2.2: Serie Power como polinomios infinitos

Objetivos de aprendizaje

• R ules de cálculo diferencial e integral aplicados a polinomios

Aplicadas a polinomios, las reglas de cálculo diferencial e integral son sencillas. De hecho, diferenciar e integrar polinomios representan algunas de las tareas más fáciles en un curso de cálculo. Por ejemplo, computación

\[\int (7 - x + x^2)dx\]

es relativamente fácil en comparación con la informática

\[\int \sqrt[3]{1 + x^3}dx.\]

Desafortunadamente, no todas las funciones pueden expresarse como un polinomio. Por ejemplo,\(f(x) = \sin x\) no puede ser ya que un polinomio tiene sólo finitamente muchas raíces y la función sinusoidal tiene infinitamente muchas raíces, a saber\(\{nπ|n ∈ \mathbb{Z}\}\). Una técnica estándar en el\(18^{th}\) siglo era escribir tales funciones como un “polinomio infinito”, a lo que normalmente nos referimos como una serie de poder. Desafortunadamente un “polinomio infinito” es un objeto mucho más sutil que un mero polinomio, que por definición es finito. Por ahora no nos ocuparemos de estas sutilezas. Seguiremos el ejemplo de nuestros antecesores y manipularemos todos los objetos “polinómicos” (finitos o infinitos) como si fueran polinomios.

Definición\(\PageIndex{1}\): Power Series

Una serie de potencia centrada en\(a\) es una serie de la forma

\[\sum_{n=0}^{\infty } a_n (x - a)^n = a_0 + a_1(x - a) + a_2(x - a)^2 + \cdots\]

A menudo nos centraremos en el comportamiento de las series de poder\(\sum_{n=0}^{\infty } a_n x^n\), centradas alrededor\(0\), ya que las series centradas en torno a otros valores de\(a\) se obtienen desplazando una serie centrada en\(0\).

Antes de continuar, haremos el siguiente comentario notacional. La forma más ventajosa de representar una serie es usar la notación de suma ya que no puede haber dudas sobre el patrón a los términos. Después de todo, esta notación contiene una fórmula para el término general. Dicho esto, hay casos en los que escribir esta fórmula no es práctico. En estos casos, es aceptable escribir la suma suministrando los primeros términos y usando elipses (los tres puntos). Si esto se hace, entonces se deben incluir términos suficientes para que el patrón quede claro al lector.

Volviendo a nuestra definición de una serie de poder, consideremos, por ejemplo, la serie geométrica

\[\sum_{n=0}^{\infty } x^n = 1 + x + x^ + \cdots.\]

Si multiplicamos esta serie por\((1 - x)\), obtenemos

\[(1 - x)(1 + x + x^2 + \cdots ) = (1 + x + x^2 + \cdots ) - (x + x^2 + x^3 + \cdots ) = 1\]

Esto nos lleva a la representación de la serie power

\[\frac{1}{(1 - x)} = 1 + x + x^2 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty } x^n\]

Si\(x = \frac{1}{10} \) sustituimos por lo anterior, obtenemos

\[1 + \frac{1}{10} + \left ( \frac{1}{10} \right )^2 + \left ( \frac{1}{10} \right )^3 + \cdots = \frac{1}{1 - \tfrac{1}{10}} = \frac{10}{9}\]

Esto concuerda con el hecho de que\(0.333 \cdots = \frac{1}{3} \), y así\(0.111v\cdots = \frac{1}{9} \), y\(1.111 \cdots = \frac{10}{9} \).

Sin embargo, existen limitaciones a estas manipulaciones formales. Sustituir\(x = 1\) o\(x = 2\) arrojar los resultados cuestionables

\[\frac{1}{0} = 1 + 1 + 1 + \cdots \text{ and }= \frac{1}{-1} = 1 + 2 + 2^2 + \cdots\]

Aquí nos falta algo importante, aunque puede que no quede claro exactamente qué. Una representación en serie de una función funciona a veces, pero hay algunos problemas. Por ahora, seguiremos siguiendo el ejemplo de nuestros antecesores\(18^{th}\) del siglo e ignorándolos. Es decir, para el resto de esta sección nos centraremos en las manipulaciones formales para obtener y utilizar representaciones de series de poder de diversas funciones. Tenga en cuenta que todo esto es altamente sospechoso hasta que podamos resolver problemas como los que se acaban de dar.

