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# 6.2: Mapas Lineales y Funcionales. Matrices

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Para una adecuada definición de diferenciabilidad, necesitamos la noción de mapa lineal. Abajo,$$E^{\prime}, E^{\prime \prime},$$ y$$E$$ denotar espacios normados sobre el mismo campo escalar,$$E^{1}$$ o$$C.$$

## Definición 1

Una función$$f : E^{\prime} \rightarrow E$$ es un mapa lineal si y solo si para todos$$\vec{x}, \vec{y} \in E^{\prime}$$ y escalares$$a, b$$

$f(a \vec{x}+b \vec{y})=a f(\vec{x})+b f(\vec{y});$

equivalentemente, iff para todos esos$$\vec{x}, \vec{y},$$ y$$a$$

$f(\vec{x}+\vec{y})=f(x)+f(y) \text { and } f(a \vec{x})=a f(\vec{x}). \text {(Verify!)}$

Si$$E=E^{\prime},$$ dicho mapa también se llama operador lineal.

Si el espacio de rango$$E$$ es el campo escalar de$$E^{\prime},$$ (es decir,$$E^{1}$$ o$$C,)$$ el lineal también$$f$$ se llama un funcional lineal (real o complejo) en$$E^{\prime}.$$

Nota 1. La inducción extiende la fórmula (1) a cualquier “combinación lineal”:

$f\left(\sum_{i=1}^{m} a_{i} \vec{x}_{i}\right)=\sum_{i=1}^{m} a_{i} f\left(\vec{x}_{i}\right)$

para todos$$\vec{x}_{i} \in E^{\prime}$$ y escalares$$a_{i}$$.

Brevemente: Un mapa lineal$$f$$ conserva combinaciones lineales.

Nota 2. Tomando$$a=b=0$$ en (1), obtenemos$$f(\overrightarrow{0})=0$$ si$$f$$ es lineal.

## Ejemplos

(a) Dejar$$E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right).$$ Fijar un vector$$\vec{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$$ en$$E^{\prime}$$ y establecer

$\left(\forall \vec{x} \in E^{\prime}\right) \quad f(\vec{x})=\vec{x} \cdot \vec{v}$

(producto interno; ver Capítulo 3, §§1-3 y §9).

Entonces

\begin{aligned} f(a \vec{x}+b \vec{y}) &=(a \vec{x}) \cdot \vec{v}+(b \vec{y}) \cdot \vec{v} \\ &=a(\vec{x} \cdot \vec{v})+b(\vec{y} \cdot \vec{v}) \\ &=a f(\vec{x})+b f(\vec{y}); \end{aligned}

así$$f$$ es lineal. Obsérvese que si$$E^{\prime}=E^{n},$$ entonces por definición,

$f(\vec{x})=\vec{x} \cdot \vec{v}=\sum_{k=1}^{n} x_{k} v_{k}=\sum_{k=1}^{n} v_{k} x_{k}.$

Si, sin embargo,$$E^{\prime}=C^{n},$$ entonces

$f(\vec{x})=\vec{x} \cdot \vec{v}=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \overline{v}_{k}=\sum_{k=1}^{n} \overline{v}_{k} x_{k},$

donde$$\overline{v}_{k}$$ está el conjugado del número complejo$$v_{k}$$.

Por Teorema 3 en el Capítulo 4, §3,$$f$$ es continuo (¡un polinomio!).

Por otra parte,$$f(\vec{x})=\vec{x} \cdot \vec{v}$$ es un escalar (en$$E^{1}$$ o$$C).$$ Así el rango de$$f$$ mentiras en el campo escalar de$$E^{\prime};$$ así$$f$$ es un funcional lineal en$$E^{\prime}.$$

(b)$$I=[0,1].$$ Dejemos$$E^{\prime}$$ ser el conjunto de todas las funciones$$u : I \rightarrow E$$ que sean de clase$$CD^{\infty}$$ (Capítulo 5, §6) en adelante$$I$$, de ahí acotado ahí (Teorema 2 del Capítulo 4, §8).

Como en el Ejemplo (C) en el Capítulo 3, §10,$$E^{\prime}$$ es un espacio lineal normado, con norma

$\|u\|=\sup _{x \in I}|u(x)|.$

Aquí cada función$$u \in E^{\prime}$$ se trata como un solo “punto” en$$E^{\prime}.$$ La
distancia entre dos de tales puntos,$$u$$ y$$v,$$ es igual$$\|u-v\|,$$ por definición.

