6.1.E: Problemas en Derivadas Direccionales y Parciales

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Completa todos los detalles faltantes en la prueba de Teoremas 1 a 3 y Corolarios 1 y 2.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Complete todos los detalles en los Ejemplos (a) y (b). Buscar\(D_{1} f(\vec{p})\) y\(D_{2} f(\vec{p})\) también para\(\vec{p} \neq 0.\) Hacer Ejemplo (b) de dos maneras: (i) usar la Nota 3; (ii) usar la Definición 2 solamente.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

En los Ejemplos (a) y (b) describen\(D_{\vec{u}} f : E^{2} \rightarrow E^{1}\). Cómplelo para\(\vec{u =(1,1)=\vec{p}.\)
In (b), mostrar que no\(f\) tiene derivadas direccionales\(D_{\vec{u}} f(\vec{p})\) excepto si\(\vec{u} \| \vec{e}_{1}\) o\(\vec{u} \| \vec{e}_{2}.\) Dar dos pruebas: (i) usar Teorema 1; (ii) usar definiciones solamente.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que si\(f : E^{n}\left(C^{n}\right) \rightarrow E\) tiene una derivada parcial cero,\(D_{k} f=0,\) sobre un conjunto convexo\(A,\) entonces\(f(\vec{x})\) no depende de\(x_{k},\) for\(\vec{x} \in A.\) (Utilice los teoremas 1 y 2.)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Describir\(D_{1} f\) y\(D_{2} f\) en las diversas partes de\(E^{2},\) y discutir la continuidad relativa de las líneas\(f\) sobre a través de\(\overrightarrow{0},\) dado que\(f(x, y)\) es igual a:
\[\begin{array}{ll}{\text { (i) } \frac{x y}{x^{2}+y^{2}};} & {\text { (ii) the integral part of } x+y;} \\ {\text { (iii) } \frac{x y}{|x|}+x \sin \frac{1}{y};} & {\text { (iv) } x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}};} \\ {\text { (v) } \sin (y \cos x);} & {\text { (vi) } x^{y}.}\end{array}\]
(Establecer\(f=0\) donde la fórmula no tenga sentido.)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(\Rightarrow\)Demostrar que si\(f : E^{\prime} \rightarrow E^{1}\) tiene un máximo o mínimo local en\(\vec{p} \in E^{\prime},\) entonces\(D_{\vec{u}} f(\vec{p})=0\) para cada vector\(\vec{u} \neq \overrightarrow{0}\) en\(E^{\prime}.\)
[Pista: Use la Nota 3, luego Corolario 1 en el Capítulo 5, §2.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Estado y probar la Ley de Incrementos Finitos (Teorema 1 del Capítulo 5, §4) para derivadas direccionales.
[Pista: Imita el teorema 2 usando dos funciones auxiliares,\(h\) y\(k\).]

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Estado y prueba los Teoremas 4 y 5 del Capítulo 5, §1, para derivadas direccionales.