La serie Power se convirtió en una herramienta importante en el análisis en la década de 1700, al representar varias funciones como series de potencia se podían tratar como si fueran polinomios (infinitos). El siguiente es un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Resuelve el siguiente problema de Valor Inicial: ¹ Encontrar\(y(x)\) dado que\(\frac{dy}{dx} = y\),\(y(0) = 1\).

Solución

Asumiendo que la solución se puede expresar como una serie de potencia, tenemos

\[y = \sum_{n=0}^{\infty } a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots \nonumber\]

Diferenciar nos da

\[\frac{dy}{dx} = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + 4a_4x^3 + \cdots \nonumber\]

Ya\(\frac{dy}{dx} = y\) que vemos que

\[a_1 = a_0 , 2a_2 = a_1 , 3a_3 = a_2 , ..., na_n = a_{n - 1} ,.... \nonumber\]

Esto lleva a la relación

\[a_n = \frac{1}{n}a_{n - 1} = \frac{1}{n(n - 1)}a_{n - 2} = \cdots = \frac{1}{n!}a_0 \nonumber\]

Así, la solución en serie de la ecuación diferencial es

\[y = \sum_{n=0}^{\infty } \frac{a_0}{n!} x^n = a_0 \sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!} x^n \nonumber\]

Usando la condición inicial\(y(0) = 1\), obtenemos\(1 = a_0\left ( 1 + 0 + \frac{1}{2!}0^2 + \cdots \right ) = a_0\). Así es la solución al problema inicial\(y = \sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!} x^n\). Llamemos a esta función\(E(x)\). Entonces por definición

\[E(x) = \sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!} x^n = 1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \nonumber\]

Examinemos algunas propiedades de esta función. El primer inmueble queda claro a partir de la definición\(\PageIndex{1}\).

• Propiedad 1\[E(0) = 1\]
• Propiedad 2\[E(x + y) = E(x)E(y)\]

Para ver esto multiplicamos las dos series juntas, así tenemos

\[\begin{align*} E(x)E(y) &= \left (\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!} x^n \right )\left ( \sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!} y^n \right )\\ &= \left (\frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \right )\left (\frac{y^0}{0!} + \frac{y^1}{1!} + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \cdots \right )\\ &= \frac{x^0}{0!}\frac{y^0}{0!} + \frac{x^0}{0!}\frac{y^1}{1!} + \frac{x^1}{1!}\frac{y^0}{0!} + \frac{x^0}{0!}\frac{y^2}{2!} + \frac{x^1}{1!}\frac{y^1}{1!} + \frac{x^2}{2!}\frac{y^0}{0!} + \frac{x^0}{0!}\frac{y^3}{3!} + \frac{x^1}{1!}\frac{y^2}{2!} + \frac{x^2}{2!}\frac{y^1}{1!} + \frac{x^3}{3!}\frac{y^0}{0!} + \cdots \\ &= \frac{x^0}{0!}\frac{y^0}{0!} + \left ( \frac{x^0}{0!}\frac{y^1}{1!} + \frac{x^1}{1!}\frac{y^0}{0!} \right ) + \left ( \frac{x^0}{0!}\frac{y^2}{2!} + \frac{x^1}{1!}\frac{y^1}{1!} + \frac{x^2}{2!}\frac{y^0}{0!} \right ) + \left ( \frac{x^0}{0!}\frac{y^3}{3!} + \frac{x^1}{1!}\frac{y^2}{2!} + \frac{x^2}{2!}\frac{y^1}{1!} + \frac{x^3}{3!}\frac{y^0}{0!} \right ) \\ &= \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!}\left ( \frac{1!}{0!1!}x^0y^1 + \frac{1!}{1!0!}x^1y^0 \right ) + \frac{1}{2!}\left ( \frac{2!}{0!2!}x^0y^2 + \frac{2!}{1!1!}x^1y^1 + \frac{2!}{2!0!}x^2y^0 \right ) + \frac{1}{3!}\left ( \frac{3!}{0!3!}x^0y^3 + \frac{3!}{1!2!}x^1y^1 + \frac{3!}{2!1!}x^2y^1 + \frac{3!}{3!0!}x^3y^0 \right ) + \cdots \end{align*}\]

