7: Valores Intermedios y Extremos

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7.1: Completitud del sistema de números reales
Recordemos que al derivar las formas Lagrange y Cauchy del resto para la serie Taylor, se utilizó el Teorema del Valor Extremo (EVT) y el Teorema del Valor Intermedio (IVT). En el capítulo 6, producimos una definición analítica de continuidad que podemos utilizar para probar estos teoremas. Para proporcionar el resto de las herramientas necesarias necesitamos para explorar la composición del sistema de números reales.
7.2: Prueba del Teorema del Valor Intermedio
El Teorema del Valor Intermedio establece que si una función continua, f, con un intervalo, [a, b], como su dominio, toma los valores f (a) y f (b) en cada extremo del intervalo, entonces también toma cualquier valor entre f (a) y f (b) en algún punto dentro del intervalo. Ahora tenemos todas las herramientas para probar el Teorema del Valor Intermedio.
7.3: El teorema de Bolzano-Weierstrass
El teorema de Bolzano—Weierstrass es un resultado fundamental sobre la convergencia en un espacio euclidiano finito-dimensional Rn. El teorema establece que cada secuencia acotada en Rn tiene una subsecuencia convergente. Una formulación equivalente es que un subconjunto de Rn es secuencialmente compacto si y solo si está cerrado y acotado.
7.4: El supremo y el teorema del valor extremo
Una función continua en un intervalo cerrado y delimitado debe estar delimitada. La generosidad, en y por sí misma, no asegura la existencia de un máximo o mínimo. También debemos tener un intervalo cerrado, acotado.
7.E: Valores Intermedios y Extremos (Ejercicios)

Miniaturas: Bernard Bolzano. (Dominio Público).