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# 6.2.E: Problemas en mapas lineales y matrices

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Verificar la Nota 1 y la equivalencia de las dos declaraciones en la Definición 1.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

En los Ejemplos (b) y (c) muestran que
$f_{n} \rightarrow f(\text {uniformly}) \text { on } I \text { iff }\left\|f_{n}-f\right\| \rightarrow 0,$
es decir,$$f_{n} \rightarrow f$$ en$$E^{\prime}.$$
[Pista: Use el Teorema 1 en el Capítulo 4, §2.]
De ahí deducir lo siguiente.
(i) Si$$E$$ está completo, entonces el mapa$$\phi$$ del Ejemplo (c) es continuo.
[Pista: Utilice el Teorema 2 del Capítulo 5, §9, y el Teorema 1 en el Capítulo 4, §12.]
(ii) El mapa$$D$$ del Ejemplo (b}) no es continuo.
[Pista: Use el Problema 3 en el Capítulo 5, §9.]

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Demostrar Corolarios 1 a 3.

## Ejercicio$$\PageIndex{3'}$$

Demostrar que
$\|f\|=\sup _{|\vec{x}| \leq 1}|f(\vec{x})|=\sup _{|\vec{x}|=1}|f(\vec{x})|=\sup _{\vec{x} \neq \overrightarrow{0}} \frac{|f(\vec{x})|}{|\vec{x}|}.$
[Pista: De linealidad de$$f$$ deducir que$$|f(\vec{x})| \geq|f(c x)|$$ si$$|c|<1.$$ De ahí se puede despreciar vectores de longitud$$<1$$ al computar sup$$|f(\vec{x})|.$$ ¿Por qué?]

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Encuentre las matrices$$[f],[g],[h],[k],$$ y las fórmulas definitorias para los mapas lineales$$f : E^{2} \rightarrow E^{1}, g : E^{3} \rightarrow E^{4}, h : E^{4} \rightarrow E^{2}, k : E^{1} \rightarrow E^{3}$$ si
(i)$$f\left(\vec{e}_{1}\right)=3, f\left(\vec{e}_{2}\right)=-2;$$
(ii)$$g\left(\vec{e}_{1}\right)=(1,0,-2,4), g\left(\vec{e}_{2}\right)=(0,2,-1,1), g\left(\vec{e}_{3}\right)=(0,1,0,-1);$$
(iii)$$h\left(\vec{e}_{1}\right)=(2,2), h\left(\vec{e}_{2}\right)=(0,-2), h\left(\vec{e}_{3}\right)=(1,0), h\left(\vec{e}_{4}\right)=(-1,1);$$
(iv)$$k(1)=(0,1,-1).$$

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

En el Problema 4, use la Nota 4 para encontrar las matrices de productos$$[k][f],[g][k],[f][h],$$ y$$[h][g].$$ De ahí obtener las fórmulas definitorias para$$k \circ f, g \circ k, f \circ h,$$ y$$h \circ g.$$

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Para$$m \times n$$ matrices (con$$m$$ y$$n$$ fijas) definir suma y multiplicación por escalares de la siguiente manera:
$a[f]+b[g]=[a f+b g] \text { if } f, g \in L\left(E^{n}, E^{m}\right)\left(\text { or } L\left(C^{n}, C^{m}\right)\right).$
Mostrar que estas matrices forman un espacio vectorial sobre$$E^{1}$$ (o$$C$$).

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Con la adición de matriz como en el Problema 6, y la multiplicación como en la Nota 4, muestran que todas las$$n \times n$$ matrices forman un anillo no conmutativo con unidad, es decir, satisfacen los axiomas de campo (Capítulo 2, §§1-4) excepto la conmutatividad de multiplicación y existencia de inversos multiplicativos (¡den contra-amplest!).
¿Cuál es la matriz de “unidad”?