\[\begin{align*} E(x)E(y) &= \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!}\left ( \binom{1}{0}x^0y^1 + \binom{1}{1}x^1y^0 \right ) + \frac{1}{2!}\left ( \binom{2}{0}x^0y^2 + \binom{2}{1}x^1y^1 + \binom{2}{2}x^2y^0 \right ) + \frac{1}{3!}\left ( \binom{3}{0}x^0y^3 + \binom{3}{1}x^1y^2 + \binom{3}{2}x^2y^1 + \binom{3}{3}x^3y^0\right ) + \cdots \\ &= \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!}(x+y)^1 + \frac{1}{2!}(x+y)^2 + \frac{1}{3!}(x+y)^3 + \cdots \\ &= E(x + y) \end{align*}\]

• Propiedad 3 Si\(m\) es un entero positivo entonces\[E(mx) = (E(x))^m\] En particular,\(E(m) = (E(1))^m\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar Propiedad 3.

• Propiedad 4\[E(-x) = \frac{1}{E(x)} = (E(x))^{-1}\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar Propiedad 4.

• Propiedad 5 Si\(n\) es un entero con\(n\neq 0\), entonces\[E(\tfrac{1}{n}) = \sqrt[n]{E(1)} = (E(1))^{1/n}\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar Propiedad 5.

• Propiedad 6 Si m y n son enteros con\(n\neq 0\), entonces\[E(\tfrac{m}{n}) = (E(1))^{m/n}\]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar propiedad 6.

Definición\(\PageIndex{2}\): E

\(E(1)\)Déjese denotar por el número\(e\). Uso de la serie

\[e = E(1) = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{1}{n!}\]

podemos aproximarnos\(e\) a cualquier grado de precisión. En particular\(e ≈ 2.71828\)

A la luz del Inmueble 6, vemos que para cualquier número racional\(r\),\(E(r) = e^r\). Esto no sólo nos da la representación en serie\(e^r = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{1}{n!}r^n\) para cualquier número racional\(r\), sino que nos da una manera de definir\(e^x\) para valores irracionales de\(x\) también. Es decir, podemos definir

\[e^x = E(x) = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{1}{n!}x^n\]

para cualquier número real\(x\).

Como ilustración, ahora tenemos\(e^{\sqrt{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{1}{n!}(\sqrt{2})^n\). La expresión\(e^{\sqrt{2}}\) carece de sentido si tratamos de interpretarla como un número irracional elevado a otro. ¿Qué significa elevar algo al\(\sqrt{2}\) poder? Sin embargo, la serie\(\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{1}{n!}(\sqrt{2})^n\) parece tener sentido y puede ser utilizada para extender la función exponencial a exponentes irracionales. De hecho, definir la función exponencial a través de esta serie responde a la pregunta que planteamos anteriormente: ¿Qué\(4^{\sqrt{2}}\) significa?

Significa

\[4^{\sqrt{2}} = e^{\sqrt{2}\log 4} = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(\sqrt{2}\log 4)^n}{n!}\]

Este puede parecer el largo camino solo para definir algo tan simple como la exponenciación. Pero esta es una actitud fundamentalmente equivocada. La exponenciación sólo parece simple porque siempre hemos pensado en ella como multiplicación repetida (in\(\mathbb{Z}\)) o toma de raíces (in\(\mathbb{Q}\)). Cuando ampliamos la operación a los números reales esto simplemente no puede ser la forma en que interpretamos algo así como\(4^{\sqrt{2}}\). ¿Cómo se toma el producto de\(\sqrt{2}\) copias de\(4\)? El concepto no tiene sentido. Lo que necesitamos es una interpretación de la\(4^{\sqrt{2}}\) cual sea consistente, digamos.\(4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 8\) Esto es exactamente lo que\(e^x\) proporciona la representación en serie de.

