7: Volumen y Medida
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
I. Nuestra teoría de las familias de conjuntos conduce naturalmente a una generalización de espacios métricos. Como sabemos, en cualquier espacio de este tipo(S,ρ), hay una familiaG de sets abiertos, y una familiaF de todos los conjuntos cerrados. En el Capítulo 3, §12, derivamos las siguientes dos propiedades.
(i)G se cierra bajo cualesquiera uniones (incluso incontables) y bajo intersecciones finitas (Capítulo 3, §12, Teorema 2). Además,
∅∈G and S∈G.
(ii)F tiene estas propiedades, con “uniones” e “intersecciones” intercambiadas (Capítulo 3, §12, Teorema 3). Además, por definición,
A∈F iff −A∈G.
Ahora bien, con bastante frecuencia, no es tan importante tener distancias (es decir, una métrica) definidas enS, sino más bien señalar dos familias de conjuntos,G yF, con las propiedades (i) y (ii), de manera adecuada. Para ver ejemplos, consulte Problemas 1 a 4 a continuación. Una vezG yF se dan, no se necesita una métrica para definir nociones tales como continuidad, límites, etc. (Ver Problemas 2 y 3.) Esto nos lleva a la siguiente definición.