7.2: Prueba del Teorema del Valor Intermedio

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Objetivos de aprendizaje

Prueba del teorema del valor intermedio

Ahora tenemos todas las herramientas para probar el Teorema del Valor Intermedio (IVT).

Teorema\(\PageIndex{1}\): Intermediate Value Theorem

Supongamos que\(f(x)\) es continuo\([a,b]\) y v es cualquier número real entre\(f(a)\) y\(f(b)\). Entonces existe un número real\(c ∈ [a,b]\) tal que\(f(c) = v\).

Croquis de Prueba

Tenemos dos casos a considerar:\(f(a) ≤ v ≤ f(b)\) y\(f(a) ≥ v ≥ f(b)\).

Vamos a ver el caso\(f(a) ≤ v ≤ f(b)\). Vamos\(x_1 = a\) y\(y_1 = b\), así tenemos\(x_1 ≤ y_1\) y\(f(x_1) ≤ v ≤ f(y_1)\). Que\(m_1\) sea el punto medio de\([x_1,y_1]\) y note que tenemos ya sea\(f(m_1) ≤ v\) o\(f(m_1) ≥ v\). Si\(f(m_1) ≤ v\), entonces reetiquetamos\(x_2 = m_1\) y\(y_2 = y_1\). Si\(f(m_1) ≥ v\), entonces reetiquetamos\(x_2 = x_1\) y\(y_2 = m_1\). En cualquier caso, terminamos con\(x_1 ≤ x_2 ≤ y_2 ≤ y_1,\; y_2 - x_2 = \frac{1}{2} (y_1 - x_1)\),\(f(x_1) ≤ v ≤ f(y_1)\), y\(f(x_2) ≤ v ≤ f(y_2)\).

Ahora juega el mismo juego con el intervalo\([x_2,y_2]\). Si seguimos jugando a este juego, generaremos dos secuencias (\(x_n\)) y (\(y_n\)), satisfaciendo todas las condiciones de la propiedad de intervalo anidado. Estas secuencias también satisfarán la siguiente propiedad extra:\(∀ n,\; f(x_n) ≤ v ≤ f(y_n)\). Por el NIP, existe\(c\) tal que\(x_n ≤ c ≤ y_n,\; ∀ n\). Esto debería ser lo\(c\) que buscamos aunque esto no es obvio. Específicamente, tenemos que demostrar eso\(f(c) = v\). Aquí debería ser donde entran en juego la continuidad de\(f\) at\(c\) y la propiedad extra on (\(x_n\)\(y_n\)) y ().

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Convertir las ideas de los párrafos anteriores en una prueba formal de la IVT para el caso\(f(a) ≤ v ≤ f(b)\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Podemos modificar la prueba del caso\(f(a) ≤ v ≤ f(b)\) en una prueba de la IVT para el caso\(f(a) ≥ v ≥ f(b)\). No obstante, existe una manera más disimulada de probar este caso aplicando la IVT a la función\(-f\). Haga esto para acreditar la IVT para el caso\(f(a) ≥ v ≥ f(b)\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Utilice la IVT para probar que cualquier polinomio de grado impar debe tener una raíz real.