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LibreTexts Español

7: Volumen y Medida

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

I. Nuestra teoría de las familias de conjuntos conduce naturalmente a una generalización de espacios métricos. Como sabemos, en cualquier espacio de este tipo(S,ρ), hay una familiaG de sets abiertos, y una familiaF de todos los conjuntos cerrados. En el Capítulo 3, §12, derivamos las siguientes dos propiedades.

(i)G se cierra bajo cualesquiera uniones (incluso incontables) y bajo intersecciones finitas (Capítulo 3, §12, Teorema 2). Además,

G and SG.

(ii)F tiene estas propiedades, con “uniones” e “intersecciones” intercambiadas (Capítulo 3, §12, Teorema 3). Además, por definición,

AF iff AG.

Ahora bien, con bastante frecuencia, no es tan importante tener distancias (es decir, una métrica) definidas enS, sino más bien señalar dos familias de conjuntos,G yF, con las propiedades (i) y (ii), de manera adecuada. Para ver ejemplos, consulte Problemas 1 a 4 a continuación. Una vezG yF se dan, no se necesita una métrica para definir nociones tales como continuidad, límites, etc. (Ver Problemas 2 y 3.) Esto nos lleva a la siguiente definición.


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