6.E: Continuidad - Lo que no es y qué es (Ejercicios)
- Page ID
- 109415
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
Q1
Utilice la definición de continuidad para demostrar que la función constante\(g(x) = c\) es continua en cualquier punto a.
Q2
- Utilizar la definición de continuidad para demostrar que\(\ln x\) es continua en\(1\). [Pista: Es posible que desee utilizar el hecho\(\left |\ln x \right | < \varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon < \ln x < \varepsilon\) para encontrar un\(δ\).]
- Utilice la parte (a) para demostrar que\(\ln x\) es continuo en cualquier número real positivo\(a\). [Pista:\(\ln (x) = \ln (x/a) + \ln (a)\). Esta es una combinación de funciones que son continuas en\(a\). Asegúrese de explicar cómo sabe que\(\ln (x/a)\) es continuo en\(a\).]
Q3
Escribir una definición formal de la declaración no\(f\) es continua en\(a\), y utilizarla para probar que la función no\(f(x) = \begin{cases} x & \text{ if } x\neq 1 \\ 0 & \text{ if } x= 1 \end{cases}\) es continua en\(a = 1\).