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# 7.3.E: Problemas en las familias del set

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

1. Verificar los Ejemplos (a), (b) y (c).

## Ejercicio$$\PageIndex{1'}$$

Demostrar Teorema 1 para anillos.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demostrar que en la Definición 1$$\emptyset \in \mathcal{M}$$ "" podrá ser sustituido por "”$$\mathcal{M} \neq \emptyset$$.

[Pista:$$\emptyset=A-A$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

$$\Rightarrow$$Demostrar que$$\mathcal{M}$$ es un$$(\sigma$$ campo -campo si$$\mathcal{M} \neq \emptyset, \mathcal{M}$$ está cerrado bajo uniones finitas (contables), y
$(\forall A \in \mathcal{M}) \quad -A \in \mathcal{M}.$
[Pista:$$A-B=-(-A \cup B); S=-\emptyset$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Demostrar el teorema 2 para los campos establecidos.

## Ejercicio$$\PageIndex{*4'}$$

¿Se aplica la Nota 1 a los semirings?

Prueba Nota 2.

## Ejercicio$$\PageIndex{5'}$$

Demostrar Teorema 3 en detalle.

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Demostrar el Teorema 4 y demostrar que el producto$$\mathcal{M} \dot{ \times} \mathcal{N}$$ de dos anillos no necesita ser un anillo.
[Pista: Dejar$$S=E^{1}$$ y$$\mathcal{M}=\mathcal{N}=2^{S}.$$ tomar$$A, B$$ como en el Teorema 1 de §1. Verifica eso$$A-B \notin \mathcal{M}, {\mathcal{M}} \dot{ \times} \mathcal{N}$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

$$\Rightarrow$$Dejar$$\mathcal{R}, \mathcal{R}^{\prime}$$ ser los anillos$$(\sigma$$ -anillos, campos,$$\sigma$$ -campos) generados por$$\mathcal{M}$$ y$$\mathcal{N}$$, respectivamente. Demostrar lo siguiente.
(i) Si$$\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N},$$ entonces$$\mathcal{R} \subseteq \mathcal{R}^{\prime}$$.
(ii) Si$$\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N} \subseteq \mathcal{R},$$ entonces$$\mathcal{R}=\mathcal{R}^{\prime}$$.
(iii) Si
$\mathcal{M}=\left\{\text {open intervals in } E^{n}\right\}$
y
$\mathcal{N}=\left\{\text {all open sets in } E^{n}\right\},$
entonces$$\mathcal{R}=\mathcal{R}^{\prime}$$.
[Pista: Use Lema 2 en §2 para (iii). Utilice la minimalidad de$$\mathcal{R}$$ y$$\mathcal{R}^{\prime}$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

¿Alguno de los siguientes es un semiring, ring,$$\sigma$$ -ring, field o$$\sigma$$ -field? ¿Por qué?
(a) Todos los intervalos infinitos en$$E^{1}$$.
(b) Todos los juegos abiertos en un espacio métrico$$(S, \rho)$$.
(c) Todos los juegos cerrados en$$(S, \rho)$$.
d) Todos los juegos de “clopen”$$(S, \rho)$$.
e)$$\left\{X \in 2^{S} |-X \text { finite}\right\}$$.
f)$$\left\{X \in 2^{S} |-X \text { countable}\right\}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

$$\Rightarrow$$Demostrar que para cualquier secuencia$$\left\{A_{n}\right\}$$ en un anillo$$\mathcal{R},$$ hay
(a) una secuencia en expansión$$\left\{B_{n}\right\} \subseteq \mathcal{R}$$ tal que
$(\forall n) \quad B_{n} \supseteq A_{n}$
y
$\bigcup_{n} B_{n}=\bigcup_{n} A_{n}; \text { and}$
(b) una secuencia de contratación$$C_{n} \subseteq A_{n},$$ con
$\bigcap_{n} C_{n}=\bigcap_{n} A_{n}.$
(Este último se sostiene en semirings, también.)
[Pista: Establecer$$B_{n}=\bigcup_{1}^{n} A_{k}, C_{n}=\bigcap_{1}^{n} A_{k}$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

