6.8: Categorías Baire. Más sobre Linear Maps

Hacemos una pausa para esbozar la teoría de los llamados conjuntos de Categoría I o Categoría II, tal como la introdujo Baire. Es una de las herramientas más poderosas en el análisis superior. A continuación,$(S, \rho)$ se muestra un espacio métrico.

Definición 1

Se dice que un conjunto no$A \subseteq(S, \rho)$ es denso en ninguna parte (en$S)$ iff su cierre no$\overline{A}$ tiene puntos interiores (es decir, no contiene globos):$(\overline{A})^{0}=\emptyset$.

Equivalentemente, el conjunto no$A$ es denso$G^{*} \neq \emptyset$ en ninguna parte si cada set abierto$S$ contiene un globo$\overline{G}$ disjunta de$A.$ (¿Por qué?)

Definición 2

Un conjunto$A \subseteq(S, \rho)$ es escaso, o de Categoría I (en$S),$ iff

$$A=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n},$$

para alguna secuencia de conjuntos densos en ninguna parte$A_{n}$.

De lo contrario,$A$ se dice que no es exiguo o de Categoría II.

$A$es residual iff$-A$ es escaso, pero no$A$ lo es.

Ejemplos

(a) no$\emptyset$ es denso en ninguna parte.

(b) Cualquier conjunto finito en un espacio normado no$E$ es denso en ninguna parte.

(c) El conjunto$N$ de todos los naturales en ninguna parte$E^{1}$ es denso.

(d) Así también es el conjunto de Cantor$P$ (Problema 17 en el Capítulo 3, §14); en efecto,$P$ está cerrado$(P=\overline{P})$ y no tiene puntos interiores (¡verifícalo!) , entonces$(\overline{P})^{0}=P^{0}=\emptyset$.

(e) El conjunto$R$ de todos los racionales en$E^{1}$ es escaso; porque es contable (ver Capítulo 1, §9), de ahí una unión contable de singletones densos en ninguna parte {$r_{n}$},$r_{n} \in R.$ Pero no$R$ es en ninguna parte densa; incluso es densa en$E^{1},$ ya$\overline{R}=E^{1}$ (ver Definición 2, en el Capítulo 3, §14). Por lo tanto, un conjunto exiguo no necesita estar en ninguna parte denso. (Pero todos los conjuntos densos en ninguna parte son magros ¿por qué?)

Los ejemplos (c) y (d) muestran que un conjunto denso en ninguna parte puede ser infinito (incluso incontable). Sin embargo, a veces en ninguna parte los conjuntos densos son tratados como “pequeños” o “despreciables”, en comparación con otros conjuntos. Lo más importante es el siguiente teorema.

Teorema$\PageIndex{1}$ (Baire)

En un espacio métrico completo,$(S, \rho),$ cada conjunto abierto no$G^{*} \neq \emptyset$ es escaso. De ahí que todo el espacio$S$ sea residual.

Prueba

Buscando una contradicción, supongamos que$G^{*}$ es escaso, es decir,

$$G^{*}=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}$$

para algunos conjuntos densos en ninguna parte$A_{n}.$ Ahora, como no$A_{1}$ es denso en ninguna parte,$G^{*}$ contiene un globo cerrado

$$\overline{G}_{1}=\overline{G_{x_{1}}\left(\delta_{1}\right)} \subseteq-A_{1}.$$

Nuevamente, como no$A_{2}$ es denso en ninguna parte,$G_{1}$ contiene un globo

$$\overline{G}_{2}=\overline{G_{x_{2}}\left(\delta_{2}\right)} \subseteq-A_{2}, \quad \text { with } 0<\delta_{2} \leq \frac{1}{2} \delta_{1}.$$

Por inducción, obtenemos una secuencia de contracciones de globos cerrados

$$\overline{G}_{n}=\overline{G_{x_{n}}\left(\delta_{n}\right)}, \quad \text { with } 0<\delta_{n} \leq \frac{1}{2^{n}} \delta_{1} \rightarrow 0.$$

