6.2.E: Problemas en mapas lineales y matrices
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Verificar la Nota 1 y la equivalencia de las dos declaraciones en la Definición 1.
En los Ejemplos (b) y (c) muestran que
fn→f(uniformly) on I iff ‖fn−f‖→0,
es decir,fn→f enE′.
[Pista: Use el Teorema 1 en el Capítulo 4, §2.]
De ahí deducir lo siguiente.
(i) SiE está completo, entonces el mapaϕ del Ejemplo (c) es continuo.
[Pista: Utilice el Teorema 2 del Capítulo 5, §9, y el Teorema 1 en el Capítulo 4, §12.]
(ii) El mapaD del Ejemplo (b}) no es continuo.
[Pista: Use el Problema 3 en el Capítulo 5, §9.]
Demostrar Corolarios 1 a 3.
Demostrar que
‖f‖=sup|→x|≤1|f(→x)|=sup|→x|=1|f(→x)|=sup→x≠→0|f(→x)||→x|.
[Pista: De linealidad def deducir que|f(→x)|≥|f(cx)| si|c|<1. De ahí se puede despreciar vectores de longitud<1 al computar sup|f(→x)|. ¿Por qué?]
Encuentre las matrices[f],[g],[h],[k], y las fórmulas definitorias para los mapas linealesf:E2→E1,g:E3→E4,h:E4→E2,k:E1→E3 si
(i)f(→e1)=3,f(→e2)=−2;
(ii)g(→e1)=(1,0,−2,4),g(→e2)=(0,2,−1,1),g(→e3)=(0,1,0,−1);
(iii)h(→e1)=(2,2),h(→e2)=(0,−2),h(→e3)=(1,0),h(→e4)=(−1,1);
(iv)k(1)=(0,1,−1).
En el Problema 4, use la Nota 4 para encontrar las matrices de productos[k][f],[g][k],[f][h], y[h][g]. De ahí obtener las fórmulas definitorias parak∘f,g∘k,f∘h, yh∘g.
Param×n matrices (conm yn fijas) definir suma y multiplicación por escalares de la siguiente manera:
a[f]+b[g]=[af+bg] if f,g∈L(En,Em)( or L(Cn,Cm)).
Mostrar que estas matrices forman un espacio vectorial sobreE1 (oC).
Con la adición de matriz como en el Problema 6, y la multiplicación como en la Nota 4, muestran que todas lasn×n matrices forman un anillo no conmutativo con unidad, es decir, satisfacen los axiomas de campo (Capítulo 2, §§1-4) excepto la conmutatividad de multiplicación y existencia de inversos multiplicativos (¡den contra-amplest!).
¿Cuál es la matriz de “unidad”?
Dejarf:E′→E ser lineal. Demostrar las siguientes declaraciones.
(i) La derivadaD→uf(→p) existe y es igualf(→u) para cada→p,→u∈E′(→u≠→0);
(ii)f es relativamente continua en cualquier línea enE′ (use el Teorema 1 en §1);
(iii)f lleva tal línea en una línea enE.
Dejarg:E′′→E ser lineal. Demostrar que si algunosf:E′→E′′ tienen un derivado→u -dirigido a→p∈E′, así lo ha hechoh=g∘f, yD→uh(→p)=g(D→uf(→p)).
[Pista: Utilice el problema 8.]
Se dice que un conjuntoA en un espacio vectorialV(A⊆V) es lineal (o un subespacio lineal deV) iffa→x+b→y∈A para cualquiera→x,→y∈A y cualquiera de los escalaresa,b. Demuestra lo siguiente.
(i) Cualquiera de talesA es en sí mismo un espacio vectorial.
(ii) Sif:E′→E es un mapa lineal yA es lineal enE′ (respectivamente, enE), así esf[A] enE (respectivamente, así esf−1[A] enE′).
Un conjuntoA en un espacio vectorialV se llama el lapso de un conjuntoB⊆A(A=sp(B)) iffA consiste en todas las combinaciones lineales de vectores deB. Entonces también decimos queB abarcaA.
Demostrar lo siguiente:
(i)A=sp(B) es el subespacio lineal más pequeño delV que contieneB.
(ii) Sif:V→E es lineal yA=sp(B), luegof[A]=sp(f[B]) adentroE.
Un conjuntoB={→x1,→x2,…,→xn} en un espacio vectorialV se llama base iff cada uno→v∈V tiene una representación única como
→v=n∑i=1ai→xi
para algunos escalaresai. Si es así, el númeron de los vectores enB se llama la dimensión deV, yV se dice sern - dimensional. Ejemplos de tales espacios sonEn yCn (¡la→ek forma una base!).
(i) Demostrar queB es una base si se extiendeV (ver Problema 11) y sus elementos→xi son linealmente independientes, es decir,
n∑i=1ai→xi=→0 iff all ai vanish.
(ii) SiE′ es finito-dimensional, todos los mapas lineales sobreE′ son uniformemente continuos. (Ver también Problemas 3 y 4 del §6.)
Demostrar que sif:E1→E es continuo y(∀x,y∈E1)
f(x+y)=f(x)+f(y),
luegof es lineal; así, por Corolario 2,f(x)=vx dondev=f(1).
[Pista: Mostrar quef(ax)=af(x); primero paraa=1,2,… (nota:nx=x+x+⋯+x,n términos); luego para racionala=m/n; luego paraa=0 ya=−1. Cualquieraa∈E1 es un límite de racionales; así usa continuidad y Teorema 1 en el Capítulo 4, §2.]