$$\Rightarrow$$La diferencia simétrica,$$A \triangle B,$$ de dos conjuntos se define
$A \triangle B=(A-B) \cup(B-A).$
inductivamente, también establecemos
$\triangle_{k=1}^{1} A_{k}=A_{1}$
y
$\triangle_{k=1}^{n+1} A_{k}=\left(\triangle_{k=1}^{n} A_{k}\right) \triangle A_{n+1}.$
Demostramos que las diferencias simétricas
(i) son conmutativas,
(ii) son asociativos, y
(iii) satisfacer la ley distributiva:
$(A \triangle B) \cap C=(A \cap C) \triangle(B \cap C).$
[Pista para (ii): Establecer$$A^{\prime}=-A, A-B=A \cap B^{\prime}.$$ Expandir$$(A \triangle B) \triangle C$$ en una expresión simétrica con respecto a$$A, B,$$ y$$C$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Demostrar que$$\mathcal{M}$$ es un anillo iff
(i)$$\emptyset \in \mathcal{M}$$;
(ii)$$(\forall A, B \in \mathcal{M}) A \triangle B \in \mathcal{M}$$ y$$A \cap B \in \mathcal{M}$$ (ver Problema 10); equivalentemente,
(ii')$$A \triangle B \in \mathcal{M}$$ y$$A \cup B \in \mathcal{M}$$.
[Pista: Verifica eso
$A \cup B=(A \triangle B) \triangle(A \cap B)$
y
$A-B=(A \cup B) \triangle B,$
mientras
$A \cap B=(A \cup B) \triangle(A \triangle B).]$

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Demuestre que una familia de conjuntos$$\mathcal{M} \neq \emptyset$$ es un$$\sigma$$ anillo si se cumple una de las siguientes condiciones.
(a)$$\mathcal{M}$$ se cierra bajo uniones contables y diferencias adecuadas$$(X-Y$$ con$$X \supseteq Y)$$;
(b)$$\mathcal{M}$$ se cierra bajo uniones disjuntas contables, diferencias propias e intersecciones finitas; o
(c)$$\mathcal{M}$$ se cierra bajo uniones contables y diferencias simétricas (ver Problema 10).
[Consejos: (a)$$X-Y=(X \cup Y)-Y,$$ una diferencia apropiada.
(b)$$X-Y=X-(X \cap Y)$$ reduce cualquier diferencia a una propia; luego
$X \cup Y=(X-Y) \cup(Y-X) \cup(X \cap Y)$
muestra que$$\mathcal{M}$$ se cierra bajo todas las uniones finitas; así lo$$\mathcal{M}$$ es un anillo. Ahora usa el Corolario 1 en §1 para uniones contables.
c) Problema de uso 11.]

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Del Problema 10, tratando$$\triangle$$ como suma y$$\cap$$ como multiplicación, muestran que cualquier anillo conjunto$$\mathcal{M}$$ es un anillo algebraico con unidad, es decir, satisface los seis axiomas de campo (Capítulo 2, §§1-4), excepto$$V(b)$$ (existencia de inversas multiplicativas).

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Se dice que un conjunto de familia$$\mathcal{H}$$ es hereditaria iff
$(\forall X \in \mathcal{H})(\forall Y \subseteq X) \quad Y \in H.$
Demostrar lo siguiente.
(a) Para cada familia$$\mathcal{M} \subseteq 2^{S}$$, existe un anillo hereditario “más pequeño”$$\mathcal{H} \supseteq \mathcal{M}$$ ($$\mathcal{H}$$se dice que es generado por$$\mathcal{M}$$). De manera similar para$$\sigma$$ -anillos, campos y$$\sigma$$ -campos.
b) El$$\sigma$$ anillo hereditario generado por$$\mathcal{M}$$ consiste en aquellos conjuntos que pueden ser cubiertos por contablemente muchos$$\mathcal{M}$$ -conjuntos.

## Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Demostrar que el$$(\sigma$$ campo -campo en$$S$$, generado por un anillo$$(\sigma$$ -anillo$$\mathcal{R},$$ consiste exactamente en todos los$$\mathcal{R}$$ -conjuntos y sus complementos en$$S$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

Mostrar que el anillo$$\mathcal{R}$$ generado por una familia de conjuntos$$\mathcal{C} \neq \emptyset$$ consta de todos los conjuntos de la forma
$\triangle_{k=1}^{n} A_{k}$
(ver Problema 10), donde cada uno$$A_{k} \in \mathcal{C}_{d}$$ (intersección finita de$$\mathcal{C}$$ -conjuntos).
[Esquema: Por Problema 11,$$\mathcal{R}$$ debe contener la familia (llamarla$$\mathcal{M}$$) de todas esas$$\triangle_{k=1}^{n} A_{k}$$. (¿Por qué?) Queda por demostrar que$$\mathcal{M}$$ es un anillo$$\supseteq \mathcal{C}$$.
Escribir$$A+B$$ para$$A \triangle B$$ y$$A B$$ para$$A \cap B;$$ así cada$$\mathcal{M}$$ -conjunto es una “suma” de finitamente muchos “productos”
$A_{1} A_{2} \cdots A_{n}.$
Por álgebra, la “suma” y “producto” de dos de esos “polinomios” es tal polinomio en sí mismo. Así
$(\forall X, Y \in \mathcal{M}) \quad X \triangle Y \text { and } X \cap Y \in \mathcal{M}.$
Ahora usa Problema 11.]

## Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

Ause Problema 16 para obtener una nueva prueba del Teorema 2 en §1 y Corolario 2 en la presente sección.
[Consejos: Para semirings,$$C=\mathcal{C}_{d}.$$ (¿Por qué?) Así en Problema 16,$$A_{k} \in \mathcal{C}.$$
También,
$(\forall A, B \in \mathcal{C}) \quad A \triangle B=(A-B) \cup(B-A)$
donde$$A-B$$ y$$B-A$$ son uniones disjuntas finitas de$$\mathcal{C}$$ -conjuntos. (¿Por qué?)
Deducir eso$$A \triangle B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}$$ y, por inducción,
$\triangle_{k=1}^{n} A_{k} \in \mathcal{C}_{s}^{\prime};$
entonces$$\mathcal{R} \subseteq \mathcal{C}_{s}^{\prime} \subseteq \mathcal{R}.$$ (¿Por qué?)]

## Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

Dado un conjunto$$A$$ y una familia de conjuntos$$\mathcal{M},$$ dejan
$A \cap{\dot\} \mathcal{M}$
ser la familia de todos los conjuntos$$A \cap X,$$ con$$X \in \mathcal{M};$$ similarmente,
$\mathcal{N} \dot{\cup} (\mathcal{M} \dot{-} A)=\{\text { all sets } Y \cup(X-A), \text { with } Y \in \mathcal{N}, X \in \mathcal{M}\}, \text { etc. }$
Mostrar que si$$\mathcal{M}$$ genera el anillo$$\mathcal{R},$$ entonces$$A \cap{\dot} \mathcal{M}$$ genera el anillo
$\mathcal{R}^{\prime}=A \cap{\dot} \mathcal{R}.$
De manera similar para$$\sigma$$ -anillos, campos,$$\sigma$$ -campos.
[Pista para anillos: Demuestra lo siguiente.
(i)$$A \cap \mathcal{R}$$ es un anillo.
ii)$$\mathcal{M} \subseteq \mathcal{R}^{\prime} \cup(\mathcal{R} \pm A),$$ con$$\mathcal{R}^{\prime}$$ lo anterior.
iii)$$\mathcal{R} \cup(\mathcal{R} \div A) \text { is a ring (call it } \mathcal{N})$$.
iv) Por el inciso ii),$$\mathcal{R} \subseteq \mathcal{N},$$ así que v$$A \cap \mathcal{R} \subseteq A \cap \mathcal{N} \subseteq \mathcal{R}^{\prime}\right.$$
)$$A \cap \mathcal{R} \supseteq \mathcal{R}^{\prime}(\text { for } A \cap \mathcal{R} \supseteq A \cap \mathcal{M})$$.
De ahí$$\mathcal{R}^{\prime}=A \cap \mathcal{R}$$.]

7.3.E: Problemas en las familias del set is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.