6.2.E: Problemas en mapas lineales y matrices
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Verificar la Nota 1 y la equivalencia de las dos declaraciones en la Definición 1.
En los Ejemplos (b) y (c) muestran que
\[f_{n} \rightarrow f(\text {uniformly}) \text { on } I \text { iff }\left\|f_{n}-f\right\| \rightarrow 0,\]
es decir,\(f_{n} \rightarrow f\) en\(E^{\prime}.\)
[Pista: Use el Teorema 1 en el Capítulo 4, §2.]
De ahí deducir lo siguiente.
(i) Si\(E\) está completo, entonces el mapa\(\phi\) del Ejemplo (c) es continuo.
[Pista: Utilice el Teorema 2 del Capítulo 5, §9, y el Teorema 1 en el Capítulo 4, §12.]
(ii) El mapa\(D\) del Ejemplo (b}) no es continuo.
[Pista: Use el Problema 3 en el Capítulo 5, §9.]
Demostrar Corolarios 1 a 3.
Demostrar que
\[\|f\|=\sup _{|\vec{x}| \leq 1}|f(\vec{x})|=\sup _{|\vec{x}|=1}|f(\vec{x})|=\sup _{\vec{x} \neq \overrightarrow{0}} \frac{|f(\vec{x})|}{|\vec{x}|}.\]
[Pista: De linealidad de\(f\) deducir que\(|f(\vec{x})| \geq|f(c x)|\) si\(|c|<1.\) De ahí se puede despreciar vectores de longitud\(<1\) al computar sup\(|f(\vec{x})|.\) ¿Por qué?]
Encuentre las matrices\([f],[g],[h],[k],\) y las fórmulas definitorias para los mapas lineales\(f : E^{2} \rightarrow E^{1}, g : E^{3} \rightarrow E^{4}, h : E^{4} \rightarrow E^{2}, k : E^{1} \rightarrow E^{3}\) si
(i)\(f\left(\vec{e}_{1}\right)=3, f\left(\vec{e}_{2}\right)=-2;\)
(ii)\(g\left(\vec{e}_{1}\right)=(1,0,-2,4), g\left(\vec{e}_{2}\right)=(0,2,-1,1), g\left(\vec{e}_{3}\right)=(0,1,0,-1);\)
(iii)\(h\left(\vec{e}_{1}\right)=(2,2), h\left(\vec{e}_{2}\right)=(0,-2), h\left(\vec{e}_{3}\right)=(1,0), h\left(\vec{e}_{4}\right)=(-1,1);\)
(iv)\(k(1)=(0,1,-1).\)
En el Problema 4, use la Nota 4 para encontrar las matrices de productos\([k][f],[g][k],[f][h],\) y\([h][g].\) De ahí obtener las fórmulas definitorias para\(k \circ f, g \circ k, f \circ h,\) y\(h \circ g.\)
Para\(m \times n\) matrices (con\(m\) y\(n\) fijas) definir suma y multiplicación por escalares de la siguiente manera:
\[a[f]+b[g]=[a f+b g] \text { if } f, g \in L\left(E^{n}, E^{m}\right)\left(\text { or } L\left(C^{n}, C^{m}\right)\right).\]
Mostrar que estas matrices forman un espacio vectorial sobre\(E^{1}\) (o\(C\)).
Con la adición de matriz como en el Problema 6, y la multiplicación como en la Nota 4, muestran que todas las\(n \times n\) matrices forman un anillo no conmutativo con unidad, es decir, satisfacen los axiomas de campo (Capítulo 2, §§1-4) excepto la conmutatividad de multiplicación y existencia de inversos multiplicativos (¡den contra-amplest!).
¿Cuál es la matriz de “unidad”?
Dejar\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) ser lineal. Demostrar las siguientes declaraciones.
