7.3: El teorema de Bolzano-Weierstrass
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- Explicar el teorema de Bolzano-Weierstrass
Una vez que introdujimos la Propiedad Intervalo Anidado, el Teorema del Valor Intermedio siguió bastante fácilmente. La prueba de Valor Extremo (que dice que cualquier función continua\(f\) definida en un intervalo cerrado\([a,b]\) debe tener un máximo y un mínimo) requiere un poco más de trabajo. Primero tenemos que demostrar que tal función está acotada.
Una función continua definida en un intervalo cerrado y delimitado debe estar delimitada. Es decir, dejar de\(f\) ser una función continua definida en\([a,b]\). Entonces existe un número real positivo\(B\) tal que\(|f(x)|≤ B\) para todos\(x ∈ [a,b]\).
- Croquis de Presunta Prueba
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Supongamos, por contradicción, que no existe tal vinculación\(B\). Esto dice que para cualquier entero positivo\(n\), debe existir\(x_n ∈ [a,b]\) tal que\(|f(x_n)| > n\). (De lo contrario\(n\) sería un límite para\(f\).) SI la secuencia (\(x_n\)) convergiera a algo en\([a,b]\), digamos\(c\), entonces tendríamos nuestra contradicción. Efectivamente, lo hubiéramos hecho\(\lim_{n \to \infty } x_n = c\). Por la continuidad de\(f\) at\(c\) y Teorema 6.2.1 del Capítulo 6, tendríamos\(\lim_{n \to \infty } f(x_n) = f(c)\). Esto diría que la secuencia (\(f(x_n)\)) converge, por lo que por Lema 4.2.2 del Capítulo 4, debe ser acotada. Esto proporcionaría nuestra contradicción, como la tuvimos\(|f(x_n)| > n\), para todos los enteros positivos\(n\).
Todo esto funcionaría bien excepto por un pequeño problema. La forma en que se construyó, no hay razón para esperar que la secuencia (\(x_n\)) converja a nada y no podemos hacer tal suposición. Es por ello que enfatizamos el IF anterior. Afortunadamente, esta idea se puede rescatar. Si bien es cierto que la secuencia (\(x_n\)) puede no converger, parte de ella lo hará. Vamos a necesitar la siguiente definición.
Dejar\(\left ( n_k \right )_{k=1}^{\infty }\) ser una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos; es decir,\(n_1 < n_2 < n_3 < ···\). Si\(\left ( x_n \right )_{k=1}^{\infty }\) es una secuencia, entonces\(\left ( x_{n_k} \right )_{k=1}^{\infty } = (x_{n_1}, x_{n_2}, x_{n_3}, \cdots )\) se llama una subsecuencia de (\(x_n\)).
La idea es que una subsecuencia de una secuencia es parte de la secuencia, (\(x_n\)), que es en sí misma una secuencia. No obstante, es un poco más restrictivo. Podemos elegir cualquier término de nuestra secuencia para ser parte de la subsecuencia, pero una vez que elegimos ese término, no podemos ir hacia atrás. Aquí es donde\(n_1 < n_2 < n_3 < ···\) entra la condición. Por ejemplo, supongamos que iniciamos nuestra subsecuencia con el término\(x_{100}\). No podíamos elegir nuestro próximo mandato para ser\(x_{99}\). El subíndice del siguiente término tendría que ser mayor que\(100\). De hecho, lo que pasa con una subsecuencia es que todo está en los subíndices; realmente estamos eligiendo una subsecuencia (\(n_k\)) de la secuencia de subíndices (\(n\)) in (\(x_n\)).
Dada la secuencia (\(x_n\)), las siguientes son subsecuencias.
- \((x_2, x_4, x_6, ...) = (x_{2k})_{k=1}^\infty\)
- \((x_1, x_4, x_9, ...) = (x_{k^2})_{k=1}^\infty\)
- \((x_n)\)sí mismo.
- \((x_1, x_1, x_1, ...)\)
- \((x_{99}, x_{100}, x_{99}, ...)\)
- \((x_1, x_2, x_3, ...)\)
Los subíndices en los ejemplos que hemos visto hasta ahora tienen un patrón discernible, pero este no tiene por qué ser el caso. Por ejemplo,
\[(x_2, x_5, x_{12}, x_{14}, x_{23} ...)\]
sería una subsecuencia siempre y cuando los subíndices formen una secuencia creciente ellos mismos.
Supongamos\(\lim_{n \to \infty } x_n = c\). Demostrarlo\(\lim_{k \to \infty } x_{n_k} = c\) para cualquier subsecuencia (\(x_{n_k}\)) de (\(x_n\)).
- Pista
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\(n_k \geq k\)
Un teorema muy importante sobre las subsecuencias fue introducido por Bernhard Bolzano y, posteriormente, probado de manera independiente por Karl Weierstrass. Básicamente, este teorema dice que cualquier secuencia acotada de números reales tiene una subsecuencia convergente.
Let (\(x_n\)) be a sequence of real numbers such that \(x_n ∈ [a,b]\), \(∀ n\). Then there exists \(c ∈ [a,b]\) and a subsequence (\(x_{n_k}\)), such that \(\lim_{k \to \infty } x_{n_k} = c\).