Como$S$ está completo, también lo son los$\overline{G}_{n}$ (Teorema 5 en el Capítulo 3, §17). Así, por el teorema de Cantor (Teorema 5 del Capítulo 4, §6), hay

$$p \in \bigcap_{n=1}^{\infty} \overline{G}_{n}.$$

Como$G^{*} \supseteq \overline{G}_{n},$ tenemos$p \in G^{*}.$ Pero, como también$\overline{G}_{n} \subseteq-A_{n},$ tenemos$(\forall n) p \notin A_{n}$; de ahí

$$p \notin \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}=G^{*}$$

(¡la contradicción deseada!). $\quad \square$

Necesitaremos un lema basado en los Problemas 15 y 19 en §7. (¡Revíselos!)

lema

Dejar$f \in L\left(E^{\prime}, E\right), E^{\prime}$ completar. Let$G=G_{0}(1)$ Be the unit globe in$E^{\prime}.$ If$\overline{f[G]}$ (cierre de$f[G]$ in$E$) contiene un globo$G_{0}=G_{0}(r) \subset E,$ entonces$G_{0} \subseteq f[G].$

Nota. Recordemos que nos “flecha” sólo vectores de$E^{\prime}$ (e.g.,$\overrightarrow{0}),$ pero no los de$E$ (e.g., 0).

Prueba

Vamos$A=f[G] \cap G_{0} \subseteq G_{0}.$ Afirmamos que$A$ es denso en$G_{0};$ i.e.,$G_{0} \subseteq \overline{A}.$ De hecho, por suposición, cualquiera$q \in G_{0}$ está en$f[G].$ Así por el Teorema 3 en el Capítulo 3, §16, cualquiera$G_{q}$ cumple$f[G] \cap G_{0}=A$ si$q \in G_{0}.$ Por lo tanto

$$\left(\forall q \in G_{0}\right) \quad q \in \overline{A},$$

es decir,$G_{0} \subseteq \overline{A},$ como se reivindica.

Ahora arregla cualquiera$q_{0} \in G_{0}=G_{0}(r)$ y un verdadero$c(0<c<1).$ As$A$ es denso en$G_{0}$,

$$A \cap G_{q_{0}}(c r) \neq \emptyset;$$

así que vamos$q_{1} \in A \cap G_{q_{0}}(c r) \subseteq f[G].$ Entonces

$$\left|q_{1}-q_{0}\right|<c r, \quad q_{0} \in G_{q_{1}}(c r).$$

Como$q_{1} \in f[G],$ podemos arreglar algunos$\vec{p}_{1} \in G=G_{0}(1),$ con$f\left(\vec{p}_{1}\right)=q_{1}.$ También, por Problemas 19 (iv) y 15 (iii) en §7,$c A+q_{1}$ es denso en$c G_{0}+q_{1}=G_{q_{1}}(c r)$. Pero$q_{0} \in G_{q_{1}}(cr)$. Por lo tanto

$$G_{q_{0}}\left(c^{2} r\right) \cap\left(c A+q_{1}\right) \neq \emptyset;$$

así que$q_{2} \in G_{q_{0}}\left(c^{2} r\right) \cap\left(c A+q_{1}\right),$ así$q_{0} \in G_{q_{2}}\left(c^{2} r\right),$ etc.

Inductivamente, arreglamos para cada uno$n>1$ algunos$q_{n} \in G_{q_{0}}\left(c^{n} r\right),$ con

$$q_{n} \in c^{n-1} A+q_{n-1},$$

es decir,

$$q_{n}-q_{n-1} \in c^{n-1} A.$$

Como rendimientos$A \subseteq f\left[G_{0}(1)\right],$ de linealidad

$$q_{n}-q_{n-1} \in f\left[c^{n-1} G_{0}(1)\right]=f\left[G_{0}\left(c^{n-1}\right)\right], \quad n>1.$$