También contamos con un medio de computación integrales como series. Por ejemplo, la famosa curva “en forma de campana” dada por la función\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{2}}\) es de vital importancia en la estadística y debe integrarse para calcular probabilidades. La serie power que desarrollamos nos da un método para integrar esta función. Por ejemplo, tenemos

\[\begin{align*} \int_{x=0}^{b} \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{2}}dx &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{x=0}^{b} \left ( \sum_{n = 0}^{\infty }\frac{1}{n!}\left ( \frac{-x^2}{2}^n \right ) \right )dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sum_{n = 0}^{\infty }\left ( \frac{(-1)^n}{n!2^n} \int_{x=0}^{b} x^{2n} dx\right )\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sum_{n = 0}^{\infty }\left ( \frac{(-1)^n b^{2n+1}}{n!2^n(2n+1)} \right ) \end{align*}\]

Esta serie se puede utilizar para aproximar la integral a cualquier grado de precisión. La capacidad de proporcionar tales cálculos hizo que las series de potencia fueran de suma importancia en los años 1700.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

1. Mostrar que si\(y = \sum_{n = 0}^{\infty } a_n x^n\) satisface la ecuación diferencial\(\frac{\mathrm{d} ^2y}{\mathrm{d} x^2} = -y\) entonces\[a_{n+2} = \frac{-1}{(n+2)(n+1)}a_n\] y concluir que\[y = a_0 + a_1x - \frac{1}{2!}a_0x^2 - \frac{1}{3!}a_1x^3 + \frac{1}{4!}a_0x^4 + \frac{1}{5!}a_1x^5 - \frac{1}{6!}a_0x^6 - \frac{1}{7!}a_1x^7 + \cdots \nonumber\]
2. Ya que\(y = \sin x\) satisface\(\frac{\mathrm{d} ^2y}{\mathrm{d} x^2} = -y\) vemos que\[\sin x = a_0 + a_1x - \frac{1}{2!}a_0x^2 - \frac{1}{3!}a_1x^3 + \frac{1}{4!}a_0x^4 + \frac{1}{5!}a_1x^5 - \frac{1}{6!}a_0x^6 - \frac{1}{7!}a_1x^7 + \cdots\] para algunas constantes\(a_0\) y\(a_1\). Demostrar que en este caso\(a_0 = 0\) y\(a_1 = 1\) y obtener\[\sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

1. Utilice la serie\[\sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\] para obtener la serie\[\cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!}x^6 + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \nonumber\]
2. Dejar\(s(x,N) = \sum_{n = 0}^{N}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\)\(c(x,N) = \sum_{n = 0}^{N}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\) y usar un sistema de álgebra computacional para trazar estos para\(-4π ≤ x ≤ 4π\),\(N = 1, 2, 5, 10, 15\). Describir lo que le sucede a la serie a medida que\(N\) se hace más grande.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Use la serie geométrica\(\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty }x^n\),, para obtener una serie\(\frac{1}{1+x^2}\) y utilícelo para obtener la serie\[\arctan x = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 - \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty }(-1)^n\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}\] Use la serie anterior para obtener la serie\[\frac{\pi }{4} = \sum_{n = 0}^{\infty }(-1)^n\frac{1}{2n+1} \nonumber\]

La serie para arcotangente era conocida por James Gregory (1638-1675) y a veces se la conoce como “la serie de Gregory. ” Leibniz descubrió de forma independiente\(\frac{\pi }{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\) al examinar el área de un círculo. Aunque nos da un medio para aproximarnos\(π\) a cualquier precisión deseada, la serie converge demasiado lentamente para ser de cualquier utilidad práctica. Por ejemplo, si calculamos la suma de los primeros\(1000\) términos obtenemos

\[4\left ( \sum_{n = 0}^{1000} \right )(-1)^n\frac{1}{2n+1} \approx 3.142591654\]

que sólo se\(π\) aproxima a dos decimales.

