8.3: Radio de convergencia de una serie de potencia

Objetivos de aprendizaje

• Explicar el radio de convergencia de una serie de potencias

Hemos desarrollado suficiente maquinaria para observar la convergencia de las series de potencia. El resultado fundamental es el siguiente teorema debido a Abel.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty } a_nc^n\) converge para algún número real distinto de cero\(c\). Entonces\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty } a_n x^n\) converge absolutamente para todos\(x\) tales que\(|x| < |c|\).

Croquis de Prueba

Para probar el teorema\(\PageIndex{1}\) primero tenga en cuenta que por\(\lim_{n \to \infty } a_n c^n = 0\). Así (\(a_nc^n\)) es una secuencia acotada. Dejar\(B\) ser un encuadernado:\(|ac^n|≤ B\). Entonces

\[\left | a_n x^n \right | = \left | a_n c^n\cdot \left ( \frac{x}{c} \right )^n \right | \leq B \left | \frac{x}{n} \right |^c\]

Ahora podemos usar la prueba de comparación.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar teorema\(\PageIndex{1}\).

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty } a_nc^n\) diverge para algún número real\(c\). Entonces\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty } a_nx^n\) diverge para todos\(x\) tales que\(|x| > |c|\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar Corolario\(\PageIndex{1}\).

Como resultado del Teorema\(\PageIndex{1}\) y Corolario\(\PageIndex{1}\), tenemos lo siguiente: o bien\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty } a_n x^n\) converge absolutamente para todos\(x\) o existe algún número real no negativo\(r\) tal que\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty } a_n x^n\) converge absolutamente cuando\(|x| < r\) y diverge cuando\(|x| > r\). En este último caso, llamamos\(r\) al radio de convergencia de la serie de potencias\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty } a_n x^n\). En el primer caso, decimos que el radio de convergencia de\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty } a_n x^n\) es\(∞\). Aunque podemos decir que\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty } a_n x^n\) converge absolutamente cuando\(|x| < r\), no podemos decir que la convergencia sea uniforme. No obstante, podemos acercarnos. Podemos demostrar que la convergencia es uniforme para\(|x|≤ b < r\). Para ver esto usaremos el siguiente resultado.

Teorema\(\PageIndex{2}\): The Weierstrass-M Test

Dejar\(\left ( f_n \right )_{n=1}^{\infty }\) ser una secuencia de funciones definidas en\(S ⊆ \mathbb{R}\) y supongamos que\(\left ( M_n \right )_{n=1}^{\infty }\) es una secuencia de números reales no negativos tal que

\[|f_n(x)|≤ M_n, ∀x ∈ S, n = 1,2,3,....\]

Si\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } M_n\) converge entonces\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } f_n(x)\) converge uniformemente sobre\(S\) alguna función (que denotaremos por\(f(x)\)).

Croquis de Prueba

Dado que la característica crucial del teorema es la función a la\(f(x)\) que converge nuestra serie, nuestro plan de ataque es definir primero\(f(x)\) y luego mostrar que nuestra serie,\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } f_n(x)\), converge a ella de manera uniforme.

Primero observaremos que para cualquiera\(x ∈ S\),\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } f_n(x)\) converge por la Prueba de Comparación (de hecho converge absolutamente) a algún número vamos a denotar por\(f(x)\). Esto en realidad define la función\(f(x)\) para todos\(x ∈ S\). De ello se deduce que\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } f_n(x)\) converge puntualmente a\(f(x)\).

