Saltar al contenido principal

# 1.2: Relaciones. Mapeos

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## Relaciones

En §1, ya hemos considerado conjuntos de pares ordenados, como productos cartesianos$$A \times B$$ o conjuntos de la forma$$\{(x, y) | P (x, y)\}$$ (cf. §§1—3, Problema 7). Si el par$$(x, y)$$ es un elemento de tal conjunto$$R$$, escribimos

$(x, y) \in R \label{eq1}$

tratando$$(x, y)$$ como una cosa. Tenga en cuenta que esto no implica que$$x$$ y$$y$$ tomados por separado sean miembros de$$R$$ (en cuyo caso escribiríamos$$x, y \in R$$). Nosotros llamamos$$x$$,$$y$$ los términos de$$(x, y)$$.

En matemáticas, es costumbre llamar relación a cualquier conjunto de pares ordenados. Por ejemplo, todos los conjuntos enumerados en el Problema 7 de §§1—3 son relaciones. Dado que las relaciones son conjuntos, la igualdad$$R = S$$ para las relaciones significa que consisten en los mismos elementos (pares ordenados), es decir, que

$(x, y) \in R \iff (x, y) \in S$

Si$$(x, y) \in R$$, llamamos a$$y$$ un$$R$$ -pariente de$$x$$; también decimos que$$y$$ está$$R$$ relacionado con$$x$$ o que la relación se$$R$$ mantiene entre$$x$$ y$$y$$ (en este orden). En lugar de$$(x, y) ∈ R$$, también escribimos$$xRy$$, y muchas veces reemplazamos “$$R$$” por símbolos especiales como$$<$$$$∼$$,, etc. Así, en el caso (i) del Problema 7 anterior, “$$xRy$$” significa eso$$x < y$$.

Sustituyendo todos los pares$$(x, y) \in R$$ por los pares inversos$$(y, x)$$, obtenemos una nueva relación, llamada inversa de$$R$$ y denotada$$R^{-1}$$. Claramente,$$xR^{−1}y$$ iff$$yRx$$; así

$R^{-1} = \{(x, y) | yRx\} = \{(y, x) | xRy\}.$

De ahí que$$R$$, a su vez, sea la inversa de$$R^{−1}$$; es decir,

$(R^{-1})^{-1} = R.$

Por ejemplo, las relaciones$$<$$ y$$>$$ entre números son inversas entre sí; así también lo son las relaciones$$\subseteq$$ y$$\supseteq$$ entre conjuntos. (Podemos tratar “$$\subseteq$$” como el nombre del conjunto de todos los pares$$(X,Y)$$ tal que$$X \subseteq Y$$ en un espacio dado.)

Si$$R$$ contiene los pares$$(x, x′), (y, y′), (z, z′), . . .$$, escribiremos

$R = \begin{pmatrix} x & y & z & \ldots \\ x' & y' & z' & \text{ } \end{pmatrix}; \hskip 5pt e.g., \hskip 5pt R = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$

Para obtener$$R^{−1}$$, simplemente cambiamos las filas superior e inferior en la Ecuación\ ref {eq1}.

Definición 1

El conjunto de todos los términos izquierdos$$x$$ de pares$$(x, y) \in R$$ se llama el dominio de$$R$$, denotado$$D_{R}$$. El conjunto de todos los términos correctos de estos pares se llama el rango de$$R$$, denotado$$D_{R}^{′}$$. Claramente,$$x \in D_{R}$$ iff$$xRy$$ para algunos$$y$$. En símbolos,

$x \in D_{R} \iff (\exists y) \hskip 5pt xRy; \hskip 5pt \text{similarly,} \hskip 5pt y \in D_{R}^{'} \iff (\exists x) \hskip 5pt xRy.$

En Ecuación\ ref {eq1},$$D_{R}$$ está la fila superior, y$$D_{R}^{′}$$ es la fila inferior. Claramente,

$D_{R^{-1}} = D_{R}^{'} \hskip 5pt \text{and} \hskip 5pt D_{R^{-1}}^{'} = D_{R}.$

Por ejemplo, si

$R = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix},$

entonces

$D_{R} = D_{R^{-1}}^{'} = \{1, 4\} \hskip 5pt \text{and} \hskip 5pt D_{R}^{'} = D_{R^{-1}} = \{1, 2\}.$

