8.4: Problemas de límites y teorema de Abel
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- Explicar el teorema de Abel
Resumiendo nuestros resultados, vemos que cualquier serie de\(\sum a_nx^n\) potencias tiene un radio de convergencia\(r\) tal que\(\sum a_nx^n\) converge absolutamente cuando\(|x| < r\) y diverge cuando\(|x| > r\). Además, la convergencia es uniforme en cualquier intervalo cerrado lo\([-b,b] ⊂ (-r,r)\) que nos dice que cualquiera que sea la serie de potencia converja debe ser una función continua en\((-r,r)\). Por último, si
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n\]
para\(x ∈ (-r,r)\), entonces
\[f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty }a_nnx^{n-1}\]
para\(x ∈ (-r,r)\) y
\[\int_{t=0}^{x}f(t)dt = \sum_{n=0}^{\infty }a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}\]
para\(x ∈ (-r,r)\).
Así, las series de poder se comportan muy bien dentro de su intervalo de convergencia, y nuestro enfoque arrogante del Capítulo 2 está justificado, EXCEPTO por un tema. Si vuelves al Ejercicio Q1 del Capítulo 2, verás que utilizamos la serie geométrica para obtener la serie,
\[\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty } (-1)^n \frac{1}{2n+1}x^{2n+1}.\]
Nosotros sustituimos\(x = 1\) en esto para obtener\(\frac{\pi }{4} = \sum_{n=0}^{\infty } (-1)^n \frac{1}{2n+1}\). Desafortunadamente, nuestra integración solo se garantizó en un subintervalo cerrado del intervalo\((-1,1)\) donde la convergencia era uniforme y sustituimos en\(x = 1\). También “bailamos en el límite” en otros lugares, incluso cuando dijimos que
\[\frac{\pi }{4} = \int_{x=0}^{1}\sqrt{1 - x^2}dx = 1 + \sum_{n=1}^{\infty } \left ( \frac{\prod_{j=0}^{n-1}\left ( \frac{1}{2} - j \right )}{n!} \right ) \left (\frac{(-1)^n}{2n+1} \right )\]
El caso es que para una serie de\(\sum a_nx^n\) potencias con radio de convergencia\(r\), sabemos lo que sucede\(x\) con\(|x| < r\) y\(x\) con\(|x| > r\). Nunca hablamos de lo que pasa\(x\) con\(|x| = r\). Eso se debe a que no existe un enfoque sistemático de este problema fronterizo. Por ejemplo, considere las tres series
\[\sum_{n=0}^{\infty } x^n, \qquad \sum_{n=0}^{\infty } \frac{x^{n+1}}{n+1}, \qquad \sum_{n=0}^{\infty } \frac{x^{n+2}}{(n+1)(n+2)}\]
Todos ellos están relacionados en que empezamos con la serie geométrica y se integraron dos veces, así todos tienen radio de convergencia igual a\(1\). Su comportamiento en el límite, es decir, cuándo\(x = ±1\), es otra historia. La primera serie diverge cuando\(x = ±1\), la tercera serie converge cuando\(x = ±1\). La segunda serie converge cuando\(x = -1\) y diverge cuando\(x = 1\).
Incluso con la imprevisibilidad de una serie de potencias en los puntos finales de su intervalo de convergencia, la prueba de Weierstrass-M sí nos da alguna esperanza de convergencia uniforme.
Supongamos que la serie de potencia\(\sum a_nx^n\) tiene radio de convergencia\(r\) y la serie\(\sum a_nr^n\) converge absolutamente. Entonces\(\sum a_nx^n\) converge uniformemente en\([-r,r]\).
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Para\(|x| ≤ r\),\(|a_nx^n| ≤ |a_nr^n|\).
Desafortunadamente, este resultado no se aplica a las integrales que mencionamos ya que la convergencia en los puntos finales no es absoluta. No obstante, las integraciones que realizamos en el Capítulo 2 siguen siendo legítimas. Esto se debe al siguiente teorema de Abel que extiende la convergencia uniforme a los puntos finales del intervalo de convergencia incluso si la convergencia en un punto final es solo condicional. Abel no utilizó el término convergencia uniforme, ya que aún no se había definido, pero las ideas involucradas son suyas.
Supongamos que la serie de potencia\(\sum a_nx^n\) tiene radio de convergencia\(r\) y la serie\(\sum a_nr^n\) converge. Entonces\(\sum a_nx^n\) converge uniformemente en\([0,r]\).
La prueba de esto no es intuitiva, sino que involucra una técnica inteligente conocida como la Fórmula de Suma Parcial de Abel.
\(a_1, a_2, ..., a_n, b_1, b_2, ... , b_n\)Dejen ser números reales y dejar\(A_m = \sum_{k=1}^{m}a_k\). Entonces
\[a_1b_1 + a_2b_2 +···+ a_nb_n = \sum_{j=1}^{n-1}A_j(b_j - b_{j+1}) + A_nb_n\]
Demostrar Lema\(\PageIndex{1}\).
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Para\(j > 1\),\(a_j = A_j - A{j-1}\).
\(a_1, a_2, ..., a_n, b_1, b_2, ... , b_n\)Dejen ser números reales con\(b_1 ≥ b_2 ≥ ... ≥ b_n ≥ 0\) y dejar\(A_m = \sum_{k=1}^{m}a_k\). Supongamos\(|A_m| ≤ B\) para todos\(m\). Entonces\(\left |\sum_{j=1}^{n}a_jb_j \right | \leq B\cdot b_1\).
Demostrar Lema\(\PageIndex{2}\).
Demostrar teorema\(\PageIndex{1}\).
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Vamos\(\epsilon > 0\). Puesto que\(\sum_{n=0}^{\infty }a_nr^n\) converge entonces por el Criterio Cauchy, existe\(N\) tal que si\(m > n > N\) entonces\(\left |\sum_{k=n+1}^{m} a_k r^k \right | < \frac{\epsilon }{2}\). Vamos\(0 ≤ x ≤ r\). Por Lemma\(\PageIndex{2}\),
\[\left |\sum_{k=n+1}^{m} a_k x^k \right | = \left |\sum_{k=n+1}^{m} a_k r^k \left (\frac{x}{r} \right )^k \right | \leq \frac{\epsilon }{2}\left (\frac{x}{r} \right )^{n+1} \leq \frac{\epsilon }{2} \nonumber\]
Así pues\(0 ≤ x ≤ r\),\(n > N\),
\[\left |\sum_{k=n+1}^{\infty } a_k x^k \right | = \lim_{n \to \infty }\left |\sum_{k=n+1}^{m} a_k x^k \right | \leq \frac{\epsilon }{2} < \epsilon \nonumber\]
Supongamos que la serie de potencia\(\sum a_nx^n\) tiene radio de convergencia\(r\) y la serie\(\sum a_n(-r)^n\) converge. Entonces\(\sum a_nx^n\) converge uniformemente en\([-r,0]\).
Demostrar Corolario\(\PageIndex{1}\).
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Considerar\(\sum a_n(-x)^n\).