Ahora define un mapa$$D$$ en$$E^{\prime}$$ configurando$$D(u)=u^{\prime}$$ (derivado de$$u$$ on$$I$$). Como cada$$u \in E^{\prime}$$ es de clase$$CD^{\infty},$$ así es$$u^{\prime}.$$

Así$$D(u)=u^{\prime} \in E^{\prime},$$ y así$$D : E^{\prime} \rightarrow E^{\prime}$$ es un operador lineal. (Su linealidad se desprende del Teorema 4 en el Capítulo 5, §1.)

(c) Dejar de nuevo$$I=[0,1].$$ Let$$E^{\prime}$$ ser el conjunto de todas las funciones$$u : I \rightarrow E$$ que están acotadas y tienen antiderivadas (Capítulo 5, §5) on$$I.$$ Con norma$$\|u\|$$ como en el Ejemplo (b),$$E^{\prime}$$ es un espacio lineal normado.

Ahora define$$\phi : E^{\prime} \rightarrow E$$ por

$\phi(u)=\int_{0}^{1} u,$

con$$\int u$$ como en el Capítulo 5, §5. (Recordemos que$$\int_{0}^{1} u$$ es un elemento de$$E$$ si$$u : I \rightarrow E.$$) Por Corolario 1 en el Capítulo 5, §5,$$\phi$$ es un mapa lineal de$$E^{\prime}$$ en$$E$$. (¿Por qué?)

d) El$$f=0$$ mapa cero$$E^{\prime}$$ es siempre lineal. (¿Por qué?)

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Un mapa lineal$$f : E^{\prime} \rightarrow E$$ es continuo (incluso uniformemente así) en todo$$E^{\prime}$$ iff es continuo en$$\overrightarrow{0};$$ equivalentemente, si hay un real$$c>0$$ tal que

$\left(\forall \vec{x} \in E^{\prime}\right) \quad|f(\vec{x})| \leq c|\vec{x}|.$

(Llamamos a esta propiedad delimitación lineal.)

Prueba

Supongamos que$$f$$ es continuo en$$\overrightarrow{0}.$$ Entonces, dado que$$\varepsilon>0,$$ hay$$\delta>0$$ tal que

$|f(\vec{x})-f(\overrightarrow{0})|=|f(\vec{x})| \leq \varepsilon$

cuando sea$$|\vec{x}-\overrightarrow{0}|=|\vec{x}|<\delta$$.

Ahora, para cualquiera seguramente$$\vec{x} \neq \overrightarrow{0},$$ tenemos

$\left|\frac{\delta \vec{x}}{|\vec{x}|}\right|=\frac{\delta}{2}<\delta.$

De ahí

$(\forall \vec{x} \neq \overrightarrow{0}) \quad\left|f\left(\frac{\delta \vec{x}}{2|\vec{x}|}\right)\right| \leq \varepsilon,$

$\frac{\delta}{2|\vec{x}|}|f(\vec{x})| \leq \varepsilon,$

es decir,

$|f(\vec{x})| \leq \frac{2 \varepsilon}{\delta}|\vec{x}|.$

Por Nota 2, esto también se mantiene si$$\vec{x}=\overrightarrow{0}$$.

Así, tomando$$c=2 \varepsilon / \delta,$$ obtenemos

$\left(\forall \vec{x} \in E^{\prime}\right) \quad f(\vec{x}) \leq c|\vec{x}| \quad \text {(linear boundedness).}$

Ahora supongamos (3). Entonces

$\left(\forall \vec{x}, \vec{y} \in E^{\prime}\right) \quad|f(\vec{x}-\vec{y})| \leq c|\vec{x}-\vec{y}|;$

$\left(\forall \vec{x}, \vec{y} \in E^{\prime}\right) \quad|f(\vec{x})-f(\vec{y})| \leq c|\vec{x}-\vec{y}|.$

De ahí$$f$$ que sea uniformemente continuo (dada$$\varepsilon>0,$$ toma$$\delta=\varepsilon / c).$$ Esto, a su vez, implica continuidad en$$\overrightarrow{0};$$ lo que todas las condiciones son equivalentes, como se reivindica. $$\quad \square$$

Un mapa lineal no necesita ser continuo. Pero, para$$E^{n}$$ y$$C^{n},$$ tenemos el siguiente resultado.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

(i) Cualquier mapa lineal sobre$$E^{n}$$ o$$C^{n}$$ es uniformemente continuo.

