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# 4.1: Definiciones básicas

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Ahora consideraremos funciones cuyos dominios y rangos son conjuntos en algunos espacios métricos fijos (pero por lo demás arbitrarios)$$(S, \rho)$$ y$$\left(T, \rho^{\prime}\right),$$ respectivamente. Escribimos

$f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$

para una función$$f$$ con$$D_{f}=A \subseteq(S, \rho)$$ y$$D_{f}^{\prime} \subseteq\left(T, \rho^{\prime}\right) . \quad S$$ se llama el espacio de dominio, y$$T$$ el espacio de rango, de$$f .$$

I. Dada tal función, muchas veces tenemos que investigar su “comportamiento local” cerca de algún punto$$p \in S .$$ En particular, si se$$p \in A=D_{f}(\text { so that } f(p) \text { is defined) we }$$ puede preguntar: ¿Es posible hacer que los valores de la función estén tan cerca$$f(x)$$ como nos guste ($$" \varepsilon -$$cerca”)$$f(p)$$ manteniendo$$x$$ suficientemente cerca $$\left(\text { "close }^{\prime \prime}\right)$$a$$p,$$ i.e., dentro de algún globo suficientemente pequeño$$G_{p}(\delta) ?$$ Si este es el caso, decimos que$$f$$ es continuo en$$p .$$ Más precisamente, formulamos la siguiente definición.

## Definición

Se dice que una función$$f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right),$$ con$$A \subseteq(S, \rho),$$ es continua en$$p$$ iff$$p \in A$$ y, además, para cada uno$$\varepsilon>0$$ (no importa cuán pequeña sea) hay$$\delta>0$$ tal que$$\rho^{\prime}(f(x), f(p))<\varepsilon$$ para todos los símbolos$$x \in A \cap G_{p}(\delta) .$$ In,

$(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in A \cap G_{p}(\delta)\right)\left\{\begin{array}{l}{\rho^{\prime}(f(x), f(p))<\varepsilon, \text { or }} \\ {f(x) \in G_{f(p)}(\varepsilon)}\end{array}\right.$

Si$$(1)$$ falla, decimos que$$f$$ es discontinuo en$$p$$ y llamamos a$$p$$ un punto de discontinuidad de$$f .$$ Este también es el caso si$$p \notin A$$ (ya que no$$f(p)$$ está definido).

Si se$$(1)$$ sostiene por cada p en un conjunto$$B \subseteq A,$$ decimos que$$f$$ es continuo en$$B .$$ Si este es el caso$$B=A,$$ porque simplemente decimos que$$f$$ es continuo.

A veces preferimos mantenernos$$x$$ cerca$$p$$ pero diferentes de Luego$$p .$$$$G_{p}(\delta)$$ reemplazamos$$(1)$$ por el conjunto$$G_{p}(\delta)-\{p\},$$ es decir, el globo sin su centro, denotado$$G_{\neg p}(\delta)$$ y llamado el$$\delta$$ -globo eliminado sobre$$p .$$ Esto es incluso necesario si$$p \notin D_{f}$$. Sustituyendo$$f(p)$$ en$$(1)$$ por algunos entonces$$q \in T,$$ nos llevan a la siguiente definición.

## Definición

Dado$$f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right), A \subseteq(S, \rho), p \in S,$$ y$$q \in T,$$ decimos que$$f(x)$$ tiende a$$q$$ como$$x$$ tiende a$$p(f(x) \rightarrow q \text { as } x \rightarrow p)$$ iff para cada uno$$\varepsilon>0$$ hay$$\delta>0$$ tal que$$\rho^{\prime}(f(x), q)<\varepsilon$$ para todos$$x \in A \cap G_{\neg p}(\delta) .$$ En símbolos,

$(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad\left\{\begin{array}{l}{\rho^{\prime}(f(x), q)<\varepsilon, \text { i.e. }} \\ {f(x) \in G_{q}(\varepsilon)}\end{array}\right.$

Esto significa que$$f(x)$$ está$$\varepsilon$$ -cerca de$$q$$ cuando$$x$$ está$$\delta$$ -cerca de$$p$$ y$$x \neq p$$.

