2.E: Cálculo en los siglos XVII y XVIII (Ejercicios)

Q1

Utilice la serie geométrica para obtener la serie

\[\begin{align*} \ln (1+x) &= x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \cdots \\ &= \sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1} \end{align*}\]

Q2

Sin usar el Teorema de Taylor, representan las siguientes funciones como series de poder expandidas sobre\(0\) (es decir, en la forma\(\sum_{n=0}^{\infty }a_n x^n\)).

1. \(\ln (1 - x^2)\)
2. \(\frac{x}{1 + x^2}\)
3. \(\arctan (x^3)\)
4. \(\ln (2 + x)\)[Pista:\(2 + x = 2\left (1 + \frac{x}{2} \right )\)]

Q3

\(a\)Sea un número real positivo. Encuentre una serie de potencia para\(a^x\) ampliar aproximadamente\(0\). [Pista:\(a^x = e^{\ln (a^x)}\)].

Q4

Representar la función\(\sin x\) como una serie de potencias expandidas alrededor de a (es decir, en la forma\(\sum_{n=0}^{\infty } a_n (x - a)^n\)). n=0 an (x−a) n). [Pista:\(\sin x = \sin (a + x - a)\)].

Q5

Sin usar el Teorema de Taylor, representan las siguientes funciones como una serie de potencia expandida alrededor de a para el valor dado de a (es decir, en la forma\(\sum_{n=0}^{\infty } a_n (x - a)^n\).

1. \(\ln x, a = 1\)
2. \(e^x, a = 3\)
3. \(x^3 + 2x^2 + 3 , a = 1\)
4. \(\frac{1}{x}, a = 5\)

Q6

Evaluar las siguientes integrales como series.

1. \(\int_{x=0}^{1} e^{x^2}dx\)
2. \(\int_{x=0}^{1} \frac{1}{1 + x^4}dx\)
3. \(\int_{x=0}^{1} \sqrt[3]{1 - x^3}dx\)