7.3.E: Problemas en las familias del set
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1. Verificar los Ejemplos (a), (b) y (c).
Demostrar Teorema 1 para anillos.
Demostrar que en la Definición 1\(\emptyset \in \mathcal{M}\) "" podrá ser sustituido por "”\(\mathcal{M} \neq \emptyset\).
[Pista:\(\emptyset=A-A\).]
\(\Rightarrow\)Demostrar que\(\mathcal{M}\) es un\((\sigma\) campo -campo si\(\mathcal{M} \neq \emptyset, \mathcal{M}\) está cerrado bajo uniones finitas (contables), y
\[(\forall A \in \mathcal{M}) \quad -A \in \mathcal{M}.\]
[Pista:\(A-B=-(-A \cup B); S=-\emptyset\).]
Demostrar el teorema 2 para los campos establecidos.
¿Se aplica la Nota 1 a los semirings?
Prueba Nota 2.
Demostrar Teorema 3 en detalle.
Demostrar el Teorema 4 y demostrar que el producto\(\mathcal{M} \dot{ \times} \mathcal{N}\) de dos anillos no necesita ser un anillo.
[Pista: Dejar\(S=E^{1}\) y\(\mathcal{M}=\mathcal{N}=2^{S}.\) tomar\(A, B\) como en el Teorema 1 de §1. Verifica eso\(A-B \notin \mathcal{M}, {\mathcal{M}} \dot{ \times} \mathcal{N}\).]
\(\Rightarrow\)Dejar\(\mathcal{R}, \mathcal{R}^{\prime}\) ser los anillos\((\sigma\) -anillos, campos,\(\sigma\) -campos) generados por\(\mathcal{M}\) y\(\mathcal{N}\), respectivamente. Demostrar lo siguiente.
(i) Si\(\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N},\) entonces\(\mathcal{R} \subseteq \mathcal{R}^{\prime}\).
(ii) Si\(\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N} \subseteq \mathcal{R},\) entonces\(\mathcal{R}=\mathcal{R}^{\prime}\).
(iii) Si
\[\mathcal{M}=\left\{\text {open intervals in } E^{n}\right\}\]
y
\[\mathcal{N}=\left\{\text {all open sets in } E^{n}\right\},\]
entonces\(\mathcal{R}=\mathcal{R}^{\prime}\).
[Pista: Use Lema 2 en §2 para (iii). Utilice la minimalidad de\(\mathcal{R}\) y\(\mathcal{R}^{\prime}\).]
¿Alguno de los siguientes es un semiring, ring,\(\sigma\) -ring, field o\(\sigma\) -field? ¿Por qué?
(a) Todos los intervalos infinitos en\(E^{1}\).
(b) Todos los juegos abiertos en un espacio métrico\((S, \rho)\).
(c) Todos los juegos cerrados en\((S, \rho)\).
d) Todos los juegos de “clopen”\((S, \rho)\).
e)\(\left\{X \in 2^{S} |-X \text { finite}\right\}\).
f)\(\left\{X \in 2^{S} |-X \text { countable}\right\}\).
\(\Rightarrow\)Demostrar que para cualquier secuencia\(\left\{A_{n}\right\}\) en un anillo\(\mathcal{R},\) hay
(a) una secuencia en expansión\(\left\{B_{n}\right\} \subseteq \mathcal{R}\) tal que
\[(\forall n) \quad B_{n} \supseteq A_{n}\]
y
\[\bigcup_{n} B_{n}=\bigcup_{n} A_{n}; \text { and}\]
(b) una secuencia de contratación\(C_{n} \subseteq A_{n},\) con
\[\bigcap_{n} C_{n}=\bigcap_{n} A_{n}.\]
(Este último se sostiene en semirings, también.)
[Pista: Establecer\(B_{n}=\bigcup_{1}^{n} A_{k}, C_{n}=\bigcap_{1}^{n} A_{k}\).]