- Croquis de Prueba
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Supongamos que tenemos nuestra secuencia (\(x_n\)) such that \(x_n ∈ [a,b]\), \(∀ n\). To encontrar nuestras\(c\) for the subsequence to converge to we will use the NIP. Since we are already using (\(x_n\)) as our original sequence, we will need to use diferentes letras en la configuración de nosotros mismos para el NIP. Con esto en mente, que\(a_1 = a\) and \(b_1 = b\), and notice that \(x_n ∈ [a_1,b_1]\) for infinitamente muchos infinitamente muchos\(n\). (This is, in fact true for all n, but you’ll see why we said it the way we did.) Let \(m_1\) be the midpoint of \([a_1,b_1]\) and notice that either \(x_n ∈ [a_1,m_1]\) for infinitamente muchos\(n\) or \(x_n ∈ [m_1,b_1]\) for infinitamente muchos\(n\), then we relabel\(n\). If \(x_n ∈ [a_1,m_1]\) for infinitamente muchos relabel\(a_2 = a_1\) and \(b_2 = m_1\). If \(x_n ∈ [m_1,b_1]\) for infinitamente muchos\(n\), then \(a_2 = m_1\) and \(b_2 = b_1\). In either case, we get \(a_1 ≤ a_2 ≤ b_2 ≤ b_1, b_2 - a_2 = \frac{1}{2} (b_1 - a_1)\) , e\(x_n ∈ [a_2,b_2]\) for infinitamente muchos\(n\).
Ahora consideramos el intervalo\([a_2,b_2]\) and let \(m_2\) be the midpoint of \([a_2,b_2]\). Since \(x_n ∈ [a_2,b_2]\) for infinitamente muchos\(n\), then either \(x_n ∈ [a_2,m_2]\) for infinitamente muchos\(n\) or \(x_n ∈ [m_2,b_2]\) for infinitamente muchos\(n\). If \(x_n ∈ [a_2,m_2]\) for infinitamente muchos\(n\), then we relabel\(a_3 = a_2\) and \(b_3 = m_2\). If \(x_n ∈ [m_2,b_2]\) for infinitamente muchos\(n\), then we relabel \(a_3 = m_2\) and \(b_3 = b_2\). In either case, we get \(a_1 ≤ a_2 ≤ a_3 ≤ b_3 ≤ b_2 ≤ b_1, b_3 - a_3 = \frac{1}{2} (b_2 - a_2) = \frac{1}{2^2} (b_1 - a_1)\), e\(x_n ∈ [a_3,b_3]\) for infinitamente muchos\(n\).
Si continuamos de esta manera, produciremos dos secuencias (\(a_k\)) and (\(b_k\)) with the following properties:
- \(a_1 ≤ a_2 ≤ a_3 ≤···\)
- \(b_1 ≥ b_2 ≥ b_3 ≥···\)
- \(∀ k\),\(a_k ≤ b_k\)
- \(\lim_{k \to \infty } (b_k - a_k) = \lim_{k \to \infty } \frac{1}{2^{k-1}} (b_1 - a_1) = 0\)
- Para cada uno\(k\),\(x_n ∈ [a_k,b_k]\) para infinitamente muchos\(n\)
Por las propiedades 1-5 y el NIP, existe un\(c\) such that \(c ∈ [a_k,b_k]\),for all \(k\). In particular, \(c ∈ [a_1,b_1] = [a,b]\).
Tenemos nuestros\(c\). Now we need to construct a subsequence converging to it. Since \(x_n ∈ [a_1,b_1]\) for infinitamente muchos\(n\), choose an integer \(n_1\) such that \(x_{n_1} ∈ [a_1,b_1]\). Since \(x_n ∈ [a_2,b_2]\) for infinitamente muchos\(n\), choose an integer \(n_2 > n_1\) such that \(x_{n_2} ∈ [a_2,b_2]\). (Notice that to make a subsequence it is crucial that \(n_2 > n_1\), and this is why we needed to insist that \(x_n ∈ [a_2,b_2]\) for infinitamente muchos\(n\).) Continuing in this manner, we should be able to build a subsequence (\(x_{n_k}\)) that will converge to \(c\).
Como ejemplo de este teorema, considere la secuencia
\[\left ( (-1)^n \right ) = (-1,1,-1,1,...)\]
Esta secuencia no converge, sino la subsecuencia
\[\left ( (-1)^{2k} \right ) = (1,1,1,...)\]
\((-1,-1,-1, ...)\)converge a\(-1\). Observe que si la secuencia no tiene límites, entonces todas las apuestas están desactivadas; la secuencia puede tener una subsecuencia convergente o puede que no. Las secuencias\(\left ( ((-1)^n + 1)n \right )\) y (\(n\)) representan estas posibilidades como la primera tiene, por ejemplo,\(\left ( ((-1)^{2k+1} + 1)(2k+1) \right ) = (0, 0, 0, \cdots )\) y la segunda no tiene ninguna.
El Teorema de Bolzano-Weierstrass dice que no importa cuán “aleatoria” pueda ser la secuencia (\(x_n\)), siempre y cuando esté acotada entonces alguna parte de ella debe converger. Esto es muy útil cuando se tiene algún proceso que produce una secuencia “aleatoria” como la que teníamos en la idea de la supuesta prueba en Teorema\(\PageIndex{1}\).
Convertir las ideas del esquema anterior en una prueba formal del Teorema de Bolzano-Weierstrass.
Utilizar el Teorema de Bolzano-Weierstrass para completar la prueba del Teorema\(\PageIndex{1}\).