Si las$$(2)$$ retenciones para algunos$$q,$$ llamamos$$q$$ límite de$$f$$ al Puede que no$$p .$$ haya tal$$q$$. Entonces decimos que no$$f$$ tiene límite en$$p,$$ o que este límite no existe. Si solo hay uno de esos$$q(\text { for a given } p),$$ escribimos$$q=\lim _{x \rightarrow p} f(x) .$$

Nota 1. La fórmula (2) sostiene “vacuamente” (ver Capítulo 1,8 §§1-3, observación final) si$$A \cap G_{\neg p}(\delta)=\emptyset$$ para algunos$$\delta>0 .$$ Entonces cualquiera$$q \in T$$ es un límite en$$p,$$ entonces existe un límite pero no es único. (Descartamos el caso donde$$T$$ es un singleton.)

Nota 2. Sin embargo, la singularidad está asegurada si$$A \cap G_{\neg p}(\delta) \neq \emptyset$$ para todos$$\delta>0,$$ como demostramos a continuación.

Observe que por el Corolario 6 del Capítulo 3, §14, el conjunto se$$A$$ agrupa en$$p$$ iff

$(\forall \delta>0) \quad A \cap G_{\neg p}(\delta) \neq \emptyset . \quad(\text { Explain! })$

Así tenemos el siguiente corolario.

## corolario$$\PageIndex{1}$$

Si$$A$$ los clústeres$$p$$ en in$$(S, \rho),$$ entonces una función$$f : A \rightarrow\left(T, p^{\prime}\right)$$ puede tener como máximo un límite en$$p ;$$ i.e.

$\lim _{x \rightarrow p} f(x) \text{ is unique (if it exists).}$

En particular, esto se sostiene si$$A \supseteq(a, b) \subset E^{1}(a<b)$$ y$$p \in[a, b]$$.

Prueba

Supongamos que$$f$$ tiene$$t w o$$ límites,$$q$$ y$$r,$$ en la propiedad$$p .$$ By the Hausdorff,

$G_{q}(\varepsilon) \cap G_{r}(\varepsilon)=\emptyset \quad \text{ for some } \varepsilon>0.$

También, por$$(2),$$ hay$$\delta^{\prime}, \delta^{\prime \prime}>0$$ tales que

$\begin{array}{ll}{\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}\left(\delta^{\prime}\right)\right)} & {f(x) \in G_{q}(\varepsilon) \text { and }} \\ {\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}\left(\delta^{\prime \prime}\right)\right)} & {f(x) \in G_{r}(\varepsilon)}\end{array}$

Let$$\delta=\min \left(\delta^{\prime}, \delta^{\prime \prime}\right) .$$ Entonces para$$x \in A \cap G_{\neg p}(\delta), f(x)$$ está en ambos$$G_{q}(\varepsilon)$$ y$$G_{r}(\varepsilon)$$, y tal$$x$$ existe ya que$$A \cap G_{\neg p}(\delta) \neq \emptyset$$ por suposición.

Pero esto es imposible ya que$$G_{q}(\varepsilon) \cap G_{r}(\varepsilon)=\emptyset$$$$(\text { a contradiction!). } \square$$

Para intervalos, ver Capítulo 3, §14, Ejemplo ($$\mathrm{h} )$$.

## corolario$$\PageIndex{2}$$

$$f$$es continuo en$$p\left(p \in D_{f}\right)$$ iff$$f(x) \rightarrow f(p)$$ como$$x \rightarrow p$$.

Prueba

La prueba directa de las definiciones se deja al lector.

Nota 3. En fórmula$$(2),$$ excluimos el caso$$x=p$$ asumiendo que$$x \in A \cap G_{\neg p}(\delta) .$$ Esto hace que el comportamiento de por$$p$$$$f$$ mismo sea irrelevante. Así para la existencia de un límite$$q$$ en$$p,$$ ello no importa si$$p \in D_{f}$$ o si$$f(p)=q .$$ Pero ambas condiciones se requieren para la continuidad en$$p$$ (ver Corolario 2 y Definición 1$$)$$.

Nota 4. Observe que si$$(1)$$ o$$(2)$$ sostiene para algunos$$\delta,$$ ciertamente sostiene para cualquier$$\delta^{\prime} \leq \delta .$$ Así que siempre podemos elegir$$\delta$$ lo pequeño que queramos. Además, como$$x$$ se limita a$$G_{p}(\delta),$$ nosotros podemos despreciar, o cambiar a voluntad, los valores de función$$f(x)$$ para$$x \notin G_{p}(\delta)$$ (“carácter local de la noción límite”).

