6.2: Mapas Lineales y Funcionales. Matrices

Para una adecuada definición de diferenciabilidad, necesitamos la noción de mapa lineal. Abajo,\(E^{\prime}, E^{\prime \prime},\) y\(E\) denotar espacios normados sobre el mismo campo escalar,\(E^{1}\) o\(C.\)

Definición 1

Una función\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) es un mapa lineal si y solo si para todos\(\vec{x}, \vec{y} \in E^{\prime}\) y escalares\(a, b\)

\[f(a \vec{x}+b \vec{y})=a f(\vec{x})+b f(\vec{y});\]

equivalentemente, iff para todos esos\(\vec{x}, \vec{y},\) y\(a\)

\[f(\vec{x}+\vec{y})=f(x)+f(y) \text { and } f(a \vec{x})=a f(\vec{x}). \text {(Verify!)}\]

Si\(E=E^{\prime},\) dicho mapa también se llama operador lineal.

Si el espacio de rango\(E\) es el campo escalar de\(E^{\prime},\) (es decir,\(E^{1}\) o\(C,)\) el lineal también\(f\) se llama un funcional lineal (real o complejo) en\(E^{\prime}.\)

Nota 1. La inducción extiende la fórmula (1) a cualquier “combinación lineal”:

\[f\left(\sum_{i=1}^{m} a_{i} \vec{x}_{i}\right)=\sum_{i=1}^{m} a_{i} f\left(\vec{x}_{i}\right)\]

para todos\(\vec{x}_{i} \in E^{\prime}\) y escalares\(a_{i}\).

Brevemente: Un mapa lineal\(f\) conserva combinaciones lineales.

Nota 2. Tomando\(a=b=0\) en (1), obtenemos\(f(\overrightarrow{0})=0\) si\(f\) es lineal.

Ejemplos

(a) Dejar\(E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right).\) Fijar un vector\(\vec{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)\) en\(E^{\prime}\) y establecer

\[\left(\forall \vec{x} \in E^{\prime}\right) \quad f(\vec{x})=\vec{x} \cdot \vec{v}\]

(producto interno; ver Capítulo 3, §§1-3 y §9).

Entonces

\[\begin{aligned} f(a \vec{x}+b \vec{y}) &=(a \vec{x}) \cdot \vec{v}+(b \vec{y}) \cdot \vec{v} \\ &=a(\vec{x} \cdot \vec{v})+b(\vec{y} \cdot \vec{v}) \\ &=a f(\vec{x})+b f(\vec{y}); \end{aligned}\]

así\(f\) es lineal. Obsérvese que si\(E^{\prime}=E^{n},\) entonces por definición,

\[f(\vec{x})=\vec{x} \cdot \vec{v}=\sum_{k=1}^{n} x_{k} v_{k}=\sum_{k=1}^{n} v_{k} x_{k}.\]

Si, sin embargo,\(E^{\prime}=C^{n},\) entonces

\[f(\vec{x})=\vec{x} \cdot \vec{v}=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \overline{v}_{k}=\sum_{k=1}^{n} \overline{v}_{k} x_{k},\]

donde\(\overline{v}_{k}\) está el conjugado del número complejo\(v_{k}\).

Por Teorema 3 en el Capítulo 4, §3,\(f\) es continuo (¡un polinomio!).

Por otra parte,\(f(\vec{x})=\vec{x} \cdot \vec{v}\) es un escalar (en\(E^{1}\) o\(C).\) Así el rango de\(f\) mentiras en el campo escalar de\(E^{\prime};\) así\(f\) es un funcional lineal en\(E^{\prime}.\)

(b)\(I=[0,1].\) Dejemos\(E^{\prime}\) ser el conjunto de todas las funciones\(u : I \rightarrow E\) que sean de clase\(CD^{\infty}\) (Capítulo 5, §6) en adelante\(I\), de ahí acotado ahí (Teorema 2 del Capítulo 4, §8).

Como en el Ejemplo (C) en el Capítulo 3, §10,\(E^{\prime}\) es un espacio lineal normado, con norma

\[\|u\|=\sup _{x \in I}|u(x)|.\]

Aquí cada función\(u \in E^{\prime}\) se trata como un solo “punto” en\(E^{\prime}.\) La
distancia entre dos de tales puntos,\(u\) y\(v,\) es igual\(\|u-v\|,\) por definición.