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Dejar$$f : E^{\prime} \rightarrow E$$ ser lineal. Demostrar las siguientes declaraciones.
(i) La derivada$$D_{\vec{u}} f(\vec{p})$$ existe y es igual$$f(\vec{u})$$ para cada$$\vec{p}, \vec{u} \in E^{\prime} (\vec{u} \neq \overrightarrow{0});$$
(ii)$$f$$ es relativamente continua en cualquier línea en$$E^{\prime}$$ (use el Teorema 1 en §1);
(iii)$$f$$ lleva tal línea en una línea en$$E.$$

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Dejar$$g : E^{\prime \prime} \rightarrow E$$ ser lineal. Demostrar que si algunos$$f : E^{\prime} \rightarrow E^{\prime \prime}$$ tienen un derivado$$\vec{u}$$ -dirigido a$$\vec{p} \in E^{\prime},$$ así lo ha hecho$$h=g \circ f,$$ y$$D_{\vec{u}} h(\vec{p})=g\left(D_{\vec{u}} f(\vec{p})\right)$$.
[Pista: Utilice el problema 8.]

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Se dice que un conjunto$$A$$ en un espacio vectorial$$V(A \subseteq V)$$ es lineal (o un subespacio lineal de$$V$$) iff$$a \vec{x}+b \vec{y} \in A$$ para cualquiera$$\vec{x}, \vec{y} \in A$$ y cualquiera de los escalares$$a, b.$$ Demuestra lo siguiente.
(i) Cualquiera de tales$$A$$ es en sí mismo un espacio vectorial.
(ii) Si$$f : E^{\prime} \rightarrow E$$ es un mapa lineal y$$A$$ es lineal en$$E^{\prime}$$ (respectivamente, en$$E$$), así es$$f[A]$$ en$$E$$ (respectivamente, así es$$f^{-1}[A]$$ en$$E^{\prime}$$).

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Un conjunto$$A$$ en un espacio vectorial$$V$$ se llama el lapso de un conjunto$$B \subseteq A(A=\operatorname{sp}(B))$$ iff$$A$$ consiste en todas las combinaciones lineales de vectores de$$B$$. Entonces también decimos que$$B$$ abarca$$A$$.
Demostrar lo siguiente:
(i)$$A=\operatorname{sp}(B)$$ es el subespacio lineal más pequeño del$$V$$ que contiene$$B$$.
(ii) Si$$f : V \rightarrow E$$ es lineal y$$A=\operatorname{sp}(B),$$ luego$$f[A]=\operatorname{sp}(f[B])$$ adentro$$E$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Un conjunto$$B=\left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \ldots, \vec{x}_{n}\right\}$$ en un espacio vectorial$$V$$ se llama base iff cada uno$$\vec{v} \in V$$ tiene una representación única como
$\vec{v}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} \vec{x}_{i}$
para algunos escalares$$a_{i}.$$ Si es así, el número$$n$$ de los vectores en$$B$$ se llama la dimensión de$$V,$$ y$$V$$ se dice ser$$n$$ - dimensional. Ejemplos de tales espacios son$$E^{n}$$ y$$C^{n}$$ (¡la$$\vec{e}_{k}$$ forma una base!).
(i) Demostrar que$$B$$ es una base si se extiende$$V$$ (ver Problema 11) y sus elementos$$\vec{x}_{i}$$ son linealmente independientes, es decir,
$\sum_{i=1}^{n} a_{i} \vec{x}_{i}=\overrightarrow{0} \text { iff all } a_{i} \text { vanish.}$
(ii) Si$$E^{\prime}$$ es finito-dimensional, todos los mapas lineales sobre$$E^{\prime}$$ son uniformemente continuos. (Ver también Problemas 3 y 4 del §6.)

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Demostrar que si$$f : E^{1} \rightarrow E$$ es continuo y$$\left(\forall x, y \in E^{1}\right)$$
$f(x+y)=f(x)+f(y),$
luego$$f$$ es lineal; así, por Corolario 2,$$f(x)=v x$$ donde$$v=f(1)$$.
[Pista: Mostrar que$$f(a x)=a f(x);$$ primero para$$a=1,2, \ldots$$ (nota:$$n x=x+x+\cdots+x, n$$ términos); luego para racional$$a=m / n;$$ luego para$$a=0$$ y$$a=-1.$$ Cualquiera$$a \in E^{1}$$ es un límite de racionales; así usa continuidad y Teorema 1 en el Capítulo 4, §2.]

6.2.E: Problemas en mapas lineales y matrices is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.