Definición 2

La imagen de un conjunto$$A$$ bajo una relación$$R$$ (brevemente, la$$R-image$$ de$$A$$) es el conjunto de todos$$R$$ -parientes de elementos de$$A$$, denotados$$R[A]$$. La imagen inversa de$$A$$ bajo$$R$$ es la imagen de$$A$$ debajo de la relación inversa, es decir,$$R^{−1}[A]$$. Si A consiste en un solo elemento,$$A = {x}$$, entonces$$R[A]$$ y también$$R^{−1}[A]$$ se escriben$$R[x]$$ y$$R^{−1}[x]$$, respectivamente, en lugar de$$R[{x}]$$ y$$R^{−1}[{x}]$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Let

$R = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 & 7 \\ 1 & 3 & 4 & 5 & 3 & 4 & 1 & 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}, \hskip 5pt A = \{1, 2\}, \hskip 5pt B = \{2 , 4\}.$

Entonces

$\begin{array}{lll} R[1] = \{1 , 3 , 4\}; & R[2] = \{3, 5\}; & R[3] = \{1, 3, 4, 5\}; \\ R[5] = \emptyset; & R^{-1}[1] = \{1, 3, 7\}; & R^{-1}[2] = \emptyset; \\ R^{-1}[3] = \{1, 2, 3\}; & R^{-1}[4] = \{1, 3\}; & R[A] = \{1, 3, 4, 5\}; \\ R^{-1}[A] = \{1, 3, 7\}; & R[B] = \{3, 5\}. \end{array}$

Por definición,$$R[x]$$ es el conjunto de todos$$R$$ -parientes de$$x$$. Por lo tanto

$y \in R[x] \hskip 5pt \text{iff} \hskip 5pt(x, y) \in R; \hskip 5pt \text{i.e.,} \hskip 5pt xRy.$

De manera más general,$$y \in R[A]$$ significa eso$$(x, y) \in R$$ para algunos$$x \in A$$. En símbolos,

$y \in R[A] \iff (\exists x \in A) (x, y) \in R.$

Tenga en cuenta que siempre$$R[A]$$ se define.

## Mappings

Consideraremos ahora un tipo de relación especialmente importante.

Definición 3

Una relación$$R$$ se llama mapeo (mapa), o una función, o una transformación, si cada elemento$$x \in D_{R}$$ tiene un único$$R$$ -relativo, por lo que$$R[x]$$ consiste en un solo elemento. Este elemento único se denota por$$R(x)$$ y se llama el valor de la función at$$x$$ (bajo$$R$$). Así$$R(x)$$ es el único miembro de$$R[x]$$.

Si, además, diferentes elementos de$$D_{R}$$ tienen diferentes imágenes,$$R$$ se denomina mapa uno a uno (o uno-uno). En este caso,

$x \neq y\left(x, y \in D_{R}\right) \text{ implies } R(x) \neq R(y);$

equivalentemente,

$R(x)=R(y) \text{ implies } x=y.$

Es decir, no hay dos pares que pertenezcan a$$R$$ tener los mismos términos a la izquierda, o a la misma derecha. Esto demuestra que$$R$$ es uno a uno iff$$R^{−1}$$, también, es un mapa. Los mapeos suelen ser denotados por las letras$$f, g, h, F, \psi$$, etc.

Se dice que un mapeo$$f$$ es “de$$A$$ a$$B$$” iff$$D_{f} = A$$ y$$D_{f}^{′} \subseteq B$$; luego escribimos

$f : A \rightarrow B \quad\left("f \text{ maps } A \text{ into } B"\right)$

Si, en particular,$$D_{f} = A$$ y$$D_{f}^{′} = B$$, llamamos$$f$$ un mapa de$$A$$ onto$$B$$, y escribimos

$f : A \underset{\mathrm{onto}}{\longrightarrow} B \quad\left("f \text{ maps } A \text{ onto } B"\right)$

Si$$f$$ es a la vez en y uno a uno, escribimos

$f : A \longleftrightarrow B$

($$f: A \longleftrightarrow B$$significa que$$f$$ es uno a uno).