\(\Rightarrow\)La diferencia simétrica,\(A \triangle B,\) de dos conjuntos se define
\[A \triangle B=(A-B) \cup(B-A).\]
inductivamente, también establecemos
\[\triangle_{k=1}^{1} A_{k}=A_{1}\]
y
\[\triangle_{k=1}^{n+1} A_{k}=\left(\triangle_{k=1}^{n} A_{k}\right) \triangle A_{n+1}.\]
Demostramos que las diferencias simétricas
(i) son conmutativas,
(ii) son asociativos, y
(iii) satisfacer la ley distributiva:
\[(A \triangle B) \cap C=(A \cap C) \triangle(B \cap C).\]
[Pista para (ii): Establecer\(A^{\prime}=-A, A-B=A \cap B^{\prime}.\) Expandir\((A \triangle B) \triangle C\) en una expresión simétrica con respecto a\(A, B,\) y\(C\).]
Demostrar que\(\mathcal{M}\) es un anillo iff
(i)\(\emptyset \in \mathcal{M}\);
(ii)\((\forall A, B \in \mathcal{M}) A \triangle B \in \mathcal{M}\) y\(A \cap B \in \mathcal{M}\) (ver Problema 10); equivalentemente,
(ii')\(A \triangle B \in \mathcal{M}\) y\(A \cup B \in \mathcal{M}\).
[Pista: Verifica eso
\[A \cup B=(A \triangle B) \triangle(A \cap B)\]
y
\[A-B=(A \cup B) \triangle B,\]
mientras
\[A \cap B=(A \cup B) \triangle(A \triangle B).]\]
Demuestre que una familia de conjuntos\(\mathcal{M} \neq \emptyset\) es un\(\sigma\) anillo si se cumple una de las siguientes condiciones.
(a)\(\mathcal{M}\) se cierra bajo uniones contables y diferencias adecuadas\((X-Y\) con\(X \supseteq Y)\);
(b)\(\mathcal{M}\) se cierra bajo uniones disjuntas contables, diferencias propias e intersecciones finitas; o
(c)\(\mathcal{M}\) se cierra bajo uniones contables y diferencias simétricas (ver Problema 10).
[Consejos: (a)\(X-Y=(X \cup Y)-Y,\) una diferencia apropiada.
(b)\(X-Y=X-(X \cap Y)\) reduce cualquier diferencia a una propia; luego
\[X \cup Y=(X-Y) \cup(Y-X) \cup(X \cap Y)\]
muestra que\(\mathcal{M}\) se cierra bajo todas las uniones finitas; así lo\(\mathcal{M}\) es un anillo. Ahora usa el Corolario 1 en §1 para uniones contables.
c) Problema de uso 11.]
Del Problema 10, tratando\(\triangle\) como suma y\(\cap\) como multiplicación, muestran que cualquier anillo conjunto\(\mathcal{M}\) es un anillo algebraico con unidad, es decir, satisface los seis axiomas de campo (Capítulo 2, §§1-4), excepto\(V(b)\) (existencia de inversas multiplicativas).
Se dice que un conjunto de familia\(\mathcal{H}\) es hereditaria iff
\[(\forall X \in \mathcal{H})(\forall Y \subseteq X) \quad Y \in H.\]
Demostrar lo siguiente.
(a) Para cada familia\(\mathcal{M} \subseteq 2^{S}\), existe un anillo hereditario “más pequeño”\(\mathcal{H} \supseteq \mathcal{M}\) (\(\mathcal{H}\)se dice que es generado por\(\mathcal{M}\)). De manera similar para\(\sigma\) -anillos, campos y\(\sigma\) -campos.
b) El\(\sigma\) anillo hereditario generado por\(\mathcal{M}\) consiste en aquellos conjuntos que pueden ser cubiertos por contablemente muchos\(\mathcal{M}\) -conjuntos.
Demostrar que el\((\sigma\) campo -campo en\(S\), generado por un anillo\((\sigma\) -anillo\(\mathcal{R},\) consiste exactamente en todos los\(\mathcal{R}\) -conjuntos y sus complementos en\(S\).