Newton conocía estos resultados y el esquema general de usar series para calcular áreas bajo curvas. Estos resultados motivaron a Newton a proporcionar una aproximación en serie para\(π\) también, que, ojalá, convergiera más rápido. Utilizaremos la terminología moderna para agilizar las ideas de Newton. Primero nota que\(\frac{\pi }{4} = \int_{x=0}^{1}\sqrt{1 - x^2} dx\) como esta integral da el área de un cuarto del círculo unitario. El truco ahora es encontrar series que represente\(\sqrt{1 - x^2}\).

Para ello partimos con el teorema binomial

\[(a+n)^N = \sum_{n = 0}^{N} \binom{N}{n} a^{N-n}b^n\]

donde

\[\begin{align*} \binom{N}{n} &= \frac{N!}{n!(N-n)!}\\ &= \frac{N(N-1)(N-2)\cdots (N-n+1)}{n!}\\ &= \frac{\prod_{j=0}^{n-1}(N-j)}{n!} \end{align*}\]

Desafortunadamente, ahora tenemos un pequeño problema con nuestra notación que será fuente de confusión más adelante si no la arreglamos. Por lo que haremos una pausa para abordar este asunto. Volveremos a la expansión binomial después.

Esta última expresión se está volviendo incómoda de la misma manera que una expresión como

\[1 + \frac{1}{2} + \left ( \frac{1}{2} \right )^2 + \left ( \frac{1}{2} \right )^3 + \cdots + \left ( \frac{1}{2} \right )^k\]

es incómodo. Así como esta suma se vuelve menos engorrosa cuando se escribe como\(\sum_{n=0}^{k}\left ( \frac{1}{2} \right )^n\) producto

\[N(N-1)(N-2)\cdots (N-n+1)\]

es menos incómodo cuando lo escribimos como\(\prod_{j=0}^{n-1}(N-j)\).

Un pi (\(Π\)) mayúscula se utiliza para denotar un producto de la misma manera que se usa una sigma (\(Σ\)) capital para denotar una suma. El ejemplo más familiar sería escribir

\[n! = \prod_{j=1}^{n}j\]

Así como es conveniente definir\(0! = 1\), nos resultará conveniente definir\(\prod_{j=1}^{0} = 1\). De igual manera, el hecho de que\(\binom{N}{0} = 1\) lleva a\(\prod_{j=0}^{-1}(N-j) = 1\). Por extraño que parezca esto, es conveniente y concuerda con la convención\(\sum_{j=0}^{-1}s_j = 0\).

Volviendo a la expansión binomial y recordando nuestra convención

\[\prod_{j=0}^{-1}(N-j) = 1\]

podemos escribir, ²

\[(1+x)^N = 1 + \sum_{n=1}^{N}\left ( \frac{\prod_{j=0}^{n-1}(N-j) }{n!} \right )x^n = \sum_{n=1}^{N}\left ( \frac{\prod_{j=0}^{n-1}(N-j) }{n!} \right )x^n\]

Hay una ventaja en usar esta convención (especialmente cuando se programa un producto en una computadora), pero esto no es una visión matemática profunda. Es solo una conveniencia notacional y no queremos que te preocupes por ello, así que usaremos ambas formulaciones (al menos inicialmente).

Observe que podemos extender la definición anterior de\(\binom{N}{n}\) a valores\(n > N\). En este caso,\(\prod_{j=0}^{n-1}(N-j)\) será igual\(0\) como uno de los factores en el producto será\(0\) (el de donde\(n = N\)). Esto nos da que\(\binom{N}{n} = 0\) cuando\(n > N\) y así (1 + x) N = 1 + ∞ X n=1 Qn−1 j=0 (N −j) n! ! xn = ∞ X n=0 Qn−1 j=0 (N −j) n! ! xn

\[(1+x)^N = 1 + \sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{\prod_{j=0}^{n-1}(N-j) }{n!} \right )x^n = \sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{\prod_{j=0}^{n-1}(N-j) }{n!} \right )x^n\]