II. Límites en E*. Si$$S$$ o$$T$$ es$$E^{*}\left(\text { or } E^{1}\right),$$ podemos dejar$$x \rightarrow \pm \infty$$ o$$f(x) \rightarrow \pm \infty .$$ Para una definición precisa, reescribimos$$(2)$$ en términos de$$globes$$$$G_{p}$$ y$$G_{q} :$$

$\left(\forall G_{q}\right)\left(\exists G_{p}\right)\left(\forall x \in A \cap G_{\neg p}\right) \quad f(x) \in G_{q}.$

Esto tiene sentido también si$$p=\pm \infty$$ o Solo$$q=\pm \infty .$$ tenemos que usar nuestras convenciones en cuanto a$$G_{ \pm \infty},$$ o la métrica$$\rho^{\prime}$$ para$$E^{*},$$ como se explica en el Capítulo 3, §11.

Por ejemplo, considere

$^{\prime \prime}f(x) \rightarrow q \text{ as } x \rightarrow+\infty^{\prime \prime}\left(A \subseteq S=E^{*}, p=+\infty, q \in\left(T, \rho^{\prime}\right)\right).$

Aquí$$G_{p}$$ tiene la forma$$(a,+\infty], a \in E^{1},$$ y$$G_{\neg p}=(a,+\infty),$$ mientras$$G_{q}=G_{q}(\varepsilon)$$, como de costumbre. Observando eso$$x \in G_{\neg p}$$ significa que$$x>a\left(x \in E^{1}\right),$$ podemos reescribir$$\left(2^{\prime}\right)$$ como

$(\forall \varepsilon>0)\left(\exists a \in E^{1}\right)(\forall x \in A | x>a) \quad f(x) \in G_{q}(\varepsilon), \text{ or } \rho^{\prime}(f(x), q)<\varepsilon.$

Esto significa que$$f(x)$$ se vuelve arbitrariamente cercano a$$q$$ por lo grande$$x(x>a)$$.

A continuación considere$$^{4} f(x) \rightarrow+\infty$$ como$$x \rightarrow-\infty$$ "Aquí$$G_{\neg p}=(-\infty, a)$$ y$$G_{q}=(b,+\infty] .$$ Así$$\left(2^{\prime}\right)$$ rendimientos de fórmula (con$$S=T=E^{*},$$ y$$x$$ variando sobre$$E^{\mathrm{i}} )$$

$\left(\forall b \in E^{1}\right)\left(\exists a \in E^{1}\right)(\forall x \in A | x<a) \quad f(x)>b;$

de manera similar en otros casos, que dejamos al lector.

Nota 5. En$$(3),$$ podemos tomar$$A=N$$ (los naturales). Luego$$f : N \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ es una secuencia en$$T .$$ Escritura$$m$$ para$$x,$$ conjunto$$u_{m}=f(m)$$ y$$a=k \in N$$ para obtener

$(\forall \varepsilon>0)(\exists k)(\forall m>k) \quad u_{m} \in G_{q}(\varepsilon) ; \text{ i.e., } \rho^{\prime}\left(u_{m}, q\right)<\varepsilon.$

Esto coincide con nuestra definición del límite$$q$$ de una secuencia$$\left\{u_{m}\right\}$$ (ver Capítulo 3, §14). Así, los límites de secuencias son un caso especial de límites de función. Los teoremas sobre secuencias se pueden obtener de aquellos sobre funciones simplemente$$f : A \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ tomando$$A=N$$ y$$S=E^{*}$$ como arriba.

Nota 6. Fórmulas$$(3)$$ y tienen$$(4)$$ sentido también si$$S=E^{1}$$ (respectivamente,$$S=T=E^{1} )$$ ya que no implican ninguna mención de$$\pm \infty .$$ Vamos a utilizar tales fórmulas también para funciones$$f : A \rightarrow T,$$ con$$A \subseteq S \subseteq E^{1}$$ o$$T \subseteq E^{1},$$ según sea el caso.

