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LibreTexts Español

6.2.E: Problemas en mapas lineales y matrices

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Ejercicio6.2.E.1

Verificar la Nota 1 y la equivalencia de las dos declaraciones en la Definición 1.

Ejercicio6.2.E.2

En los Ejemplos (b) y (c) muestran que
fnf(uniformly) on I iff fnf0,
es decir,fnf enE.
[Pista: Use el Teorema 1 en el Capítulo 4, §2.]
De ahí deducir lo siguiente.
(i) SiE está completo, entonces el mapaϕ del Ejemplo (c) es continuo.
[Pista: Utilice el Teorema 2 del Capítulo 5, §9, y el Teorema 1 en el Capítulo 4, §12.]
(ii) El mapaD del Ejemplo (b}) no es continuo.
[Pista: Use el Problema 3 en el Capítulo 5, §9.]

Ejercicio6.2.E.3

Demostrar Corolarios 1 a 3.

Ejercicio6.2.E.3

Demostrar que
f=sup|x|1|f(x)|=sup|x|=1|f(x)|=supx0|f(x)||x|.
[Pista: De linealidad def deducir que|f(x)||f(cx)| si|c|<1. De ahí se puede despreciar vectores de longitud<1 al computar sup|f(x)|. ¿Por qué?]

Ejercicio6.2.E.4

Encuentre las matrices[f],[g],[h],[k], y las fórmulas definitorias para los mapas linealesf:E2E1,g:E3E4,h:E4E2,k:E1E3 si
(i)f(e1)=3,f(e2)=2;
(ii)g(e1)=(1,0,2,4),g(e2)=(0,2,1,1),g(e3)=(0,1,0,1);
(iii)h(e1)=(2,2),h(e2)=(0,2),h(e3)=(1,0),h(e4)=(1,1);
(iv)k(1)=(0,1,1).

Ejercicio6.2.E.5

En el Problema 4, use la Nota 4 para encontrar las matrices de productos[k][f],[g][k],[f][h], y[h][g]. De ahí obtener las fórmulas definitorias parakf,gk,fh, yhg.

Ejercicio6.2.E.6

Param×n matrices (conm yn fijas) definir suma y multiplicación por escalares de la siguiente manera:
a[f]+b[g]=[af+bg] if f,gL(En,Em)( or L(Cn,Cm)).
Mostrar que estas matrices forman un espacio vectorial sobreE1 (oC).

Ejercicio6.2.E.7

Con la adición de matriz como en el Problema 6, y la multiplicación como en la Nota 4, muestran que todas lasn×n matrices forman un anillo no conmutativo con unidad, es decir, satisfacen los axiomas de campo (Capítulo 2, §§1-4) excepto la conmutatividad de multiplicación y existencia de inversos multiplicativos (¡den contra-amplest!).
¿Cuál es la matriz de “unidad”?

Ejercicio6.2.E.8

Dejarf:EE ser lineal. Demostrar las siguientes declaraciones.
(i) La derivadaDuf(p) existe y es igualf(u) para cadap,uE(u0);
(ii)f es relativamente continua en cualquier línea enE (use el Teorema 1 en §1);
(iii)f lleva tal línea en una línea enE.

Ejercicio6.2.E.9

Dejarg:EE ser lineal. Demostrar que si algunosf:EE tienen un derivadou -dirigido apE, así lo ha hechoh=gf, yDuh(p)=g(Duf(p)).
[Pista: Utilice el problema 8.]

Ejercicio6.2.E.10

Se dice que un conjuntoA en un espacio vectorialV(AV) es lineal (o un subespacio lineal deV) iffax+byA para cualquierax,yA y cualquiera de los escalaresa,b. Demuestra lo siguiente.
(i) Cualquiera de talesA es en sí mismo un espacio vectorial.
(ii) Sif:EE es un mapa lineal yA es lineal enE (respectivamente, enE), así esf[A] enE (respectivamente, así esf1[A] enE).

Ejercicio6.2.E.11

Un conjuntoA en un espacio vectorialV se llama el lapso de un conjuntoBA(A=sp(B)) iffA consiste en todas las combinaciones lineales de vectores deB. Entonces también decimos queB abarcaA.
Demostrar lo siguiente:
(i)A=sp(B) es el subespacio lineal más pequeño delV que contieneB.
(ii) Sif:VE es lineal yA=sp(B), luegof[A]=sp(f[B]) adentroE.

Ejercicio6.2.E.12

Un conjuntoB={x1,x2,,xn} en un espacio vectorialV se llama base iff cada unovV tiene una representación única como
v=ni=1aixi
para algunos escalaresai. Si es así, el númeron de los vectores enB se llama la dimensión deV, yV se dice sern - dimensional. Ejemplos de tales espacios sonEn yCn (¡laek forma una base!).
(i) Demostrar queB es una base si se extiendeV (ver Problema 11) y sus elementosxi son linealmente independientes, es decir,
ni=1aixi=0 iff all ai vanish.
(ii) SiE es finito-dimensional, todos los mapas lineales sobreE son uniformemente continuos. (Ver también Problemas 3 y 4 del §6.)

Ejercicio6.2.E.13

Demostrar que sif:E1E es continuo y(x,yE1)
f(x+y)=f(x)+f(y),
luegof es lineal; así, por Corolario 2,f(x)=vx dondev=f(1).
[Pista: Mostrar quef(ax)=af(x); primero paraa=1,2, (nota:nx=x+x++x,n términos); luego para racionala=m/n; luego paraa=0 ya=1. CualquieraaE1 es un límite de racionales; así usa continuidad y Teorema 1 en el Capítulo 4, §2.]


6.2.E: Problemas en mapas lineales y matrices is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.

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