Así para cada uno$n>1,$ hay$\vec{p}_{n} \in G_{0}(c^{n-1})$, (es decir,$|\vec{p}_{n}|<c^{n-1})$ tal que$f(\vec{p}_{n})=q_{n}-q_{n-1}.$ Ahora, como$|\vec{p}_{n}|<c^{n-1}$ y$0<c<1$,

$$\sum_{1}^{\infty}\left|\vec{p}_{n}\right|<+\infty;$$

así por la integridad de$E^{\prime}, \sum \vec{p}_{n}$ converge en$E^{\prime}$ (Teorema 1 en el Capítulo 4, §13). Vamos$\vec{p}=\sum_{k=1}^{\infty} \vec{p}_{k};$ entonces

$$\begin{aligned} f(\vec{p}) &=f\left(\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \vec{p}_{k}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(\sum_{k=1}^{n} \vec{p}_{k}\right) \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\vec{p}_{k}\right) \text { for } f \in L\left(E^{\prime}, E\right). \end{aligned}$$

Pero$f(\vec{p}_{k})=q_{k}-q_{k-1}(k>1),$ y$f(\vec{p}_{1})=q_{1};$ así

$$\sum_{k=1}^{n} f\left(\vec{p}_{k}\right)=q_{1}+\sum_{k=2}^{n}\left(q_{k}-q_{k-1}\right)=q_{n}.$$

Por lo tanto

$$f(\vec{p})=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\vec{p}_{k}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} q_{n}=q_{0}.$$

Por otra parte,$\left|\vec{p}_{k}\right|<c^{k-1}(k \geq 1).$ Así

$$|\vec{p}| \leq \sum_{k=1}^{\infty}\left|\vec{p}_{k}\right|<\sum_{k=1}^{\infty} c^{k-1}=\frac{1}{1-c};$$

es decir,

$$\vec{p} \in G_{\overrightarrow{0}}\left(\frac{1}{1-c}\right).$$

Pero$q_{0}=f(\vec{p});$ así

$$q_{0} \in f\left[G_{\overrightarrow{0}}\left(\frac{1}{1-c}\right)\right].$$

Como$q_{0} \in G_{0}(r)$ fue arbitrario, tenemos

$$G_{0}(r) \subseteq f\left[G_{0}\left(\frac{1}{1-c}\right)\right],$$

o por linealidad,

$$G_{0}(r(1-c)) \subseteq f\left[G_{0}(1)\right]=f[G].$$

Esto se sostiene para cualquier$c \in(0,1).$ Por lo tanto

$$f[G] \supseteq \bigcup_{0<c<1} G_{0}(r(1-c))=G_{0}(r). \quad \text {(Verify!)}$$

Así todo está probado. $\quad \square$

Ahora podemos establecer un resultado importante debido a S. Banach.

Teorema$\PageIndex{2}$ (Banach)

Dejar$f \in L\left(E^{\prime}, E\right),$ con$E^{\prime}$ completo. Entonces$f\left[E^{\prime}\right]$ es escaso en$E$ o$f\left[E^{\prime}\right]=E,$ según si$f\left[G_{0}(1)\right]$ es o no es denso en ninguna parte.

Prueba

Si no$f\left[G_{0}(1)\right]$ es denso en ninguna parte$E,$ así también lo es$f\left[G_{0}(n)\right], n>0.$ (Verificar por Problemas 15 y 19 en §7.) Pero entonces

$$f\left[E^{\prime}\right]=f\left[\bigcup_{n=1}^{\infty} G_{0}(n)\right]=\bigcup_{n=1}^{\infty} f\left[G_{\overrightarrow{0}}(n)\right]$$

es una unión contable de conjuntos densos en ninguna parte, de ahí exiguos, por definición.