Ahora define un mapa\(D\) en\(E^{\prime}\) configurando\(D(u)=u^{\prime}\) (derivado de\(u\) on\(I\)). Como cada\(u \in E^{\prime}\) es de clase\(CD^{\infty},\) así es\(u^{\prime}.\)

Así\(D(u)=u^{\prime} \in E^{\prime},\) y así\(D : E^{\prime} \rightarrow E^{\prime}\) es un operador lineal. (Su linealidad se desprende del Teorema 4 en el Capítulo 5, §1.)

(c) Dejar de nuevo\(I=[0,1].\) Let\(E^{\prime}\) ser el conjunto de todas las funciones\(u : I \rightarrow E\) que están acotadas y tienen antiderivadas (Capítulo 5, §5) on\(I.\) Con norma\(\|u\|\) como en el Ejemplo (b),\(E^{\prime}\) es un espacio lineal normado.

Ahora define\(\phi : E^{\prime} \rightarrow E\) por

\[\phi(u)=\int_{0}^{1} u,\]

con\(\int u\) como en el Capítulo 5, §5. (Recordemos que\(\int_{0}^{1} u\) es un elemento de\(E\) si\(u : I \rightarrow E.\)) Por Corolario 1 en el Capítulo 5, §5,\(\phi\) es un mapa lineal de\(E^{\prime}\) en\(E\). (¿Por qué?)

d) El\(f=0\) mapa cero\(E^{\prime}\) es siempre lineal. (¿Por qué?)

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Un mapa lineal\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) es continuo (incluso uniformemente así) en todo\(E^{\prime}\) iff es continuo en\(\overrightarrow{0};\) equivalentemente, si hay un real\(c>0\) tal que

\[\left(\forall \vec{x} \in E^{\prime}\right) \quad|f(\vec{x})| \leq c|\vec{x}|.\]

(Llamamos a esta propiedad delimitación lineal.)

Prueba

Supongamos que\(f\) es continuo en\(\overrightarrow{0}.\) Entonces, dado que\(\varepsilon>0,\) hay\(\delta>0\) tal que

\[|f(\vec{x})-f(\overrightarrow{0})|=|f(\vec{x})| \leq \varepsilon\]

cuando sea\(|\vec{x}-\overrightarrow{0}|=|\vec{x}|<\delta\).

Ahora, para cualquiera seguramente\(\vec{x} \neq \overrightarrow{0},\) tenemos

\[\left|\frac{\delta \vec{x}}{|\vec{x}|}\right|=\frac{\delta}{2}<\delta.\]

De ahí

\[(\forall \vec{x} \neq \overrightarrow{0}) \quad\left|f\left(\frac{\delta \vec{x}}{2|\vec{x}|}\right)\right| \leq \varepsilon,\]

o, por linealidad,

\[\frac{\delta}{2|\vec{x}|}|f(\vec{x})| \leq \varepsilon,\]

es decir,

\[|f(\vec{x})| \leq \frac{2 \varepsilon}{\delta}|\vec{x}|.\]

Por Nota 2, esto también se mantiene si\(\vec{x}=\overrightarrow{0}\).

Así, tomando\(c=2 \varepsilon / \delta,\) obtenemos

\[\left(\forall \vec{x} \in E^{\prime}\right) \quad f(\vec{x}) \leq c|\vec{x}| \quad \text {(linear boundedness).}\]

Ahora supongamos (3). Entonces

\[\left(\forall \vec{x}, \vec{y} \in E^{\prime}\right) \quad|f(\vec{x}-\vec{y})| \leq c|\vec{x}-\vec{y}|;\]

o, por linealidad,

\[\left(\forall \vec{x}, \vec{y} \in E^{\prime}\right) \quad|f(\vec{x})-f(\vec{y})| \leq c|\vec{x}-\vec{y}|.\]

De ahí\(f\) que sea uniformemente continuo (dada\(\varepsilon>0,\) toma\(\delta=\varepsilon / c).\) Esto, a su vez, implica continuidad en\(\overrightarrow{0};\) lo que todas las condiciones son equivalentes, como se reivindica. \(\quad \square\)

Un mapa lineal no necesita ser continuo. Pero, para\(E^{n}\) y\(C^{n},\) tenemos el siguiente resultado.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

(i) Cualquier mapa lineal sobre\(E^{n}\) o\(C^{n}\) es uniformemente continuo.

