3.1: Fórmula de Taylor
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- Explicar la fórmula de Taylor
Como vimos en el capítulo anterior, representar funciones como series de poder fue una estrategia fructífera para los matemáticos en el siglo XVIII (como sigue siendo). Diferenciar e integrar series de potencia término por término fue relativamente fácil, parecía funcionar y condujo a muchas aplicaciones. Además, se podrían obtener representaciones de series de potencia para todas las funciones elementales si una fuera lo suficientemente inteligente.
Sin embargo, la astucia es una herramienta poco confiable. ¿Hay alguna manera sistemática de encontrar una serie de potencias para una función determinada? Para estar seguros, hubo preguntas regañantes: Si podemos encontrar una serie de poder, ¿cómo sabemos que la serie que hemos creado representa la función con la que empezamos? Peor aún, ¿es posible que una función tenga más de una representación de serie de potencias centrada en un valor dado\(a\)? Este tema de singularidad es abordado por el siguiente teorema.
Si
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty }a_n(x-a)^n\]
entonces
\[a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\]
donde\(f^{(n)}(a)\) representa la\(n^{th}\) derivada de\(f\) evaluada at\(a\).
Algunos comentarios sobre el Teorema\(\PageIndex{1}\) están en orden. Observe que no iniciamos con una función y derivamos su representación en serie. En cambio definimos como\(f(x)\) la serie que escribimos. Esto supone que la expresión
\[\sum_{n=0}^{\infty }a_n(x-a)^n\]
en realidad tiene sentido (que converge). En este punto tenemos todas las razones para esperar que lo haga, sin embargo la expectativa no es prueba por lo que notamos que se trata de una suposición, no de una verdad establecida. Del mismo modo, también se asume la idea de que podemos diferenciar un polinomio infinito término por término como lo haríamos con un polinomio finito. Como antes, seguimos los pasos de nuestros ancestros\(18^{th}\) del siglo al hacer estas suposiciones. Por ahora.
Demostrar teorema\(\PageIndex{1}\).
- Pista
-
\(f(a) = a_0 + a_1(a - a) + a_2(a - a)^2 +··· = a_0\), diferenciar para obtener los otros términos.
Desde Teorema\(\PageIndex{1}\) vemos que si empezamos con la función\(f(x)\) entonces no importa cómo obtengamos su serie de potencia, el resultado siempre será el mismo. La serie
\[\sum_{n=0}^{\infty } \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots \label{talyor}\]
se llama la serie Taylor por\(f\) expandida sobre (centrada en) a. aunque esta “máquina” sistemática para obtener series de potencia para una función parece haber sido conocida por varios matemáticos a principios de los 1700, Brook Taylor fue el primero en publicar este resultado en su Metodo El incrementorum (1715).
Figura\(\PageIndex{1}\): Brook Taylor.
El caso especial cuando\(a = 0\) fue incluido por Colin Maclaurin en su Tratado de Fluxiones (1742).
Así\(a = 0\), cuando, la serie en Ecuación\ ref {talyor} se simplifica a
\[\sum_{n=0}^{\infty } \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \label{maclaurin} \]
y esta serie a menudo se llama la Serie Maclaurin para\(f\).
La “notación prima” para la derivada no fue utilizada por Taylor, Maclaurin o sus contemporáneos. Fue introducido por Joseph Louis Lagrange en su obra de 1779 Th é orie des Fonctions Analytiques. En esa obra, Lagrange buscó deshacerse de los infinitesimales de Leibniz y basar el cálculo en la idea de la serie de poder. Su idea era que al representar cada función como una serie de poder, el cálculo se podía hacer “algebraicamente” manipulando series de poder y examinando diversos aspectos de la representación de la serie en lugar de apelar a la noción “polémica” de infinitesimales. Supuso implícitamente que toda función continua podría ser reemplazada por su representación en serie de potencia.
Figura\(\PageIndex{2}\): Joseph-Louis Lagrange.
Es decir, quería pensar en la serie de Taylor como un “gran polinomio grande”, porque los polinomios son fáciles de trabajar. Fue una idea muy simple, pero sumamente inteligente y de largo alcance. Ya que\(e^x = 1 + x + x^2/2 + ...\), por ejemplo, por qué no solo definir lo exponencial para ser la serie y trabajar con la serie. Después de todo, la serie es apenas un polinomio muy largo.
Esta idea no salió de la nada. Leonhard Euler había puesto exactamente esa idea a trabajar para resolver muchos problemas a lo largo del\(18^{th}\) siglo. Algunas de sus soluciones siguen siendo bastante impresionantes cuando las ves por primera vez [14].