Mostrar que el anillo\(\mathcal{R}\) generado por una familia de conjuntos\(\mathcal{C} \neq \emptyset\) consta de todos los conjuntos de la forma
\[\triangle_{k=1}^{n} A_{k}\]
(ver Problema 10), donde cada uno\(A_{k} \in \mathcal{C}_{d}\) (intersección finita de\(\mathcal{C}\) -conjuntos).
[Esquema: Por Problema 11,\(\mathcal{R}\) debe contener la familia (llamarla\(\mathcal{M}\)) de todas esas\(\triangle_{k=1}^{n} A_{k}\). (¿Por qué?) Queda por demostrar que\(\mathcal{M}\) es un anillo\(\supseteq \mathcal{C}\).
Escribir\(A+B\) para\(A \triangle B\) y\(A B\) para\(A \cap B;\) así cada\(\mathcal{M}\) -conjunto es una “suma” de finitamente muchos “productos”
\[A_{1} A_{2} \cdots A_{n}.\]
Por álgebra, la “suma” y “producto” de dos de esos “polinomios” es tal polinomio en sí mismo. Así
\[(\forall X, Y \in \mathcal{M}) \quad X \triangle Y \text { and } X \cap Y \in \mathcal{M}.\]
Ahora usa Problema 11.]
Ause Problema 16 para obtener una nueva prueba del Teorema 2 en §1 y Corolario 2 en la presente sección.
[Consejos: Para semirings,\(C=\mathcal{C}_{d}.\) (¿Por qué?) Así en Problema 16,\(A_{k} \in \mathcal{C}.\)
También,
\[(\forall A, B \in \mathcal{C}) \quad A \triangle B=(A-B) \cup(B-A)\]
donde\(A-B\) y\(B-A\) son uniones disjuntas finitas de\(\mathcal{C}\) -conjuntos. (¿Por qué?)
Deducir eso\(A \triangle B \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}\) y, por inducción,
\[\triangle_{k=1}^{n} A_{k} \in \mathcal{C}_{s}^{\prime};\]
entonces\(\mathcal{R} \subseteq \mathcal{C}_{s}^{\prime} \subseteq \mathcal{R}.\) (¿Por qué?)]
Dado un conjunto\(A\) y una familia de conjuntos\(\mathcal{M},\) dejan
\[A \cap{\dot\} \mathcal{M}\]
ser la familia de todos los conjuntos\(A \cap X,\) con\(X \in \mathcal{M};\) similarmente,
\[\mathcal{N} \dot{\cup} (\mathcal{M} \dot{-} A)=\{\text { all sets } Y \cup(X-A), \text { with } Y \in \mathcal{N}, X \in \mathcal{M}\}, \text { etc. }\]
Mostrar que si\(\mathcal{M}\) genera el anillo\(\mathcal{R},\) entonces\(A \cap{\dot} \mathcal{M}\) genera el anillo
\[\mathcal{R}^{\prime}=A \cap{\dot} \mathcal{R}.\]
De manera similar para\(\sigma\) -anillos, campos,\(\sigma\) -campos.
[Pista para anillos: Demuestra lo siguiente.
(i)\(A \cap \mathcal{R}\) es un anillo.
ii)\(\mathcal{M} \subseteq \mathcal{R}^{\prime} \cup(\mathcal{R} \pm A),\) con\(\mathcal{R}^{\prime}\) lo anterior.
iii)\(\mathcal{R} \cup(\mathcal{R} \div A) \text { is a ring (call it } \mathcal{N})\).
iv) Por el inciso ii),\(\mathcal{R} \subseteq \mathcal{N},\) así que v\(A \cap \mathcal{R} \subseteq A \cap \mathcal{N} \subseteq \mathcal{R}^{\prime}\right.\)
)\(A \cap \mathcal{R} \supseteq \mathcal{R}^{\prime}(\text { for } A \cap \mathcal{R} \supseteq A \cap \mathcal{M})\).
De ahí\(\mathcal{R}^{\prime}=A \cap \mathcal{R}\).]