(ii) Todo lineal funcional\(E^{n}\left(C^{n}\right)\) tiene la forma

\[f(\vec{x})=\vec{x} \cdot \vec{v} \quad \text {(dot product)}\]

para algún vector único\(\vec{v} \in E^{n}\left(C^{n}\right),\) dependiente de\(f\) solamente.

Prueba

Supongamos que\(f : E^{n} \rightarrow E\) es lineal; así\(f\) conserva combinaciones lineales.

Pero cada una\(\vec{x} \in E^{n}\) es tal combinación,

\[\vec{x}=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \vec{e}_{k} \quad \text {(Theorem 2 in Chapter 3, §§1-3).}\]

Así pues, mediante la Nota 1,

\[f(\vec{x})=f\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k} \vec{e}_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n} x_{k} f\left(\vec{e}_{k}\right).\]

Aquí los valores de la función\(f\left(\vec{e}_{k}\right)\) son vectores fijos en el espacio de rango\(E,\) digamos,

\[f\left(\vec{e}_{k}\right)=v_{k} \in E,\]

para que

\[f(\vec{x})=\sum_{k=1}^{n} x_{k} f\left(\vec{e}_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n} x_{k} v_{k}, \quad v_{k} \in E.\]

Así\(f\) es un polinomio en variables\(n\) reales de\(x_{k},\) ahí continuo (incluso uniformemente así, por el Teorema 1).

En particular, si\(E=E^{1}\) (es decir,\(f\) es un funcional lineal) entonces todos\(v_{k}\) en (5) son números reales; así forman un vector

\[\vec{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{k}\right) \text { in } E^{n},\]

y (5) se puede escribir como

\[f(\vec{x})=\vec{x} \cdot \vec{v}.\]

El vector\(\vec{v}\) es único. Por supuesto que hay dos vectores,\(\vec{u}\) y\(\vec{v},\) tal que

\[\left(\forall \vec{x} \in E^{n}\right) \quad f(\vec{x})=\vec{x} \cdot \vec{v}=\vec{x} \cdot \vec{u}.\]

Entonces

\[\left(\forall \vec{x} \in E^{n}\right) \quad \vec{x} \cdot(\vec{v}-\vec{u})=0.\]

Por Problema 10 del Capítulo 3, §§1-3, esto rinde\(\vec{v}-\vec{u}=\overrightarrow{0},\) o\(\vec{v}=\vec{u}.\) Esto completa la prueba para\(E=E^{n}.\)

Es análogo porque\(C^{n};\) solo en (ii) los\(v_{k}\) son complejos y uno tiene que reemplazarlos por sus conjugados\(\overline{v}_{k}\) al formar el vector\(\vec{v}\) para obtener\(f(\vec{x})=\vec{x} \cdot \vec{v}\). Así todo está probado. \(\quad \square\)

Nota 3. La fórmula (5) muestra que un mapa lineal\(f : E^{n}\left(C^{n}\right) \rightarrow E\) está determinado únicamente por los valores de la\(n\) función\(v_{k}=f\left(\vec{e}_{k}\right)\).

Si además\(E=E^{m}\left(C^{m}\right),\) los vectores\(v_{k}\) son\(m\) -tuplas de escalares,

\[v_{k}=\left(v_{1 k}, \ldots, v_{m k}\right).\]

A menudo escribimos dichos vectores verticalmente, como las\(n\) “columnas” en una matriz de\(m\) “filas” y\(n\) “columnas”:

\[\left(\begin{array}{cccc}{v_{11}} & {v_{12}} & {\dots} & {v_{1 n}} \\ {v_{21}} & {v_{22}} & {\dots} & {v_{2 n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {v_{m 1}} & {v_{m 2}} & {\dots} & {v_{m n}} \end{array}\right).\]

Formalmente, (6) es una doble secuencia de\(m n\) términos, llamada\(m \times n\) matriz. Lo denotamos por\([f]=\left(v_{i k}\right),\) donde para\(k=1,2, \ldots, n\),

\[f\left(\vec{e}_{k}\right)=v_{k}=\left(v_{1 k}, \ldots, v_{m k}\right).\]

Así mapas lineales\(f : E^{n} \rightarrow E^{m}\) (o\(f : C^{n} \rightarrow C^{m})\) corresponden uno a uno a sus matrices\([f].\)

La prueba fácil de los Corolarios 1 a 3 a continuación se deja al lector.