Tomando su ejemplo de la serie de Taylor\(\sum_{n=0}^{\infty } \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n\) Lagrange observó que el coeficiente de\((x - a)^n\) proporciona la derivada de\(f\) at\(a\) (dividido por\(n!\)). Modificando la fórmula anterior para adaptarse a su propósito, Lagrange supuso que cada función diferenciable podría representarse como
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty } g_n(a) (x - a)^n\]
Si consideramos el parámetro\(a\) como una variable entonces\(g_1\) es la derivada de\(f\),\(g_2 = 2f''\) y generalmente
\[g_n = n!f^{(n)}\]
Lagrange apodó a su función\(g_1\) la “fonction dérivée” de la que obtenemos el nombre moderno “derivado”.
Con todo, esta fue una idea muy inteligente y perspicaz cuya única falla real es que su suposición fundamental no es cierta. Resulta que no todas las funciones diferenciables pueden representarse como una serie de Taylor. Esto fue demostrado muy dramáticamente por el famoso contraejemplo de Augustin Cauchy
\[f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} & \text{ if } x\neq 0 \\ 0 & \text{ if } x= 0 \end{cases}\]
Esta función es en realidad infinitamente diferenciable en todas partes pero su serie Maclaurin (es decir, una serie de Taylor con\(a = 0\)) no converge a f porque todas sus derivadas en el origen son iguales a cero:\(f^{(n)}(0) = 0,\forall n \in \mathbb{N}\)\)
No todas las funciones diferenciables pueden representarse como una serie de Taylor.
Computar estas derivadas usando la definición que aprendiste en el cálculo no es conceptualmente difícil pero las fórmulas involucradas se complican bastante rápido. Se debe tener cierto cuidado para evitar errores.
Para empezar, calculemos algunas derivadas cuando\(x\neq 0\).
\[ \begin{align*} f^{(0)}(x) &= e^{x^{-2}} \\[4pt] f^{(1)}(x) &= 2x^{-3}e^{-x^{-2}} \\[4pt] f^{(2)}(x) &= (4x^{-6}-6x^{-4})e^{-x^{-2}} \end{align*}\]
Como puedes ver los cálculos ya se están complicando un poco y sólo hemos tomado la segunda derivada. Para agilizar un poco las cosas tomamos\(y = x - 1\), y definimos\(p_2(x) = 4x^6 - 6x^4\) para que
\[f^{(2)}(x) = p_2(x^{-1})e^{-x^{-2}} = p_2(y)e^{-y^{2}}\]
- Adoptando la notación\(y = x^{-1}\) y\(f^{(n)}(x) = p_n(y)e^{-y^{2}}\), encontrar\(p_{n+1}(y)\) en términos de\(p_n(y)\). [Nota: No olvides que estás diferenciando con respecto a\(x\), no\(y\).]
- Utilice la inducción en n para mostrar que\(p_n(y)\) es un polinomio para todos\(n \in \mathbb{N}\).
Desafortunadamente todo lo que hemos hecho hasta ahora solo nos da los derivados que necesitamos cuando no\(x\) es cero, y necesitamos los derivados cuando\(x\) es cero. Para encontrarlos necesitamos volver a ideas muy básicas.
Supongamos por el momento que sabemos eso\(f^{(n)}(0) = 0\) y recordemos que
\[f^{(n+1)}(0) = \lim_{x\to 0} \frac{f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0)}{x-0}\]
\[f^{(n+1)}(0) = \lim_{x\to 0} x^{-1} p_n(x^{-1})e^{-x^{-2}}\]
\[f^{(n+1)}(0) = \lim_{y\to \pm \infty } \frac{yp_n(y)}{e^{y^{2}}}\]
Podemos cerrar el trato con el siguiente problema.
- Sea m un entero no negativo. \(\lim_{y\to \pm \infty } \frac{y^m}{e^{y^{2}}} = 0\)Demuéstralo. [Pista: La inducción y una pizca de la regla de L'Hôpital deberían hacer el truco.]
- Demostrarlo\(\lim_{y\to \pm \infty } \frac{q(y)}{e^{y^{2}}} = 0\) para cualquier polinomio\(q\).
- Dejar\(f(x)\) ser como en la ecuación\(\PageIndex{4}\) y mostrar que para cada entero no negativo\(n\),\(f^{(n)}(0) = 0\).
Este ejemplo demostró que si bien fue fructífero explotar las representaciones de la serie Taylor de diversas funciones, basar los cimientos del cálculo en series de poder no era una idea sólida.
Si bien el enfoque de Lagrange no fue totalmente exitoso, fue un paso importante lejos de los infinitesimales y hacia el enfoque moderno. Todavía usamos aspectos de la misma en la actualidad. Por ejemplo, todavía usamos su notación prima (\(f'\)) para denotar la derivada.
