if} x\ neq 0\ text {;}\\
   0, &\ text {if} x=0\ text {;}
   \ end {array}\ right.\)

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Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Determinar si cada una de las siguientes funciones es diferencial en\(0\). Justifica tu respuesta.

1. f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
   x^ {2}, &\ text {if} x\ in\ mathbb {Q}\ text {;}\\
   x^ {3}, &\ text {si} x\ notin\ mathbb {Q}\ texto {.}
   \ end {array}\ derecho.\)
2. \(f(x)=[x] \sin ^{2}(\pi x)\).
3. \(f(x)=\cos (\sqrt{|x|})\).
4. \(f(x)=x|x|\).

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Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Dejar\(f, g\) ser diferenciable en\(a\). Encuentra los siguientes límites:

1. \(\lim _{x \rightarrow a} \frac{x f(a)-a f(x)}{x-a}\).
2. \(\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x) g(a)-f(a) g(x)}{x-a}\).

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Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Dejar\(G\) ser un subconjunto abierto de\(\mathbb{R}\) y\(a \in G\). Demostrar que si Lipschitz\(f: G \rightarrow \mathbb{R}\) es continuo, entonces\(g(x)=(f(x)-f(a))^{2}\) es diferenciable en\(a\).

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Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Dejemos\(f\) ser diferenciales en\(a\) y\(f(a)>0\). Encuentra el siguiente límite:

\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right)^{n}\].

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Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Considera la función

\ [f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
x^ {2}\ sin\ frac {1} {x} +c x, &\ text {if} x\ neq 0\ text {;}\\
0, &\ text {if} x=0\ text {,}
\ end {array}\ right.\]

donde\(0<c<1\).

1. Demostrar que la función es diferenciable en\(\mathbb{R}\).
2. Demostrar que para cada\(\alpha > 0\), la función\(f^{\prime}\) cambia su signo de encendido\((-\alpha, \alpha)\).

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Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Dejar\(f\) ser diferenciable en\(x_{0} \in(a, b)\) y dejar\(c\) ser una constante. Demostrar que

1. \(\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(x_{0}+\frac{1}{n}\right)-f\left(x_{0}\right)\right]=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\).
2. \(\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+c h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}=c f^{\prime}\left(x_{0}\right)\).

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Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Dejar\(f\) ser diferenciable en\(x_{0} \in(a, b)\) y dejar\(c\) ser una constante. Encuentra el límite

\[\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+c h\right)-f\left(x_{0}-c h\right)}{h}.\]

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Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Demostrar que\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), dado por\(f(x)=|x|^{3}, i\), está en\(C^{2}(\mathbb{R})\) pero no en\(C^{3}(\mathbb{R})\) (refiérase a la Definición 4.1.3). (Pista: la cuestión clave es la diferenciabilidad a 0.)

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