A continuación,\(ε > 0\) déjese dar. Observe que ya que\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }M _n\) converge\(M\), digamos a, entonces hay un número real,\(N\), tal que si\(n > N\), entonces

\[\sum_{k=n+1}^{\infty } M_k = \left | \sum_{k=n+1}^{\infty } M_k \right | = \left | M - \sum_{k=1}^{n} M_k \right | < \varepsilon\]

Deberías poder usar esto para demostrar que si\(n > N\), entonces

\[\left | f(x) - \sum_{k=1}^{n} f_k(x) \right | < \varepsilon ,\; \forall x\; \epsilon \; S\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Utilice las ideas anteriores para proporcionar una prueba formal del Teorema\(\PageIndex{2}\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

1. Mostrar que la serie de Fourier\[\sum_{k=0}^{\infty } \frac{(-1)^k}{(2k+1)^2} \sin ((2k+1)\pi x)\] converge uniformemente en\(\mathbb{R}\).
2. ¿Su serie diferenciada converge uniformemente en\(\mathbb{R}\)? Explique.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Observe eso para todos\(x ∈ [-1,1] |x| ≤ 1\). Identificar cuál de las siguientes series converge puntualmente y cuál converge uniformemente en el intervalo\([-1,1]\). En todos los casos identificar la función de límite.

1. \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left ( x^n - x^{n-1} \right )\)
2. \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left ( x^n - x^{n-1} \right )}{n}\)
3. \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left ( x^n - x^{n-1} \right )}{n^2}\)

Utilizando la prueba Weierstrass-M, podemos probar el siguiente resultado.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Supongamos que\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n\) tiene radio de convergencia\(r\) (donde\(r\) podría estar\(∞\) también). Dejar\(b\) ser cualquier número real no negativo con\(b < r\). Entonces\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n\) converge uniformemente en\([-b,b]\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar teorema\(\PageIndex{3}\).

Insinuación

Sabemos que\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }\left |a_nb^n \right |\) converge. Esto debería estar todo listo para la prueba de Weierstrass-M.

Para terminar la historia sobre la diferenciación e integración de series de potencia, todo lo que necesitamos hacer es mostrar que la serie power, su serie integrada y sus series diferenciadas tienen el mismo radio de convergencia. Puede que no te des cuenta, pero ya sabemos que la serie integrada tiene un radio de convergencia al menos tan grande como el radio de convergencia de la serie original. Específicamente, supongamos que\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n\) tiene un radio de convergencia\(r\) y let\(|x| < r\). Sabemos que\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n\) converge uniformemente en un intervalo que contiene\(0\) y\(x\), y así por Corolario 8.2.2,\(\int_{t=0}^{x}f(t)dt = \sum_{n=0}^{\infty }\left (\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} \right )\). En otras palabras, la serie integrada converge para cualquiera\(x\) con\(|x| < r\). Esto dice que el radio de convergencia de la serie integrada debe ser al menos\(r\).

Para demostrar que los radios de convergencia son los mismos, todo lo que necesitamos mostrar es que el radio de convergencia de las series diferenciadas es al menos\(r\) tan grande también. En efecto, dado que la serie diferenciada de la serie integrada es la original, entonces esto diría que la serie original y la serie integrada tienen los mismos radios de convergencia. Poniendo las series diferenciadas en el papel de la serie original, la serie original es ahora la serie integrada y así éstas tendrían los mismos radios de convergencia también. Con esto en mente, queremos demostrar que si\(|x| < r\), entonces\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }a_n nx^{n-1}\) converge. La estrategia es imitar lo que hicimos en Teorema\(\PageIndex{1}\), donde esencialmente comparamos nuestra serie con una serie geométrica convergente. Sólo que esta vez necesitamos comenzar con las series geométricas diferenciadas.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demostrar que\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } nx^{n-1}\) converge para\(|x| < 1\).

Insinuación

Eso lo sabemos\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n}x^k = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}\). Diferenciar ambos lados y tomar el límite a medida que n se acerca al infinito.

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Supongamos que\( \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n\) tiene un radio de convergencia\(r\) y dejar\(|x| < r\) .Luego\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_nnx^{n-1}\) converge.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Demostrar teorema\(\PageIndex{4}\).

Insinuación

Dejemos\(b\) ser un número con\(|x| < b < r\) y considerar\(\left | a_nnx^{n-1} \right | = \left | a_nb^n\cdot \frac{1}{b}\cdot n\left ( \frac{x}{b} \right )^{n-1} \right |\). Deberías poder usar la Prueba de Comparación y el Ejercicio\(\PageIndex{7}\).