(ii) Todo lineal funcional$$E^{n}\left(C^{n}\right)$$ tiene la forma

$f(\vec{x})=\vec{x} \cdot \vec{v} \quad \text {(dot product)}$

para algún vector único$$\vec{v} \in E^{n}\left(C^{n}\right),$$ dependiente de$$f$$ solamente.

Prueba

Supongamos que$$f : E^{n} \rightarrow E$$ es lineal; así$$f$$ conserva combinaciones lineales.

Pero cada una$$\vec{x} \in E^{n}$$ es tal combinación,

$\vec{x}=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \vec{e}_{k} \quad \text {(Theorem 2 in Chapter 3, §§1-3).}$

Así pues, mediante la Nota 1,

$f(\vec{x})=f\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k} \vec{e}_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n} x_{k} f\left(\vec{e}_{k}\right).$

Aquí los valores de la función$$f\left(\vec{e}_{k}\right)$$ son vectores fijos en el espacio de rango$$E,$$ digamos,

$f\left(\vec{e}_{k}\right)=v_{k} \in E,$

para que

$f(\vec{x})=\sum_{k=1}^{n} x_{k} f\left(\vec{e}_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n} x_{k} v_{k}, \quad v_{k} \in E.$

Así$$f$$ es un polinomio en variables$$n$$ reales de$$x_{k},$$ ahí continuo (incluso uniformemente así, por el Teorema 1).

En particular, si$$E=E^{1}$$ (es decir,$$f$$ es un funcional lineal) entonces todos$$v_{k}$$ en (5) son números reales; así forman un vector

$\vec{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{k}\right) \text { in } E^{n},$

y (5) se puede escribir como

$f(\vec{x})=\vec{x} \cdot \vec{v}.$

El vector$$\vec{v}$$ es único. Por supuesto que hay dos vectores,$$\vec{u}$$ y$$\vec{v},$$ tal que

$\left(\forall \vec{x} \in E^{n}\right) \quad f(\vec{x})=\vec{x} \cdot \vec{v}=\vec{x} \cdot \vec{u}.$

Entonces

$\left(\forall \vec{x} \in E^{n}\right) \quad \vec{x} \cdot(\vec{v}-\vec{u})=0.$

Por Problema 10 del Capítulo 3, §§1-3, esto rinde$$\vec{v}-\vec{u}=\overrightarrow{0},$$ o$$\vec{v}=\vec{u}.$$ Esto completa la prueba para$$E=E^{n}.$$

Es análogo porque$$C^{n};$$ solo en (ii) los$$v_{k}$$ son complejos y uno tiene que reemplazarlos por sus conjugados$$\overline{v}_{k}$$ al formar el vector$$\vec{v}$$ para obtener$$f(\vec{x})=\vec{x} \cdot \vec{v}$$. Así todo está probado. $$\quad \square$$

Nota 3. La fórmula (5) muestra que un mapa lineal$$f : E^{n}\left(C^{n}\right) \rightarrow E$$ está determinado únicamente por los valores de la$$n$$ función$$v_{k}=f\left(\vec{e}_{k}\right)$$.

Si además$$E=E^{m}\left(C^{m}\right),$$ los vectores$$v_{k}$$ son$$m$$ -tuplas de escalares,

$v_{k}=\left(v_{1 k}, \ldots, v_{m k}\right).$

A menudo escribimos dichos vectores verticalmente, como las$$n$$ “columnas” en una matriz de$$m$$ “filas” y$$n$$ “columnas”:

$\left(\begin{array}{cccc}{v_{11}} & {v_{12}} & {\dots} & {v_{1 n}} \\ {v_{21}} & {v_{22}} & {\dots} & {v_{2 n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {v_{m 1}} & {v_{m 2}} & {\dots} & {v_{m n}} \end{array}\right).$

Formalmente, (6) es una doble secuencia de$$m n$$ términos, llamada$$m \times n$$ matriz. Lo denotamos por$$[f]=\left(v_{i k}\right),$$ donde para$$k=1,2, \ldots, n$$,

$f\left(\vec{e}_{k}\right)=v_{k}=\left(v_{1 k}, \ldots, v_{m k}\right).$

Así mapas lineales$$f : E^{n} \rightarrow E^{m}$$ (o$$f : C^{n} \rightarrow C^{m})$$ corresponden uno a uno a sus matrices$$[f].$$

La prueba fácil de los Corolarios 1 a 3 a continuación se deja al lector.