(i) La derivada\(D_{\vec{u}} f(\vec{p})\) existe y es igual\(f(\vec{u})\) para cada\(\vec{p}, \vec{u} \in E^{\prime} (\vec{u} \neq \overrightarrow{0});\)
(ii)\(f\) es relativamente continua en cualquier línea en\(E^{\prime}\) (use el Teorema 1 en §1);
(iii)\(f\) lleva tal línea en una línea en\(E.\)
Dejar\(g : E^{\prime \prime} \rightarrow E\) ser lineal. Demostrar que si algunos\(f : E^{\prime} \rightarrow E^{\prime \prime}\) tienen un derivado\(\vec{u}\) -dirigido a\(\vec{p} \in E^{\prime},\) así lo ha hecho\(h=g \circ f,\) y\(D_{\vec{u}} h(\vec{p})=g\left(D_{\vec{u}} f(\vec{p})\right)\).
[Pista: Utilice el problema 8.]
Se dice que un conjunto\(A\) en un espacio vectorial\(V(A \subseteq V)\) es lineal (o un subespacio lineal de\(V\)) iff\(a \vec{x}+b \vec{y} \in A\) para cualquiera\(\vec{x}, \vec{y} \in A\) y cualquiera de los escalares\(a, b.\) Demuestra lo siguiente.
(i) Cualquiera de tales\(A\) es en sí mismo un espacio vectorial.
(ii) Si\(f : E^{\prime} \rightarrow E\) es un mapa lineal y\(A\) es lineal en\(E^{\prime}\) (respectivamente, en\(E\)), así es\(f[A]\) en\(E\) (respectivamente, así es\(f^{-1}[A]\) en\(E^{\prime}\)).
Un conjunto\(A\) en un espacio vectorial\(V\) se llama el lapso de un conjunto\(B \subseteq A(A=\operatorname{sp}(B))\) iff\(A\) consiste en todas las combinaciones lineales de vectores de\(B\). Entonces también decimos que\(B\) abarca\(A\).
Demostrar lo siguiente:
(i)\(A=\operatorname{sp}(B)\) es el subespacio lineal más pequeño del\(V\) que contiene\(B\).
(ii) Si\(f : V \rightarrow E\) es lineal y\(A=\operatorname{sp}(B),\) luego\(f[A]=\operatorname{sp}(f[B])\) adentro\(E\).
Un conjunto\(B=\left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \ldots, \vec{x}_{n}\right\}\) en un espacio vectorial\(V\) se llama base iff cada uno\(\vec{v} \in V\) tiene una representación única como
\[\vec{v}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} \vec{x}_{i}\]
para algunos escalares\(a_{i}.\) Si es así, el número\(n\) de los vectores en\(B\) se llama la dimensión de\(V,\) y\(V\) se dice ser\(n\) - dimensional. Ejemplos de tales espacios son\(E^{n}\) y\(C^{n}\) (¡la\(\vec{e}_{k}\) forma una base!).
(i) Demostrar que\(B\) es una base si se extiende\(V\) (ver Problema 11) y sus elementos\(\vec{x}_{i}\) son linealmente independientes, es decir,
\[\sum_{i=1}^{n} a_{i} \vec{x}_{i}=\overrightarrow{0} \text { iff all } a_{i} \text { vanish.}\]
(ii) Si\(E^{\prime}\) es finito-dimensional, todos los mapas lineales sobre\(E^{\prime}\) son uniformemente continuos. (Ver también Problemas 3 y 4 del §6.)
Demostrar que si\(f : E^{1} \rightarrow E\) es continuo y\(\left(\forall x, y \in E^{1}\right)\)
\[f(x+y)=f(x)+f(y),\]
luego\(f\) es lineal; así, por Corolario 2,\(f(x)=v x\) donde\(v=f(1)\).
[Pista: Mostrar que\(f(a x)=a f(x);\) primero para\(a=1,2, \ldots\) (nota:\(n x=x+x+\cdots+x, n\) términos); luego para racional\(a=m / n;\) luego para\(a=0\) y\(a=-1.\) Cualquiera\(a \in E^{1}\) es un límite de racionales; así usa continuidad y Teorema 1 en el Capítulo 4, §2.]