III. Límites Relativos y Continuidad. A veces el resultado deseado$$(1)$$ o$$(2)$$ no se sostiene en su totalidad, sino solo con$$A$$ reemplazado por un conjunto más pequeño$$B \subseteq A$$. Así podemos tener

$(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)\left(\forall x \in B \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad f(x) \in G_{q}(\varepsilon).$

En este caso, llamamos$$q$$ un límite relativo de$$f$$ al$$p$$ más$$B$$ y escribimos

$"f(x) \rightarrow q \text{ as } x \rightarrow p \text{ over } B"$

o

$\lim _{x \rightarrow p, x \in B} f(x)=q \quad(\text { if } q \text { is unique });$

$$B$$se llama el camino sobre el que$$x$$ tiende a$$p .$$ Si, además,$$p \in D_{f}$$ y$$q=f(p),$$ decimos que$$f$$ es relativamente continuo en$$p$$ más$$B ;$$ entonces se$$(1)$$ sostiene con$$A$$ reemplazado por$$B$$. Nuevamente, si esto se sostiene para cada$$p \in B,$$ decimos que$$f$$ es relativamente continuo en$$B .$$ Claramente, si$$B=A=D_{f},$$ esto arroja límites ordinarios (no relativos) y continuidad. Así, los límites relativos y la continuidad son más generales.

Tenga en cuenta que para los límites sobre una ruta$$B, x$$ se elige de$$B$$ o$$B-\{p\}$$ solo. Así el comportamiento del$$f$$ exterior$$B$$ se vuelve irrelevante, y así podemos redefinir arbitrariamente$$f$$ en$$-B .$$ Por ejemplo, si$$p \notin B$$ pero$$\lim _{x \rightarrow p, x \in B} f(x)=q$$ existe, podemos definir haciendo$$f(p)=q,$$ así$$f$$ relativamente continuo en También$$p(\text { over } B) .$$ podemos reemplazar$$(S, \rho)$$ por $$(B, \rho)(\text { if } p \in B),$$o restringir$$f$$ a$$B,$$ es decir, reemplazar$$f$$ por la función$$g : B \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ definida por$$g(x)=f(x)$$ for$$x \in B$$ (brevemente,$$g=f$$ on$$B )$$.

Un caso particularmente importante es

$A \subseteq S \subseteq E^{*}, \text{ e.g., } S=E^{1}.$

Entonces las desigualdades se definen en$$S,$$ para que podamos tomar

$B=\{x \in A | x<p\} \text{ (points in } A, \text{ preceding } p).$

Luego, escribiendo$$G_{q}$$ para$$G_{q}(\varepsilon)$$ y$$a=p-\delta,$$ obtenemos de la fórmula$$(2)$$

$\left(\forall G_{q}\right)(\exists a<p)(\forall x \in A | a<x<p) \quad f(x) \in G_{q}.$

Si se$$(5)$$ mantiene, llamamos a$$q$$ un límite izquierdo de$$f$$ at$$p$$ y escribimos

$"f(x) \rightarrow q \text{ as } x \rightarrow p^{-}" \quad\left(" x \text { tends to } p \text{ from the left}^{\prime}\right).$

Si, además,$$q=f(p),$$ decimos que$$f$$ se deja continuo en$$p .$$ Similarmente, tomando

$B=\{x \in A | x>p\},$

obtenemos los límites correctos y la continuidad. Escribimos

$f(x) \rightarrow q \text{ as } x \rightarrow p^{+}$

iff$$q$$ es un límite derecho de$$f$$ at$$p,$$ i.e., si se$$(5)$$ mantiene con todas las desigualdades invertidas.

Si el conjunto$$B$$ en cuestión agrupa en$$p,$$ el límite relativo (si lo hay) es único. Luego denotamos el límite izquierdo y derecho, respectivamente, por$$f\left(p^{-}\right)$$ y$$f\left(p^{+}\right),$$ y escribimos

$\lim _{x \rightarrow p^{-}} f(x)=f\left(p^{-}\right) \text{ and } \lim _{x \rightarrow p^{+}} f(x)=f\left(p^{+}\right).$

## corolario$$\PageIndex{3}$$

Con la notación anterior, si$$f(x) \rightarrow q$$ como$$x \rightarrow p$$ sobre un camino$$B,$$ y también sobre$$D,$$ entonces$$f(x) \rightarrow q$$ como$$x \rightarrow p$$ sobre$$B \cup D$$.