Ahora supongamos que no$f\left[G_{0}(1)\right]$ es denso en ninguna parte; así$\overline{f\left[G_{0}(1)\right]}$ contiene algunos$G_{q}(r) \subseteq E.$ Podemos suponer$q \in f\left[G_{\overrightarrow{0}}(1)\right]$ (si no, sustituir$q$ por un punto cercano de$f\left[G_{0}(1)\right]).$ Entonces$q=f(\vec{p})$ para algunos$\vec{p} \in G_{0}(1).$ Esto último implica

$$|-\vec{p}|=|\vec{p}|=\rho(\vec{p}, \overrightarrow{0})<1;$$

por lo

$$G_{-\vec{p}}(1) \subseteq G_{\overrightarrow{0}}(2).$$

Además, como$\overline{f\left[G_{\overline{0}}(1)\right]} \supseteq G_{q}(r),$ traducción por$-q=f(-\vec{p})$ rendimientos

$$\overline{f\left[G_{\overline{0}}(1)\right]}+f(-\vec{p}) \supseteq G_{q}(r)-q=G_{0}(r),$$

es decir,

$$G_{0}(r) \subseteq \overline{f\left[G_{-\vec{p}}(1)\right]} \subseteq \overline{f\left[G_{\overrightarrow{0}}(2)\right]}.$$

De ahí$\overline{f\left[G_{\overrightarrow{0}}(1)\right]} \supseteq G_{0}\left(\frac{1}{2} r\right)$ (¿por qué?) ; así, por el Lema

$$f\left[G_{\overrightarrow{0}}(1)\right] \supseteq G_{0}\left(\frac{1}{2} r\right) \text { in } E.$$

Esto implica$f\left[G_{\overrightarrow{0}}(2 n)\right] \supseteq G_{0}(n r),$ y así

$$f\left[E^{\prime}\right] \supseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} G_{0}(n r)=E,$$

es decir,$f\left[E^{\prime}\right]=E,$ según se requiera. Así se demuestra el teorema. $\quad \square$

Teorema$\PageIndex{3}$ (Open map principle)

Dejar$f \in L\left(E^{\prime}, E\right),$ con$E^{\prime}$ y$E$ completar. Entonces el mapa$f$ está abierto en$E^{\prime}$ iff$f\left[E^{\prime}\right]=E,$ es decir, iff$f$ está encendido$E$.

Prueba

Si$f\left[E^{\prime}\right]=E,$ entonces por el Teorema 1, no$f\left[E^{\prime}\right]$ es exiguo en$E,$ como es en$E$ sí mismo. Así, por el Teorema 2, no$f\left[G_{\overrightarrow{0}}(1)\right]$ está en ninguna parte densa, y (1) sigue como antes. De ahí por Problemas 15 (iii) y 19 en §7,$f\left[G_{\vec{p}}\right] \supseteq$ algunos$G_{q}$ siempre que$q=f(\vec{p})$. (¿Por qué?) Por lo tanto,$G_{\vec{p}} \subseteq A \subseteq E^{\prime}$ implica

$$G_{f(\vec{p})} \subseteq f\left[G_{\vec{p}}\right] \subseteq f[A];$$

es decir,$f$ mapea cualquier punto$\vec{p} \in A$ interior en tal punto de$f[A].$ Por Problema 8 en §7,$f$ está abierto en$E^{\prime}.$

Por el contrario, si$f\left[E^{\prime}\right]$ es así, entonces es un conjunto abierto$\neq \emptyset$ en$E,$ un espacio completo; así por los Teoremas 1 y 2,$f\left[E^{\prime}\right]$ es no pobre e igual$E.$ (Ver también Problema 16 (ii) en §7.) $\quad \square$

Nota 1. El teorema 3$f$ se sostiene aunque no sea uno a uno.

Nota 2. Si en el Teorema 3, sin embargo,$f$ es biyectiva, está abierta$E^{\prime},$ y así$f^{-1} \in L\left(E, E^{\prime}\right)$ por la Nota 1 en §7. (Esta es la prueba general prometida del Corolario 2 en §6.)

Teorema$\PageIndex{4}$ (Banach-Steinhaus uniform boundedness principle)

Dejar$E^{\prime} b e$ completar. Dejemos$\mathcal{N}$ ser una familia de mapas$f \in L\left(E^{\prime}, E\right)$ tal que

$$\left(\forall x \in E^{\prime}\right)\left(\exists k \in E^{1}\right)(\forall f \in \mathcal{N}) \quad|f(\vec{x})|<k.$$

(”$\mathcal{N}$ está delimitado en cada uno$\vec{x}$.”)