## Corolario$$\PageIndex{1}$$

Si$$f, g : E^{\prime} \rightarrow E$$ son lineales, también lo es

$h=a f+b g$

para cualquier escalar$$a, b$$.

Si más lejos$$E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right)$$ y$$E=E^{m}\left(C^{m}\right),$$ con$$[f]=\left(v_{i k}\right)$$ y$$[g]=\left(w_{i k}\right)$$, entonces

$[h]=\left(a v_{i k}+b w_{i k}\right).$

## Corolario$$\PageIndex{2}$$

Un mapa$$f : E^{n}\left(C^{n}\right) \rightarrow E$$ es lineal iff

$f(\vec{x})=\sum_{k=1}^{n} v_{k} x_{k},$

donde$$v_{k}=f\left(\vec{e}_{k}\right)$$.

Pista: Para el “si”, use Corolario 1. Para el “solo si”, use la fórmula (5) anterior.

## Corolario$$\PageIndex{3}$$

Si$$f : E^{\prime} \rightarrow E^{\prime \prime}$$ y$$g : E^{\prime \prime} \rightarrow E$$ son lineales, también lo es el compuesto$$h=g \circ f.$$

Nuestro siguiente teorema trata sobre la matriz del mapa lineal compuesto$$g \circ f$$

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Dejar$$f : E^{\prime} \rightarrow E^{\prime \prime}$$ y$$g : E^{\prime \prime} \rightarrow E$$ ser lineal, con

$E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right), E^{\prime \prime}=E^{m}\left(C^{m}\right), \text { and } E=E^{r}\left(C^{r}\right).$

Si$$[f]=\left(v_{i k}\right)$$ y$$[g]=\left(w_{j i}\right),$$ entonces

$[h]=[g \circ f]=\left(z_{j k}\right),$

donde

$z_{j k}=\sum_{i=1}^{m} w_{j i} v_{i k}, \quad j=1,2, \ldots, r, k=1,2, \ldots, n.$

Prueba

Denote los vectores unitarios básicos en$$E^{\prime}$$ por

$e_{1}^{\prime}, \ldots, e_{n}^{\prime},$

ésos en$$E^{\prime \prime}$$ por

$e_{1}^{\prime \prime}, \ldots, e_{m}^{\prime \prime},$

y los que están$$E$$ por

$e_{1}, \ldots, e_{r}.$

Entonces para$$k=1,2, \ldots, n$$,

$f\left(e_{k}^{\prime}\right)=v_{k}=\sum_{i=1}^{m} v_{i k} e_{i}^{\prime \prime} \text { and } h\left(e_{k}^{\prime}\right)=\sum_{j=1}^{r} z_{j k} e_{j},$

y para$$i=1, \dots m$$,

$g\left(e_{i}^{\prime \prime}\right)=\sum_{j=1}^{r} w_{j i} e_{j}.$

También,

$h\left(e_{k}^{\prime}\right)=g\left(f\left(e_{k}^{\prime}\right)\right)=g\left(\sum_{i=1}^{m} v_{i k} e_{i}^{\prime \prime}\right)=\sum_{i=1}^{m} v_{i k} g\left(e_{i}^{\prime \prime}\right)=\sum_{i=1}^{m} v_{i k}\left(\sum_{j=1}^{r} w_{j i} e_{j}\right).$

Así

$h\left(e_{k}^{\prime}\right)=\sum_{j=1}^{r} z_{j k} e_{j}=\sum_{j=1}^{r}\left(\sum_{i=1}^{m} w_{j i} v_{i k}\right) e_{j}.$

Pero la representación en términos de la$$e_{j}$$ es única (Teorema 2 en el Capítulo 3, §§1-3), entonces, igualando coeficientes, obtenemos (7). $$\quad \square$$

Nota 4. Observe que$$z_{j k}$$ se obtiene, por así decirlo, al “multiplicar por puntos” la fila$$j$$ th de$$[g]$$ (una$$r \times m$$ matriz) por la$$k$$ ésima columna de$$[f]$$ (una$$m \times n$$ matriz).

Es natural establecer

$[g][f]=[g \circ f],$

o

$\left(w_{j i}\right)\left(v_{i k}\right)=\left(z_{j k}\right),$

con$$z_{j k}$$ como en (7).