De ahí si$$D_{f} \subseteq E^{*}$$ y$$p \in E^{*},$$ tenemos

$q=\lim _{x \rightarrow p} f(x) \text{ iff } q=f\left(p^{-}\right)=f\left(p^{+}\right) . \quad(\text { Exercise! })$

Ahora ilustramos nuestras definiciones mediante un diagrama en la$$E^{2}$$ representación de una función$$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ por su gráfica, es decir, puntos$$(x, y)$$ tales que$$y=f(x)$$.

Aquí

$G_{q}(\varepsilon)=(q-\varepsilon, q+\varepsilon)$

es un intervalo en el$$y$$ eje. Las líneas punteadas muestran cómo construir un intervalo

$(p-\delta, p+\delta)=G_{p}$

en el$$x$$ eje -eje, satisfaciendo fórmula$$(1)$$ en la Figura$$13,$$ fórmulas$$(5)$$ y$$(6)$$ en Figura$$14,$$ o fórmula$$(2)$$ en Figura$$15 .$$ El punto$$Q$$ en cada diagrama pertenece a la gráfica; es decir,$$Q=(p, f(p)) .$$ En la Figura$$13, f$$ es continuo en$$p(\text { and also at }$$ $$p_{1}$$). Sin embargo, solo es continuo a la izquierda$$p$$ en la Figura$$14,$$ y es discontinuo$$p$$ en la Figura$$15,$$ aunque$$f\left(p^{-}\right)$$ y$$f\left(p^{+}\right)$$ existe. (¿Por qué?)

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

(a) Dejar$$f : A \rightarrow T$$ ser constante en$$B \subseteq A ;$$ i.e.

$f(x)=q \text{ for a fixed } q \in T \text{ and all } x \in B.$

Entonces$$f$$ es relativamente continuo encendido$$B,$$ y$$f(x) \rightarrow q$$ como$$x \rightarrow p$$ más$$B,$$ en cada uno$$p .$$ (Dado$$\varepsilon>0,$$ tomar una arbitraria$$\delta>0$$. Entonces

$\left(\forall x \in B \cap G_{\neg p}(\delta)\right) \quad f(x)=q \in G_{q}(\varepsilon),$

según se requiera; de manera similar para la continuidad.)

(b) Dejar$$f$$ ser el mapa de$$i$$ dentidad en$$A \subset(S, \rho) ;$$ i.e.

$(\forall x \in A) \quad f(x)=x.$

Entonces, dado$$\varepsilon>0,$$ toma$$\delta=\varepsilon$$ para obtener, para$$p \in A$$,

$\left(\forall x \in A \cap G_{p}(\delta)\right) \quad \rho(f(x), f(p))=\rho(x, p)<\delta=\varepsilon.$

Por lo tanto, por$$(1), f$$ es continuo en cualquier$$p \in A,$$ por lo tanto en$$A$$.

(c) Definir$$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ por

$f(x)=1 \text{ if } x \text{ is rational, and } f(x)=0 \text{ otherwise.}$

(Esta es la función Dirichlet, así llamada así en honor a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.)

No importa lo pequeño$$\delta$$ que sea, el globo

$G_{p}(\delta)=(p-\delta, p+\delta)$

(incluso el globo eliminado) contiene tanto racionales como irracionales. Así como$$x$$ varía sobre$$G_{\neg p}(\delta), f(x)$$ toma ambos valores, 0 y$$1,$$ muchas veces y así sale de cualquiera$$G_{q}(\varepsilon),$$ con$$q \in E^{1}, \varepsilon<\frac{1}{2}$$.

De ahí que para cualquier$$q, p \in E^{1},$$ fórmula$$(2)$$ falle si tomamos$$\varepsilon=\frac{1}{4},$$ digamos. Así no$$f$$ tiene límite en ningún$$p \in E^{1}$$ y por lo tanto es discontinuo en todas partes! Sin embargo,$$f$$ es relativamente continuo en el conjunto$$R$$ de todos los racionales por Ejemplo$$(\mathrm{a})$$.

d) Definir$$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ por

$f(x)=[x](=\text { the integral part of } x ; \text { see Chapter } 2, §10).$

Así$$f(x)=0$$ para$$x \in[0,1), f(x)=1$$ para$$x \in[1,2),$$ etc. Entonces$$f$$ es discontinuo en$$p$$ si$$p$$ es un número entero (¿por qué?) pero continuo en cualquier otro$$p\left(\text { restrict } f \text { to a small } G_{p}(\delta) \text { so as to make it constant) }\right.$$