Dando la vuelta a la idea de Lagrange está claro que si sabemos calcular derivados, podemos usar esta máquina para obtener una serie de potencia cuando no somos “lo suficientemente inteligentes” como para obtener la serie de otras formas (típicamente más cortas). Por ejemplo, considere la serie binomial de Newton cuando\(α = \frac{1}{2}\). Originalmente, se obtuvo esta serie extendiendo el teorema binomial a exponentes no enteros.
La fórmula de Taylor proporciona una forma más sistemática de obtener esta serie:
\[f(x) = (1+x)^{\frac{1}{2}} ;\qquad f(0) = 1\]
\[f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{\frac{1}{2}-1} ;\qquad f'(0) = \frac{1}{2}\]
\[f''(x) = \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2} - 1 \right )(1+x)^{\frac{1}{2}-2} ;\qquad f''(0) = \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2} - 1 \right )\]
y en general desde
\[f^{(n)}(x) = \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2} - 1 \right )\cdots \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2} - (n - 1) \right )(1+x)^{\frac{1}{2}-n}\]
tenemos
\[f^{(n)}(0) = \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2} - 1 \right )\cdots \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2} - (n - 1) \right )\]
Usando la fórmula de Taylor obtenemos la serie
\[\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = 1 + \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2} - 1 \right )\cdots \left ( \frac{1}{2} - (n - 1) \right )}{n!}x^n = 1 + \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\prod_{j=0}^{n-1}\left ( \frac{1}{2}-j \right )}{n!}x^n\]
que concuerda con la ecuación 2.2.40 del capítulo anterior.
Utilice la fórmula de Taylor para obtener la serie binomial general\[(1+x)^{\alpha } = 1 + \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\prod_{j=0}^{n-1}\left ( \alpha -j \right )}{n!}x^n\]
Utilice la fórmula de Taylor para obtener la serie Taylor para las funciones\(e^x\),\(\sin x\), y\(\cos x\) ampliado sobre\(a\).
Como puedes ver, la “máquina” de Taylor producirá la serie power para una función (si tiene una), pero es tedioso de realizar. Encontraremos, en general, que esta tediosidad puede ser un obstáculo para la comprensión. En muchos casos será mejor ser astutos si podemos. Esto suele ser más corto. Sin embargo, es reconfortante tener la fórmula de Taylor disponible como último recurso.
La existencia de una serie de Taylor es abordada (hasta cierto punto) por lo siguiente.
Si\(f', f'', ..., f^{(n+1)}\) son todos continuos en un intervalo que contiene\(a\) y\(x\), entonces
\[f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \frac{1}{n!}\int_{t=a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt\]
Antes de abordar el comprobante, observe que el polinomio de grado\(n\) -ésimo
\[f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\]
se asemeja a la serie Taylor y, de hecho, se llama el polinomio Taylor de grado\(n\) -th de\(f\) aproximadamente\(a\). Teorema\(\PageIndex{2}\) dice que una función se puede escribir como la suma de este polinomio y una integral específica que analizaremos en el siguiente capítulo. Contaremos con la prueba iniciada y dejaremos la prueba formal de inducción como ejercicio.
Observe que el caso cuando\(n = 0\) es realmente una reafirmación del Teorema Fundamental del Cálculo. Específicamente, dice la FTC\(\int_{t=a}^{x}f'(t)dt = f(x) - f(a)\) cuál podemos reescribir como
\[f(x) = f(a) + \frac{1}{0!}\int_{t=a}^{x}f'(t)(x-t)^0dt\]
para proporcionar el paso de anclaje para nuestra inducción.
Para derivar el caso donde\(n = 1\), utilizamos la integración por partes. Si dejamos
\[u = f'(t) \qquad dv = (x-t)^0dt\]
\[du = f''(t) \qquad v = -\frac{1}{1}(x-t)^1dt\]
obtenemos
\[\begin{align*} f(x) &= f(a) + \frac{1}{0!}\left ( -\frac{1}{1}f'(t)(x-t)^1\mid _{t=a} ^x + \frac{1}{1}\int_{t=a}^{x}f''(t)(x-t)^1dt\right )\\ &= f(a) + \frac{1}{0!}\left ( -\frac{1}{1}f'(x)(x-x)^1+\frac{1}{1}f'(a)(x-a)^1 + \frac{1}{1}\int_{t=a}^{x}f''(t)(x-t)^1dt\right ) \\ &= f(a) + \frac{1}{1!}f'(a)(x-a)^1 + \frac{1}{1!}\int_{t=a}^{x}f''(t)(x-t)^1dt \end{align*}\]
Proporcionar una prueba formal de inducción para el teorema\(\PageIndex{2}\).