Todos los pares que pertenecen a un mapeo$$f$$ tienen la forma$$(x, f(x))$$ donde$$f(x)$$ está el valor de la función at$$x$$, es decir, el único$$f$$ -relativo de$$x, x \in D_{f}$$. Por lo tanto, para definir alguna función$$f$$, basta con especificar su dominio$$D_{f}$$ y el valor de la función$$f(x)$$ para cada una$$x \in D_{f}$$. A menudo utilizaremos tales definiciones. Es costumbre decir que$$f$$ se define en$$A$$ (o “$$f$$es una función en$$A$$”) iff$$A = D_{f}$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

(a) La relación
$R=\{(x, y) | x \text{ is the wife of } y\}$
es un mapa uno a uno del conjunto de todas las esposas sobre el conjunto de todos los esposos. $$R^{-1}$$es aquí un mapa uno a uno del conjunto de todos los maridos$$\left(=D_{R}^{\prime}\right)$$ en
el conjunto de todas las esposas$$\left(=D_{R}\right)$$.

b) La relación
$f=\{(x, y) | y \text{ is the father of } x\}$

es un mapa del conjunto de todas las personas en el conjunto de sus padres. No es uno a uno ya que varias personas pueden tener el mismo padre ($$f$$-pariente), y así$$x \neq x^{\prime}$$ no implica$$f(x) \neq f\left(x^{\prime}\right) .$$

c) Dejar

$g=\left( \begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} & {4} \\ {2} & {2} & {3} & {8}\end{array}\right)$

Entonces$$g$$ es un mapa de$$D_{g}=\{1,2,3,4\}$$ onto$$D_{g}^{\prime}=\{2,3,8\},$$ con

$g(1)=2, g(2)=2, g(3)=3, g(4)=8$

(Como se señaló anteriormente, estas fórmulas pueden servir para definir$$g .)$$ No es uno a uno ya que$$g(1)=g(2),$$ así no$$g^{-1}$$ es un mapa.

d) Considerar

$f : N \rightarrow N, \text{ with } f(x)=2x \text{ for each } x \in N$

Por lo dicho anteriormente,$$f$$ está bien definido. Es uno a uno ya que$$x \neq y$$ implica$$2 x \neq 2 y .$$ Aquí$$D_{f}=N($$ los naturales$$),$$ pero$$D_{f}^{\prime}$$ consiste en incluso naturales solamente. Por lo tanto, no$$f$$ está en$$N$$ (está en un conjunto más pequeño, los naturales pares);$$f^{-1}$$ mapea los naturales pares en todos$$N .$$

El dominio y el rango de una relación pueden ser conjuntos bastante arbitrarios. En particular, podemos considerar funciones$$f$$ en las que cada elemento del dominio$$D_{f}$$ es en sí mismo un par ordenado$$(x, y)$$ o$$n$$ -tupla$$\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) .$$ Tales asignaciones se denominan funciones de dos (respectivamente,$$n )$$ variables. A cualquier$$n$$ -tupla$$\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$$ que pertenezca a$$D_{f},$$ la función le$$f$$ asigna un valor de función único, denotado por$$f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) .$$ Es conveniente considerar$$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$$ como ciertas variables; entonces el valor de la función, también, se convierte en una variable dependiendo de la$$x_{1}, \ldots, x_{n}$$. A menudo$$D_{f}$$ consiste en todas las$$n$$ -tuplas ordenadas de elementos tomados de un conjunto$$A$$, es decir,$$D_{f}=A^{n}$$ (producto cruzado de$$n$$ conjuntos, cada uno igual a$$A ) .$$ El rango puede ser un conjunto arbitrario$$B ;$$ así$$f : A^{n} \rightarrow B$$. De igual manera,$$f : A \times B \rightarrow C$$ es una función de dos variables, con$$D_{f}=A \times B, D_{f}^{\prime} \subseteq C$$.

Las funciones de dos variables también se denominan operaciones (binarias). Por ejemplo, la adición de números naturales puede tratarse como un mapa$$f : N \times N \rightarrow N,$$ con$$f(x, y)=x+y .$$

Definición 4

$$R$$Se dice que una relación es
(i) reflexiva si tenemos$$x R x$$ para cada uno$$x \in D_{R}$$;
(ii) simétrico iff$$x R y$$ siempre implica$$y R x$$;
(iii) transitivo iff$$x R y$$ combinado con$$y R z$$ siempre implica$$x R z$$.

$$R$$se denomina relación de equivalencia en un conjunto$$A$$ iff$$A=D_{R}$$ y$$R$$ tiene las tres propiedades (i), (ii) y (iii). Por ejemplo, tal es la relación de igualdad sobre$$A$$ (también llamada mapa de identidad en$$A )$$ denotado