es verdadero para cualquier entero no negativo\(N\). Esencialmente Newton preguntó si podría ser posible que la ecuación anterior pudiera contener valores de los\(N\) cuales no son enteros no negativos. Por ejemplo, si la ecuación se mantuviera verdadera para\(N = \frac{1}{2}\), obtendríamos

\[(1+x)^{\frac{1}{2}} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{\prod_{j=0}^{n-1}(\frac{1}{2}-j) }{n!} \right )x^n = \sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{\prod_{j=0}^{n-1}(\frac{1}{2}-j) }{n!} \right )x^n\]

o

\[(1+x)^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}x^2 + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)}{3!}x^3 + \cdots\]

Observe que como no\(1/2\) es un entero la serie ya no termina. A pesar de que Newton no probó que esta serie era correcta (ni nosotros), la probó multiplicando la serie por sí misma. Al ver que al cuadrar la serie comenzó a obtener\(1 + x + 0x^2 + 0x^3 +···\), se convenció de que la serie era exactamente igual a\(\sqrt{1+x}\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Considere la representación de la serie

\[\begin{align*} (1+x)^{\frac{1}{2}} &= 1 + \sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{\prod_{j=0}^{n-1}(\frac{1}{2}-j) }{n!} \right )x^n\\ &= \sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{\prod_{j=0}^{n-1}(\frac{1}{2}-j) }{n!} \right )x^n \end{align*}\]

Multiplica esta serie por sí misma y calcula los coeficientes para\(x^0, x^1, x^2, x^3, x^4\) en la serie resultante.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Vamos\ [S (x, M) =\ suma_ {n=1} ^ {M}\ izquierda (\ frac {\ prod_ {j=0} ^ {n-1} (\ frac {1} {2} -j)} {n!} \ right) x^n\\\] Utilice un sistema de álgebra computacional\(S(x,M)\) para trazar\(M = 5, 10, 15, 95, 100\) y compararlos con la gráfica para\(\sqrt{1+x}\). ¿Qué parece estar pasando? ¿Para qué valores de\(x\) la serie parece converger\(\sqrt{1+x}\)?

Convencido de que tenía la serie correcta, Newton la utilizó para encontrar una representación en serie de\(\int_{x=0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\).

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Utilice la serie\((1+x)^{\frac{1}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty }\left ( \frac{\prod_{j=0}^{n-1}(\frac{1}{2}-j) }{n!} \right )x^n\) para obtener la serie

\[\begin{align*} \frac{\pi }{4} &= \int_{x=0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\\ &= \sum_{n=0}^{\infty }\left ( \frac{\prod_{j=0}^{n-1}(\frac{1}{2}-j) }{n!} \right )\left ( \frac{(-1)^n}{2n+1} \right )\\ &= 1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{40} - \frac{1}{112} - \frac{5}{1152} - \cdots \end{align*}\]

Utilice un sistema de álgebra computacional para sumar los primeros\(100\) términos de esta serie y comparar la respuesta con\(\frac{π}{4}\).

Nuevamente, Newton tenía una serie que podía ser verificada (algo) computacionalmente. Esto lo convenció aún más de que tenía la serie correcta.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

1. \[\int_{x=0}^{1/2}\sqrt{x-x^2}dx = \sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n\prod_{j=0}^{n-1}(\frac{1}{2}-j)}{\sqrt{2}n!(2n+3)2^{n}} \nonumber\]Muéstralo y usa esto para demostrar que\[\pi = 16\left (\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n\prod_{j=0}^{n-1}(\frac{1}{2}-j)}{\sqrt{2}n!(2n+3)2^{n}} \right )\]
2. Ahora tenemos dos series para calcular\(π\): la de la parte (a) y la derivada anteriormente, a saber\[\pi = 4\left (\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n}{2n+1} \right ) \nonumber\] Exploraremos cuál converge\(π\) más rápido. Con esto en mente, definir\(S1(N) = 16\left (\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n\prod_{j=0}^{n-1}(\frac{1}{2}-j)}{\sqrt{2}n!(2n+3)2^{n}} \right )\) y\(S2(N) = 4\left (\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n}{2n+1} \right )\). Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular\(S1(N)\) y\(S2(N)\) para\(N = 5,10,15,20\). ¿Cuál parece converger\(π\) más rápido?