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Si\(f, g : E^{\prime} \rightarrow E\) son lineales, también lo es

\[h=a f+b g\]

para cualquier escalar\(a, b\).

Si más lejos\(E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right)\) y\(E=E^{m}\left(C^{m}\right),\) con\([f]=\left(v_{i k}\right)\) y\([g]=\left(w_{i k}\right)\), entonces

\[[h]=\left(a v_{i k}+b w_{i k}\right).\]

Corolario\(\PageIndex{2}\)

Un mapa\(f : E^{n}\left(C^{n}\right) \rightarrow E\) es lineal iff

\[f(\vec{x})=\sum_{k=1}^{n} v_{k} x_{k},\]

donde\(v_{k}=f\left(\vec{e}_{k}\right)\).

Pista: Para el “si”, use Corolario 1. Para el “solo si”, use la fórmula (5) anterior.

Corolario\(\PageIndex{3}\)

Si\(f : E^{\prime} \rightarrow E^{\prime \prime}\) y\(g : E^{\prime \prime} \rightarrow E\) son lineales, también lo es el compuesto\(h=g \circ f.\)

Nuestro siguiente teorema trata sobre la matriz del mapa lineal compuesto\(g \circ f\)

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(f : E^{\prime} \rightarrow E^{\prime \prime}\) y\(g : E^{\prime \prime} \rightarrow E\) ser lineal, con

\[E^{\prime}=E^{n}\left(C^{n}\right), E^{\prime \prime}=E^{m}\left(C^{m}\right), \text { and } E=E^{r}\left(C^{r}\right).\]

Si\([f]=\left(v_{i k}\right)\) y\([g]=\left(w_{j i}\right),\) entonces

\[[h]=[g \circ f]=\left(z_{j k}\right),\]

donde

\[z_{j k}=\sum_{i=1}^{m} w_{j i} v_{i k}, \quad j=1,2, \ldots, r, k=1,2, \ldots, n.\]

Prueba

Denote los vectores unitarios básicos en\(E^{\prime}\) por

\[e_{1}^{\prime}, \ldots, e_{n}^{\prime},\]

ésos en\(E^{\prime \prime}\) por

\[e_{1}^{\prime \prime}, \ldots, e_{m}^{\prime \prime},\]

y los que están\(E\) por

\[e_{1}, \ldots, e_{r}.\]

Entonces para\(k=1,2, \ldots, n\),

\[f\left(e_{k}^{\prime}\right)=v_{k}=\sum_{i=1}^{m} v_{i k} e_{i}^{\prime \prime} \text { and } h\left(e_{k}^{\prime}\right)=\sum_{j=1}^{r} z_{j k} e_{j},\]

y para\(i=1, \dots m\),

\[g\left(e_{i}^{\prime \prime}\right)=\sum_{j=1}^{r} w_{j i} e_{j}.\]

También,

\[h\left(e_{k}^{\prime}\right)=g\left(f\left(e_{k}^{\prime}\right)\right)=g\left(\sum_{i=1}^{m} v_{i k} e_{i}^{\prime \prime}\right)=\sum_{i=1}^{m} v_{i k} g\left(e_{i}^{\prime \prime}\right)=\sum_{i=1}^{m} v_{i k}\left(\sum_{j=1}^{r} w_{j i} e_{j}\right).\]

Así

\[h\left(e_{k}^{\prime}\right)=\sum_{j=1}^{r} z_{j k} e_{j}=\sum_{j=1}^{r}\left(\sum_{i=1}^{m} w_{j i} v_{i k}\right) e_{j}.\]

Pero la representación en términos de la\(e_{j}\) es única (Teorema 2 en el Capítulo 3, §§1-3), entonces, igualando coeficientes, obtenemos (7). \(\quad \square\)

Nota 4. Observe que\(z_{j k}\) se obtiene, por así decirlo, al “multiplicar por puntos” la fila\(j\) th de\([g]\) (una\(r \times m\) matriz) por la\(k\) ésima columna de\([f]\) (una\(m \times n\) matriz).

Es natural establecer

\[[g][f]=[g \circ f],\]

o

\[\left(w_{j i}\right)\left(v_{i k}\right)=\left(z_{j k}\right),\]

con\(z_{j k}\) como en (7).