Sin embargo, existen límites izquierdo y derecho en cada uno$$p \in E^{1},$$ aunque$$p=$$$$n(\text { an integer }) .$$ De hecho,

$f(x)=n, x \in(n, n+1)$

y

$f(x)=n-1, x \in(n-1, n),$

por lo tanto,$$f\left(n^{+}\right)=n$$ y$$f\left(n^{-}\right)=$$$$n-1 ; f$$ es correcto continuo en$$E^{1} .$$ Ver Figura$$16 .$$

e) Definir$$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ por

$f(x)=\frac{x}{|x|} \text{ if } x \neq 0, \text{ and } f(0)=0.$

Entonces (Figura 17$$)$$

$f(x)=-1 \text{ if } x<0$

y

$f(x)=1 \text{ if } x>0.$

Así, como en (d), inferimos que$$f$$ es discontinuo en$$0,$$ pero continuo en cada$$p \neq 0 .$$ También,$$f\left(0^{+}\right)=1$$ y$$f\left(0^{-}\right)=-1 .$$ Redefiniendo$$f(0)=1$$ o$$f(0)=-1,$$ podemos hacer$$f$$ derecha (respectivamente, izquierda) continua en$$0,$$ pero no ambas.

(f) Definir$$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ por (ver Figura 18$$)$$

$f(x)=\sin \frac{1}{x} \text{ if } x \neq 0, \text{ and } f(0)=0.$

Cualquier globo$$G_{0}(\delta)$$ alrededor de 0 contiene puntos en los que así$$f(x)=1,$$ como aquellos en los que$$f(x)=-1$$ o$$f(x)=0$$ (tomar$$x=2 /(n \pi)$$ para enteros grandes$$n )$$; de hecho, la gráfica “oscila” infinitamente muchas veces entre$$-1$$ y$$1 .$$ Así por el mismo argumento que en no$$(\mathrm{c}), f$$ tiene límite en 0 (ni siquiera un límite izquierdo o derecho) y por lo tanto es discontinuo en$$0 .$$ Ningún intento de redefinir$$f$$ en 0 puede restaurar incluso la continuidad izquierda o derecha, y mucho menos la continuidad ordinaria, en$$0 .$$

g) Definir$$f : E^{2} \rightarrow E^{1} \mathrm{by}$$

$f(\overline{0})=0 \text{ and } f(\overline{x})=\frac{x_{1} x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} \text{ if } \overline{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right) \neq \overline{0}.$

Dejar$$B$$ ser cualquier línea$$E^{2}$$ a través$$\overline{0},$$ dada paramétricamente por

$\overline{x}=t \vec{u}, \quad t \in E^{1}, \vec{u} \text{ fixed (see Chapter 3, §§4-6 ),}$

así$$x_{1}=t u_{1}$$ y$$x_{2}=t u_{2} .$$ Como se ve fácilmente, para$$\overline{x} \in B, f(\overline{x})=f(\overline{u})$$ (constante) si$$\overline{x} \neq \overline{0} .$$ Por lo tanto

$\left(\forall \overline{x} \in B \cap G_{\neg \overline{0}}(\delta)\right) \quad f(\overline{x})=f(\overline{u}),$

es decir,$$\rho(f(\overline{x}), f(\overline{u}))=0<\varepsilon,$$ para cualquier$$\varepsilon>0$$ globo eliminado sobre$$\overline{0}$$.

Para$$\left(2^{\prime}\right),$$ entonces,$$f(\overline{x}) \rightarrow f(\overline{u})$$ como$$\overline{x} \rightarrow \overline{0}$$ sobre el camino$$B .$$ Así$$f$$ tiene un límite$$f(\overline{u})$$ relativo$$\overline{0},$$ sobre cualquier línea$$\overline{x}=t \overline{u},$$ pero este límite es diferente para varias opciones de$$\overline{u},$$ es decir, para diferentes líneas a través de$$\overline{0} .$$ Sin límite ordinario en$$\overline{0}$$ existe (¿por qué?) ; ni siquiera$$f$$ es relativamente continuo$$\overline{0}$$ sobre la línea a$$\overline{x}=t \vec{u}$$ menos que$$f(\overline{u})=0$$ (que es el caso solo si la línea es uno de los ejes de coordenadas (¿por qué?)).

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