En general la representación de la serie

\[\begin{align*} (1+x)^{\alpha } &= \sum_{n=0}^{\infty }\left ( \frac{\prod_{j=0}^{n-1}(\alpha - j) }{n!} \right )x^n \\ &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha (\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!}x^3 + \cdots \end{align*}\]

se llama serie binomial (o serie binomial de Newton). Esta serie es correcta cuando\(α\) es un entero no negativo (después de todo, así es como obtuvimos la serie). También podemos ver que es correcto cuando\(α = -1\) como obtenemos

\[\begin{align*} (1+x)^{-1} &= \sum_{n=0}^{\infty }\left ( \frac{\prod_{j=0}^{n-1}(-1 - j) }{n!} \right )x^n \\ &= 1 + (-1)x + \frac{-1(-1 - 1)}{2!}x^2 + \frac{-1(-1 - 1)(-1 - 2)}{3!}x^3 + \cdots \\ &= 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots \end{align*}\]

que se puede obtener de la serie geométrica\(\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots\).

De hecho, la serie binomial es la representación de serie correcta para todos los valores del exponente\(α\) (aunque aún no lo hemos probado).

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Dejar\(k\) ser un entero positivo. Encuentra la serie de potencia, centrada en cero,\(f(x) = (1−x)^{-k}\) por

1. Diferenciando los\((k - 1) \) tiempos de las series geométricas.
2. Aplicando la serie binomial.
3. Compara estos dos resultados.

Leonhard Euler fue un maestro en la explotación de la serie power.

Figura\(\PageIndex{1}\): Leonhard Euler

En 1735, Euler, de\(28\) un año, ganó elogios por lo que ahora se llama el problema de Basilea: encontrar un formulario cerrado para\(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}\). Otros matemáticos sabían que la serie convergía, pero Euler fue el primero en encontrar su valor exacto. El siguiente problema esencialmente proporciona la solución de Euler.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

1. Demostrar que la serie power para\(\frac{\sin x}{x}\) viene dada por\(1 - \frac{1}{3!}x^2 + \frac{1}{5!}x^4 - \cdots\).
2. Utilizar (a) para inferir que las raíces de\(1 - \frac{1}{3!}x^2 + \frac{1}{5!}x^4 - \cdots\) están dadas por\(x = \pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\cdots\)
3. Supongamos que\(p(x) = a_0 + a_1x +···+ a_nx^n\) es un polinomio con raíces\(r_1, r_2, ...,r_n\). Demuestre que si\(a_0\neq 0\), entonces todas las raíces son distintas de cero y\[p(x) = a_0 \left ( 1 - \frac{x}{r_1} \right )\left ( 1 - \frac{x}{r_2} \right )\cdots \left ( 1 - \frac{x}{r_n} \right )\]
4. Suponiendo que el resultado en c se mantiene para una serie infinita de potencias polinómicas, deducir que\[1 - \frac{1}{3!}x^2 + \frac{1}{5!}x^4 - \cdots = \left ( 1 - \left ( \frac{x}{\pi } \right )^2 \right )\left ( 1 - \left ( \frac{x}{2\pi } \right )^2 \right )\left ( 1 - \left ( \frac{x}{3\pi } \right )^2 \right )\cdots\]
5. Ampliar este producto para deducir\[\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2} = \frac{\pi ^2}{6}\]

Referencias

¹ Unos segundos de pensamiento deberían convencerte de que la solución de este problema es\(y(x) = e^x\). Esto lo ignoraremos por ahora a favor de enfatizar la técnica.

² Estas dos representaciones probablemente tengan el mismo aspecto al principio. Tómate un momento y asegúrate de ver dónde difieren. Pista: Falta el “1” en la última expresión.