6.2.E: Problemas en mapas lineales y matrices

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Verificar la Nota 1 y la equivalencia de las dos declaraciones en la Definición 1.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

En los Ejemplos (b) y (c) muestran que
$$f_{n} \rightarrow f(\text {uniformly}) \text { on } I \text { iff }\left\|f_{n}-f\right\| \rightarrow 0,$$
es decir,$f_{n} \rightarrow f$ en$E^{\prime}.$
[Pista: Use el Teorema 1 en el Capítulo 4, §2.]
De ahí deducir lo siguiente.
(i) Si$E$ está completo, entonces el mapa$\phi$ del Ejemplo (c) es continuo.
[Pista: Utilice el Teorema 2 del Capítulo 5, §9, y el Teorema 1 en el Capítulo 4, §12.]
(ii) El mapa$D$ del Ejemplo (b}) no es continuo.
[Pista: Use el Problema 3 en el Capítulo 5, §9.]

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Demostrar Corolarios 1 a 3.

Ejercicio$\PageIndex{3'}$

Demostrar que
$$\|f\|=\sup _{|\vec{x}| \leq 1}|f(\vec{x})|=\sup _{|\vec{x}|=1}|f(\vec{x})|=\sup _{\vec{x} \neq \overrightarrow{0}} \frac{|f(\vec{x})|}{|\vec{x}|}.$$
[Pista: De linealidad de$f$ deducir que$|f(\vec{x})| \geq|f(c x)|$ si$|c|<1.$ De ahí se puede despreciar vectores de longitud$<1$ al computar sup$|f(\vec{x})|.$ ¿Por qué?]

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Encuentre las matrices$[f],[g],[h],[k],$ y las fórmulas definitorias para los mapas lineales$f : E^{2} \rightarrow E^{1}, g : E^{3} \rightarrow E^{4}, h : E^{4} \rightarrow E^{2}, k : E^{1} \rightarrow E^{3}$ si
(i)$f\left(\vec{e}_{1}\right)=3, f\left(\vec{e}_{2}\right)=-2;$
(ii)$g\left(\vec{e}_{1}\right)=(1,0,-2,4), g\left(\vec{e}_{2}\right)=(0,2,-1,1), g\left(\vec{e}_{3}\right)=(0,1,0,-1);$
(iii)$h\left(\vec{e}_{1}\right)=(2,2), h\left(\vec{e}_{2}\right)=(0,-2), h\left(\vec{e}_{3}\right)=(1,0), h\left(\vec{e}_{4}\right)=(-1,1);$
(iv)$k(1)=(0,1,-1).$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

En el Problema 4, use la Nota 4 para encontrar las matrices de productos$[k][f],[g][k],[f][h],$ y$[h][g].$ De ahí obtener las fórmulas definitorias para$k \circ f, g \circ k, f \circ h,$ y$h \circ g.$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Para$m \times n$ matrices (con$m$ y$n$ fijas) definir suma y multiplicación por escalares de la siguiente manera:
$$a[f]+b[g]=[a f+b g] \text { if } f, g \in L\left(E^{n}, E^{m}\right)\left(\text { or } L\left(C^{n}, C^{m}\right)\right).$$
Mostrar que estas matrices forman un espacio vectorial sobre$E^{1}$ (o$C$).

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Con la adición de matriz como en el Problema 6, y la multiplicación como en la Nota 4, muestran que todas las$n \times n$ matrices forman un anillo no conmutativo con unidad, es decir, satisfacen los axiomas de campo (Capítulo 2, §§1-4) excepto la conmutatividad de multiplicación y existencia de inversos multiplicativos (¡den contra-amplest!).
¿Cuál es la matriz de “unidad”?