Precaución. La multiplicación matricial, así definida, no es conmutativa.

Definición 2

El conjunto de todos los mapas lineales continuos\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) (para fijos\(E^{\prime} \) y\(E\)) se denota\(L(E^{\prime}, E).\)

Si\(E=E^{\prime},\) escribimos\(L(E)\) en su lugar.

Para cada uno\(f\) en\(L\left(E^{\prime}, E\right),\) definimos su norma por

\[\|f\|=\sup _{|\vec{x}| \leq 1}|f(\vec{x})|.\]

Tenga en cuenta que\(\|f\|<+\infty,\) por Teorema 1.

Teorema\(\PageIndex{4}\)

\(L(E^{\prime}, E)\)es un espacio lineal normado bajo la norma definida anteriormente y bajo las operaciones habituales sobre las funciones, como en el Corolario 1.

Prueba

El corolario 1 implica fácilmente que\(L(E^{\prime}, E)\) es un espacio vectorial. Ahora demostramos que\(\|\cdot\|\) es una norma genuina.

La ley del triángulo,

\[\|f+g\| \leq\|f\|+\|g\|,\]

sigue exactamente como en el Ejemplo (C) del Capítulo 3, §10. (¡Verifica!)

También, por Problema 5 en el Capítulo 2, §§8-9,\(\sup |a f(\vec{x})|=|a| \sup |f(\vec{x})|.\) De ahí que\(\|a f\|=|a|\|f\|\) para cualquier escalar\(a.\)

Como se señaló anteriormente,\(0 \leq\|f\|<+\infty\).

Queda por mostrar que\(\|f\|=0\) iff\(f\) es el mapa cero. Si

\[\|f\|=\sup _{|\vec{x}| \leq 1}|f(\vec{x})|=0,\]

entonces\(|f(\vec{x})|=0\) cuando\(|\vec{x}| \leq 1.\) Por lo tanto, si\(\vec{x} \neq \overrightarrow{0}\),

\[f(\frac{\vec{x}}{|\vec{x}|})=\frac{1}{|\vec{x}|} f(\vec{x})=0.\]

Como\(f(\overrightarrow{0})=0,\) tenemos\(f(\vec{x})=0\) para todos\(\vec{x} \in E^{\prime}\).

Así\(\|f\|=0\) implica\(f=0,\) y lo contrario es claro. Así todo está probado. \(\quad \square\)

Nota 5. Una prueba similar, vía\(f\left(\frac{\vec{x}}{|\vec{x}|}\right)\) y propiedades de lub, muestra que

\[\|f\|=\sup _{\vec{x} \neq 0}\left|\frac{f(\vec{x})}{|\vec{x}|}\right|\]

y

\[(\forall \vec{x} \in E^{\prime}) \quad|f(\vec{x})| \leq\|f\||\vec{x}|.\]

También se deduce que\(\|f\|\) es el menos real de\(c\) tal manera que

\[(\forall \vec{x} \in E^{\prime}) \quad|f(\vec{x})| \leq c|\vec{x}|.\]

Verificar. (Ver Problema 3'.)

Como en cualquier espacio normado, definimos distancias en\(L(E^{\prime}, E)\) por

\[\rho(f, g)=\|f-g\|,\]

convirtiéndolo en un espacio métrico; así podemos hablar de convergencia, límites, etc. en él.

Corolario\(\PageIndex{4}\)

Si\(f \in L(E^{\prime}, E^{\prime \prime})\) y\(g \in L(E^{\prime \prime}, E),\) entonces

\[\|g \circ f\| \leq\|g\|\|f\|.\]

Prueba

Por Nota,

\[\left(\forall \vec{x} \in E^{\prime}\right) \quad|g(f(\vec{x}))| \leq\|g\||f(\vec{x})| \leq\|g\|\|f\||\vec{x}|.\]

De ahí

\[(\forall \vec{x} \neq \overrightarrow{0}) \quad\left|\frac{(g \circ f)(\vec{x})}{|\vec{x}|}\right| \leq\|g\|\|f\|,\]

y así

\[\|g\|\|f\| \geq \sup _{\vec{x} \neq \overline{0}} \frac{|(g \circ f)(\vec{x})|}{|\vec{x}|}=\|g \circ f\|. \quad \square\]