Entonces$\mathcal{N}$ es “acotado por norma”, es decir,

$$\left(\exists K \in E^{1}\right)(\forall f \in \mathcal{N}) \quad\|f\|<K,$$

con$\|\quad\|$ como en §2.

Prueba

Baste con demostrar que$\mathcal{N}$ está delimitado “uniformemente” en algún globo terráqueo,

$$\left(\exists c \in E^{1}\right)\left(\exists G=G_{\vec{p}}(r)\right)(\forall f \in \mathcal{N})(\forall \vec{x} \in G) \quad|f(\vec{x})| \leq c.$$

Para entonces$|\vec{x}-\vec{p}| \leq r$ implica

$$2 c>|f(\vec{x})-f(\vec{p})|=|f(\vec{x}-\vec{p})|,$$

o (el ajuste$\vec{x}-\vec{p}=r \vec{y} )|\vec{y}|<1$ implica

$$(\forall f \in \mathcal{N}) \quad|f(\vec{y})|<\frac{2 c}{r} \quad\text {(why?);}$$

por lo

$$(\forall f \in \mathcal{N}) \quad\|f\|=\sup _{|\vec{y}| \leq 1}|f(\vec{y})|<\frac{2 c}{r}.$$

Así, buscando una contradicción, supongamos que (3) falla y asume su negación:

$$\left(\forall c \in E^{1}\right)\left(\forall G=G_{\vec{p}}(r)\right)(\exists f \in \mathcal{N})\left(\exists \vec{x} \in G=G_{\vec{p}}(r)\right) \quad|f(\vec{x})|>c.$$

Entonces para$c=1,$ podemos arreglar algunos$f_{1} \in \mathcal{N}$ y$G_{\vec{x}_{1}}\left(r_{1}\right)$ tal que$0<r_{1}<1$ y

$$\left|f_{1}\left(\vec{x}_{1}\right)\right|>1.$$

Por la continuidad de la norma$| |$, podemos elegir$r_{1}$ tan pequeños que

$$\left(\forall \vec{x} \in \overline{G_{\vec{x}_{1}}\left(r_{1}\right)}\right) \quad|f(\vec{x})|>1.$$

Nuevamente por (4), arreglamos$f_{2} \in \mathcal{N}$ y$\vec{x}_{2} \in G_{\vec{x}_{1}}\left(r_{1}\right)$ tal que$\left|f_{2}\right|>2$ en algún globo

$$\overline{G_{\vec{x}_{2}}\left(r_{2}\right)} \subseteq G_{\vec{x}_{1}}\left(r_{1}\right),$$

con$0<r_{2}<1 / 2.$ Inductivamente, formamos así una secuencia de contracciones de globos cerrados

$$\overline{G_{\vec{x}_{n}}\left(r_{n}\right)}, \quad 0<r_{n}<\frac{1}{n},$$

y una secuencia$\left\{f_{n}\right\} \subseteq \mathcal{N},$ tal que

$$(\forall n) \quad\left|f_{n}\right|>n \text { on } \overline{G_{\vec{x}_{n}}\left(r_{n}\right)} \subseteq E^{\prime}.$$

Como$E^{\prime}$ está completo, también lo son los globos cerrados$\overline{G_{\vec{x}_{n}}\left(r_{n}\right)} \subseteq E^{\prime}.$ También,$0<r_{n}<$ 1$/ n \rightarrow 0.$ Así, por el teorema de Cantor (Teorema 5 del Capítulo 4, §6), hay

$$\vec{x}_{0} \in \bigcap_{n=1}^{\infty} \overline{G_{\vec{x}_{n}}\left(r_{n}\right)}.$$

Como$\vec{x}_{0}$ es en cada uno$\overline{G_{\vec{x}_{n}}\left(r_{n}\right)},$ tenemos

$$(\forall n) \quad\left|f_{n}\left(\vec{x}_{0}\right)\right|>n;$$

por lo que no$\mathcal{N}$ está acotado en$\vec{x}_{0},$ contra de (2). Esta contradicción completa la prueba. $\quad \square$

Nota 3. Los espacios normados completos también se denominan espacios Banach.