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7: Volumen y Medida

Última actualización

30 oct 2022
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- 6.10.E: Otros problemas en Maxima y Mínima
- 7.1: Más sobre Intervalos en E. Semirings de Sets

Elias Zakon
University of Windsor via The Trilla Group (support by Saylor Foundation)

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I. Nuestra teoría de las familias de conjuntos conduce naturalmente a una generalización de espacios métricos. Como sabemos, en cualquier espacio de este tipo $(S, \rho),$ hay una familia $\mathcal{G}$ de sets abiertos, y una familia $\mathcal{F}$ de todos los conjuntos cerrados. En el Capítulo 3, §12, derivamos las siguientes dos propiedades.

(i) $\mathcal{G}$ se cierra bajo cualesquiera uniones (incluso incontables) y bajo intersecciones finitas (Capítulo 3, §12, Teorema 2). Además,

$\emptyset \in \mathcal{G} \text { and } S \in \mathcal{G}.$

(ii) $\mathcal{F}$ tiene estas propiedades, con “uniones” e “intersecciones” intercambiadas (Capítulo 3, §12, Teorema 3). Además, por definición,

$A \in \mathcal{F} \text { iff }-A \in \mathcal{G}.$

Ahora bien, con bastante frecuencia, no es tan importante tener distancias (es decir, una métrica) definidas en $S,$ sino más bien señalar dos familias de conjuntos, $\mathcal{G}$ y $\mathcal{F},$ con las propiedades (i) y (ii), de manera adecuada. Para ver ejemplos, consulte Problemas 1 a 4 a continuación. Una vez $\mathcal{G}$ y $\mathcal{F}$ se dan, no se necesita una métrica para definir nociones tales como continuidad, límites, etc. (Ver Problemas 2 y 3.) Esto nos lleva a la siguiente definición.

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