6: Continuidad - Lo que no es y qué es

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6.1: Una definición analítica de la continuidad
Antes de la invención del cálculo, la noción de continuidad se trataba intuitivamente si se trataba en absoluto. Al primer paso, parece una idea muy simple basada sólidamente en nuestra experiencia del mundo real. De pie en la orilla vemos un río que fluye más allá de nosotros continuamente, no por pequeños idiotas. Incluso cuando el flujo pueda parecer en primer lugar discontinuo, como cuando cae precipitadamente sobre un clítoris, un examen más detallado demuestra que realmente no lo es. A medida que el agua se acerca al clítoris se acelera.
6.2: Secuencias y continuidad
Examinaremos una forma alternativa de demostrar que la función no es continua en a≠ 0 observando la relación entre nuestras definiciones de convergencia y continuidad. Las dos ideas están realmente muy estrechamente conectadas, como lo ilustra el siguiente teorema muy útil.
6.3: La definición del límite de una función
Dado que en estos días el concepto límite es generalmente considerado como el punto de partida para el cálculo, se podría pensar que es un poco extraño que hayamos elegido hablar primero de continuidad. Pero históricamente, la definición formal de un límite vino después de la definición formal de la continuidad. De alguna manera, el concepto límite formaba parte de una unificación de todas las ideas de cálculo que se estudiaban anteriormente y, posteriormente, se convirtió en la base de todas las ideas en cálculo.
6.4: El Derivado - Una ocurrencia de último momento
Junto con la integral, la derivada es uno de los objetos matemáticos más potentes y útiles jamás ideados y hemos estado trabajando muy duro para proporcionar una base sólida y rigurosa para ello. Por otro lado, ahora que hemos construido toda la maquinaria que necesitamos para definir y explorar el concepto de la derivada, aparecerá bastante peatonal junto a ideas como la convergencia de series de potencia, series de Fourier y las extrañas propiedades de Q y R.
6.E: Continuidad - Lo que no es y qué es (Ejercicios)

Miniaturas: Cauchy alrededor de 1840. Litografía de Zéphirin Belliard tras una pintura de Jean Roller. (Dominio Público).