$I_{A}=\{(x, y) | x \in A, x=y\}$

Las relaciones de equivalencia a menudo se denotan con símbolos especiales que se asemejan a la igualdad, como$$\equiv, \approx, \sim,$$ etc. La fórmula$$x R y,$$ donde$$R$$ es tal símbolo, se lee

$"x \text{ is equivalent (or} R \text{-equivalent) to } y,"$

y$$R[x]=\{y | x R y\}$$ (es decir, la$$R$$ -imagen de$$x )$$ se llama la clase$$R$$ -equivalencia (brevemente$$R$$ -clase) de$$x$$ en$$A ;$$ ella consiste en todos los elementos que son$$R$$ -equivalentes a$$x$$ y por lo tanto a cada otro (para$$x R y$$ e$$x R z$$ implica primero$$y R x,$$ por simetría, y$$y R z,$$ por lo tanto por transitividad). Cada uno de esos elementos se llama un representante de la$$R$$ clase dada, o su generador. A menudo escribimos$$[x]$$ para$$R[x]$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

(a') La relación de desigualdad$$<$$ entre números reales es transitiva ya que

$x<y \text{ and } y<z \text{ implies } x<z$

no es ni reflexiva ni simétrica. (¿Por qué?)

(b') La relación de inclusión$$\subseteq$$ entre conjuntos es reflexiva (para$$A \subseteq A$$) y transitiva$$($$ para$$A \subseteq B$$ e$$B \subseteq C$$ implica$$A \subseteq C),$$ pero no es simétrica.

(c') La relación de pertenencia$$\in$$ entre un elemento y un conjunto no es ni reflexiva ni simétrica ni transitiva$$(x \in A$$ y$$A \in \mathcal{M}$$ no implica$$x \in \mathcal{M} )$$.

(d') Dejar$$R$$ ser la relación de paralelismo entre líneas en un plano, es decir, el conjunto de todos los pares$$(X, Y),$$ donde$$X$$ y$$Y$$ son líneas paralelas. Escribir$$\|$$ para$$R,$$ tenemos$$X\|X, X\| Y$$ implica$$Y \| X,$$ y$$(X \| Y$$ y$$Y$$\ |$$Z)$$ implica$$X \| Z,$$ que así$$R$$ es una relación de equivalencia. Una$$R$$ clase -aquí consiste en todas las líneas paralelas a una línea dada en el plano.

(e') La congruencia de los triángulos es una relación de equivalencia. (¿Por qué?)

##### Teorema$$\PageIndex{1}$$

Si$$R$$ (también escrito$$\equiv$$) es una relación de equivalencia en$$A,$$ entonces todas las clases R- son disjuntas de cada otro, y$$A$$ es su unión.

Prueba

Tomar dos$$R$$ -clases,$$[p] \neq[q]$$. Buscando una contradicción, supongamos que no son disjuntos, entonces

$(\exists x) \quad x \in[p] \text{ and } x \in[q];$

es decir,$$p \equiv x \equiv q$$ y por lo tanto$$p \equiv q .$$ Pero entonces, por simetría y transitividad,

$y \in[p] \Leftrightarrow y \equiv p \Leftrightarrow y \equiv q \Leftrightarrow y \in[q];$

es decir,$$[p]$$ y$$[q]$$ constan de los mismos elementos$$y,$$ contrarios a la suposición$$[q] \neq[q]$$. Así, en efecto, cualesquiera dos$$R$$ clases (distintas) son disjuntas.

$(\forall x \in A) \quad x \equiv x$

es decir,$$x \in[x] .$$ así cada uno$$x \in A$$ está en alguna$$R$$ clase (es decir, in$$[x] ) ;$$ de$$A$$ está en la unión de tales clases,

$A \subseteq \bigcup_{x} R[x]$

Por el contrario,

$(\forall x) \quad R[x] \subseteq A$

desde

$y \in R[x] \Rightarrow x R y \Rightarrow y R x \Rightarrow(y, x) \in R \Rightarrow y \in D_{R}=A$

por definición. Así$$A$$ contiene todo de$$R[x],$$ ahí su unión, y así

$A=\bigcup_{x} R[x] . \square$

This page titled 1.2: Relaciones. Mapeos is shared under a CC BY 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Elias Zakon (The Trilla Group (support by Saylor Foundation)) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.