8: Volver a la serie Power
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- 8.1: Convergencia Uniforme
- Ahora volveremos a llamar nuestra atención sobre la pregunta que originalmente motivó estas definiciones, “¿Por qué las series Taylor se portan bien, pero las series de Fourier no son necesariamente?” Más precisamente, mencionamos que cada vez que converge una serie de potencias, entonces lo que sea a lo que convergía era continuo. Además, si diferenciamos o integramos estas series término por término, entonces la serie resultante convergerá a la derivada o integral de la serie original. Este no siempre fue el caso de las series de Fourier.
- 8.2: Convergencia Uniforme- Integrales y Derivados
- Vimos en la sección anterior que si f (n) es una secuencia de funciones continuas que converge uniformemente a f en un intervalo, entonces f debe ser continua en el intervalo también. Esto no era necesariamente cierto si la convergencia era solo puntual, ya que vimos una secuencia de funciones continuas definidas en (−∞, ∞) convergiendo puntualmente a una serie de Fourier que no era continua en la línea real. La convergencia uniforme también garantiza algunas otras propiedades agradables.
- 8.3: Radio de convergencia de una serie de potencia
- Hemos desarrollado suficiente maquinaria para observar la convergencia de las series de potencia.
- 8.4: Problemas de límites y teorema de Abel
- Las integraciones que realizamos en el Capítulo 2 son legítimas debido al teorema de Abel que extiende la convergencia uniforme a los puntos finales del intervalo de convergencia aunque la convergencia en un punto final sea solo condicional. Abel no usó el término convergencia uniforme, ya que aún no se había definido, pero las ideas involucradas son suyas.
Miniaturas: Niels Henrik Abel. (dominio público).