Precaución. La multiplicación matricial, así definida, no es conmutativa.

## Definición 2

El conjunto de todos los mapas lineales continuos$$f : E^{\prime} \rightarrow E$$ (para fijos$$E^{\prime}$$ y$$E$$) se denota$$L(E^{\prime}, E).$$

Si$$E=E^{\prime},$$ escribimos$$L(E)$$ en su lugar.

Para cada uno$$f$$ en$$L\left(E^{\prime}, E\right),$$ definimos su norma por

$\|f\|=\sup _{|\vec{x}| \leq 1}|f(\vec{x})|.$

Tenga en cuenta que$$\|f\|<+\infty,$$ por Teorema 1.

## Teorema$$\PageIndex{4}$$

$$L(E^{\prime}, E)$$es un espacio lineal normado bajo la norma definida anteriormente y bajo las operaciones habituales sobre las funciones, como en el Corolario 1.

Prueba

El corolario 1 implica fácilmente que$$L(E^{\prime}, E)$$ es un espacio vectorial. Ahora demostramos que$$\|\cdot\|$$ es una norma genuina.

La ley del triángulo,

$\|f+g\| \leq\|f\|+\|g\|,$

sigue exactamente como en el Ejemplo (C) del Capítulo 3, §10. (¡Verifica!)

También, por Problema 5 en el Capítulo 2, §§8-9,$$\sup |a f(\vec{x})|=|a| \sup |f(\vec{x})|.$$ De ahí que$$\|a f\|=|a|\|f\|$$ para cualquier escalar$$a.$$

Como se señaló anteriormente,$$0 \leq\|f\|<+\infty$$.

Queda por mostrar que$$\|f\|=0$$ iff$$f$$ es el mapa cero. Si

$\|f\|=\sup _{|\vec{x}| \leq 1}|f(\vec{x})|=0,$

entonces$$|f(\vec{x})|=0$$ cuando$$|\vec{x}| \leq 1.$$ Por lo tanto, si$$\vec{x} \neq \overrightarrow{0}$$,

$f(\frac{\vec{x}}{|\vec{x}|})=\frac{1}{|\vec{x}|} f(\vec{x})=0.$

Como$$f(\overrightarrow{0})=0,$$ tenemos$$f(\vec{x})=0$$ para todos$$\vec{x} \in E^{\prime}$$.

Así$$\|f\|=0$$ implica$$f=0,$$ y lo contrario es claro. Así todo está probado. $$\quad \square$$

Nota 5. Una prueba similar, vía$$f\left(\frac{\vec{x}}{|\vec{x}|}\right)$$ y propiedades de lub, muestra que

$\|f\|=\sup _{\vec{x} \neq 0}\left|\frac{f(\vec{x})}{|\vec{x}|}\right|$

y

$(\forall \vec{x} \in E^{\prime}) \quad|f(\vec{x})| \leq\|f\||\vec{x}|.$

También se deduce que$$\|f\|$$ es el menos real de$$c$$ tal manera que

$(\forall \vec{x} \in E^{\prime}) \quad|f(\vec{x})| \leq c|\vec{x}|.$

Verificar. (Ver Problema 3'.)

Como en cualquier espacio normado, definimos distancias en$$L(E^{\prime}, E)$$ por

$\rho(f, g)=\|f-g\|,$

convirtiéndolo en un espacio métrico; así podemos hablar de convergencia, límites, etc. en él.

## Corolario$$\PageIndex{4}$$

Si$$f \in L(E^{\prime}, E^{\prime \prime})$$ y$$g \in L(E^{\prime \prime}, E),$$ entonces

$\|g \circ f\| \leq\|g\|\|f\|.$

Prueba

Por Nota,

$\left(\forall \vec{x} \in E^{\prime}\right) \quad|g(f(\vec{x}))| \leq\|g\||f(\vec{x})| \leq\|g\|\|f\||\vec{x}|.$

De ahí

$(\forall \vec{x} \neq \overrightarrow{0}) \quad\left|\frac{(g \circ f)(\vec{x})}{|\vec{x}|}\right| \leq\|g\|\|f\|,$

y así

$\|g\|\|f\| \geq \sup _{\vec{x} \neq \overline{0}} \frac{|(g \circ f)(\vec{x})|}{|\vec{x}|}=\|g \circ f\|. \quad \square$

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