7: Volumen y Medida

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Elias Zakon
University of Windsor via The Trilla Group (support by Saylor Foundation)

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I. Nuestra teoría de las familias de conjuntos conduce naturalmente a una generalización de espacios métricos. Como sabemos, en cualquier espacio de este tipo\((S, \rho),\) hay una familia\(\mathcal{G}\) de sets abiertos, y una familia\(\mathcal{F}\) de todos los conjuntos cerrados. En el Capítulo 3, §12, derivamos las siguientes dos propiedades.

(i)\(\mathcal{G}\) se cierra bajo cualesquiera uniones (incluso incontables) y bajo intersecciones finitas (Capítulo 3, §12, Teorema 2). Además,

\[\emptyset \in \mathcal{G} \text { and } S \in \mathcal{G}.\]

(ii)\(\mathcal{F}\) tiene estas propiedades, con “uniones” e “intersecciones” intercambiadas (Capítulo 3, §12, Teorema 3). Además, por definición,

\[A \in \mathcal{F} \text { iff }-A \in \mathcal{G}.\]

Ahora bien, con bastante frecuencia, no es tan importante tener distancias (es decir, una métrica) definidas en\(S,\) sino más bien señalar dos familias de conjuntos,\(\mathcal{G}\) y\(\mathcal{F},\) con las propiedades (i) y (ii), de manera adecuada. Para ver ejemplos, consulte Problemas 1 a 4 a continuación. Una vez\(\mathcal{G}\) y\(\mathcal{F}\) se dan, no se necesita una métrica para definir nociones tales como continuidad, límites, etc. (Ver Problemas 2 y 3.) Esto nos lleva a la siguiente definición.