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Dejar$f : E^{\prime} \rightarrow E$ ser lineal. Demostrar las siguientes declaraciones.
(i) La derivada$D_{\vec{u}} f(\vec{p})$ existe y es igual$f(\vec{u})$ para cada$\vec{p}, \vec{u} \in E^{\prime} (\vec{u} \neq \overrightarrow{0});$
(ii)$f$ es relativamente continua en cualquier línea en$E^{\prime}$ (use el Teorema 1 en §1);
(iii)$f$ lleva tal línea en una línea en$E.$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Dejar$g : E^{\prime \prime} \rightarrow E$ ser lineal. Demostrar que si algunos$f : E^{\prime} \rightarrow E^{\prime \prime}$ tienen un derivado$\vec{u}$ -dirigido a$\vec{p} \in E^{\prime},$ así lo ha hecho$h=g \circ f,$ y$D_{\vec{u}} h(\vec{p})=g\left(D_{\vec{u}} f(\vec{p})\right)$.
[Pista: Utilice el problema 8.]

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Se dice que un conjunto$A$ en un espacio vectorial$V(A \subseteq V)$ es lineal (o un subespacio lineal de$V$) iff$a \vec{x}+b \vec{y} \in A$ para cualquiera$\vec{x}, \vec{y} \in A$ y cualquiera de los escalares$a, b.$ Demuestra lo siguiente.
(i) Cualquiera de tales$A$ es en sí mismo un espacio vectorial.
(ii) Si$f : E^{\prime} \rightarrow E$ es un mapa lineal y$A$ es lineal en$E^{\prime}$ (respectivamente, en$E$), así es$f[A]$ en$E$ (respectivamente, así es$f^{-1}[A]$ en$E^{\prime}$).

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Un conjunto$A$ en un espacio vectorial$V$ se llama el lapso de un conjunto$B \subseteq A(A=\operatorname{sp}(B))$ iff$A$ consiste en todas las combinaciones lineales de vectores de$B$. Entonces también decimos que$B$ abarca$A$.
Demostrar lo siguiente:
(i)$A=\operatorname{sp}(B)$ es el subespacio lineal más pequeño del$V$ que contiene$B$.
(ii) Si$f : V \rightarrow E$ es lineal y$A=\operatorname{sp}(B),$ luego$f[A]=\operatorname{sp}(f[B])$ adentro$E$.

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Un conjunto$B=\left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \ldots, \vec{x}_{n}\right\}$ en un espacio vectorial$V$ se llama base iff cada uno$\vec{v} \in V$ tiene una representación única como
$$\vec{v}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} \vec{x}_{i}$$
para algunos escalares$a_{i}.$ Si es así, el número$n$ de los vectores en$B$ se llama la dimensión de$V,$ y$V$ se dice ser$n$ - dimensional. Ejemplos de tales espacios son$E^{n}$ y$C^{n}$ (¡la$\vec{e}_{k}$ forma una base!).
(i) Demostrar que$B$ es una base si se extiende$V$ (ver Problema 11) y sus elementos$\vec{x}_{i}$ son linealmente independientes, es decir,
$$\sum_{i=1}^{n} a_{i} \vec{x}_{i}=\overrightarrow{0} \text { iff all } a_{i} \text { vanish.}$$
(ii) Si$E^{\prime}$ es finito-dimensional, todos los mapas lineales sobre$E^{\prime}$ son uniformemente continuos. (Ver también Problemas 3 y 4 del §6.)

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Demostrar que si$f : E^{1} \rightarrow E$ es continuo y$\left(\forall x, y \in E^{1}\right)$
$$f(x+y)=f(x)+f(y),$$
luego$f$ es lineal; así, por Corolario 2,$f(x)=v x$ donde$v=f(1)$.
[Pista: Mostrar que$f(a x)=a f(x);$ primero para$a=1,2, \ldots$ (nota:$n x=x+x+\cdots+x, n$ términos); luego para racional$a=m / n;$ luego para$a=0$ y$a=-1.$ Cualquiera$a \in E^{1}$ es un límite de racionales; así usa continuidad y Teorema 1 en el Capítulo 4, §2.]