7.4: Establecer funciones. Aditividad. Continuidad
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I. La letra "\(v\)" in\(v A\) puede tratarse como un cierto símbolo de función que asigna un valor numérico (llamado “volumen”) al conjunto\(A.\) Hasta ahora hemos definido tales “volúmenes” para todos los intervalos, luego para\(\mathcal{C}\) -conjuntos simples, e incluso para\(\mathcal{C}_{\sigma}\) -conjuntos en\(E^{n}\).
Matemáticamente esto significa que la función de volumen se\(v\) ha definido primero en\(\mathcal{C}\) (los intervalos), luego en\(\mathcal{C}_{s}^{\prime}\) (\(\mathcal{C}\)-conjuntos simples) y finalmente en\(\mathcal{C}_{\sigma}.\)
Así tenemos una función\(v\) que asigna valores (“volúmenes”) no sólo a puntos individuales, como lo hacen las “funciones puntuales” ordinarias, sino a conjuntos enteros, siendo tratado cada conjunto como una sola cosa.
En otras palabras, el dominio de la función no\(v\) es solo un conjunto de puntos, sino una familia de conjuntos (\(\mathcal{C}, \mathcal{C}_{s}^{\prime}\), o\(\mathcal{C}_{\sigma}\)).
Los “volúmenes” asignados a tales conjuntos son los valores de función (para\(\mathcal{C}\) y\(\mathcal{C}_{s}^{\prime}\) -conjuntos son números reales; para\(\mathcal{C}_{\sigma}\) -conjuntos pueden alcanzar\(+\infty\)) .Esto se simboliza por
\[v : \mathcal{C} \rightarrow E^{1}\]
o
\[v : \mathcal{C}_{\sigma} \rightarrow E^{*};\]
más precisamente,
\[v : \mathcal{C}_{\sigma} \rightarrow[0, \infty],\]
ya que el volumen no es negativo.
Es natural llamar a\(v\) una función set (a diferencia de las funciones puntuales ordinarias). Como veremos, hay muchas otras funciones establecidas. Los valores de las funciones no necesitan ser reales; pueden ser números complejos o vectores. Esto concuerda con nuestra definición general de una función como un cierto conjunto de pares ordenados (Definición 3 en el Capítulo 1, §§4-7); e.g.
\[v=\left(\begin{array}{cccc}{A} & {B} & {C} & {\cdots} \\ {v A} & {v B} & {v C} & {\cdots}\end{array}\right).\]
Aquí el dominio consta de ciertos conjuntos\(A, B, C, \ldots\). Esto nos lleva a la siguiente definición.
Una función de conjunto es un mapeo
\[s : \mathcal{M} \rightarrow E\]
cuyo dominio es una familia establecida\(\mathcal{M}\).
Se supone que el espacio de rango\(E\) es\(E^{1}, E^{*}, C\) (el campo complejo)\(E^{n}\), u otro espacio normado. Por lo tanto,\(s\) puede ser real, extendido real, complejo, o vector valorado.
A cada conjunto\(X \in \mathcal{M},\) la función\(s\) asigna un valor de función único denotado\(s(X)\) o\(s X\) (que es un elemento del espacio de rango\(E).\)
Decimos que\(s\) es finito en un conjunto familia\(\mathcal{N} \subseteq \mathcal{M}\) iff
\[(\forall X \in \mathcal{N}) \quad|s X|<\infty;\]
brevemente,\(|s|<\infty\) en\(\mathcal{N}\). (Esto es automático si\(s\) es complejo o valor vectorial.)
Llamamos a s semifinito si al menos uno de\(\pm \infty\) está excluido como valor de función, por ejemplo, si está\(s \geq 0\) en\(\mathcal{M};\) i.e.
\[s : \mathcal{M} \rightarrow[0, \infty].\]
(El símbolo\(\infty\) representa a\(+\infty\) lo largo).
Una función de conjunto
\[s : \mathcal{M} \rightarrow E\]
se llama aditivo (o finitamente aditivo) en\(\mathcal{N} \subseteq \mathcal{M}\) iff para cualquier unión disjunta finita que\(\bigcup_{k} A_{k},\) tengamos
\[\sum_{k} s A_{k}=s\left(\bigcup_{k} A_{k}\right),\]
siempre\(\bigcup_{k} A_{k}\) y todos los\(A_{k}\) son\(\mathcal{N}\) -conjuntos.
Si esto también es válido para uniones disjuntas contables,\(s\) se llama\(\sigma\) -aditivo (o contablemente aditivo o completamente aditivo) en\(\mathcal{N}\).
Si\(\mathcal{N}=\mathcal{M}\) aquí, simplemente decimos que\(s\) es aditivo (\(\sigma\)-aditivo, respectivamente).
Nota 1. Como\(\bigcup A_{k}\) es independiente del orden de la\(A_{k}, \sigma\) -aditividad presupone e implica que la serie
\[\sum s A_{k}\]
es permutable (§2) para cualquier secuencia disjunta
\[\left\{A_{k}\right\} \subseteq \mathcal{N}.\]
(Las sumas parciales sí existen, por nuestras convenciones (2*) en el Capítulo 4, §4.)
Las funciones establecidas en los ejemplos siguientes son aditivas;\(v\) es par\(\sigma\) -aditiva (Corolario 1 en §2).
Los ejemplos (b) a (d) muestran que las funciones de conjunto pueden surgir de “funciones puntuales” ordinarias.
(a) La función de volumen\(v : \mathcal{C} \rightarrow E^{1}\) on\(\mathcal{C}\) (= intervalos en\(E^{n}\)), discutida anteriormente, se denomina premedida de Lebesgue (in\(E^{n}\)).
(b) Dejar\(\mathcal{M}=\{\) todos los intervalos finitos\(I \subset E^{1}\}\).
\(f : E^{1} \rightarrow E,\)Conjunto dado
\[(\forall I \in \mathcal{M}) \quad s I=V_{f}[\overline{I}],\]
la variación total de\(f\) sobre el cierre de\(I\) (Capítulo 5, §7).
Entonces\(s : \mathcal{M} \rightarrow[0, \infty]\) se aditiva por el Teorema 1 del Capítulo 5, §7.
(c) Dejar\(\mathcal{M}\) y\(f\) ser como en el Ejemplo (b).
Supongamos que\(f\) tiene una antiderivada (Capítulo 5, §5) en\(E^{1}.\) Para cada intervalo\(X\) con puntos finales\(a, b \in E^{1}(a \leq b),\) establecidos
\[s X=\int_{a}^{b} f.\]
Esto produce una función de conjunto\(s : \mathcal{M} \rightarrow E\) (real, compleja o valorada por vector), aditiva según el Corolario 6 en el Capítulo 5, §5.
(d) Dejar entrar\(\mathcal{C}=\{\) todos los intervalos finitos\(E^{1}\}\).
Supongamos
\[\alpha : E^{1} \rightarrow E^{1}\]
tiene límites finitos de un solo lado
\[\alpha(p+) \text { and } \alpha(p-)\]
en cada\((L S)\) función de\(p \in E^{1}.\) The Lebesgue-Stieltjes
\[s_{\alpha} : \mathcal{C} \rightarrow E^{1}\]
(importante para la integración de Lebesgue-Stieltjes) se define de la siguiente manera.
Establecer\(s_{\alpha} \emptyset=0.\) para intervalos no vacíos, incluido\([a, a]=\{a\},\) el conjunto
\[\begin{aligned} s_{\alpha}[a, b] &=\alpha(b+)-\alpha(a-), \\ s_{\alpha}(a, b] &=\alpha(b+)-\alpha(a+), \\ s_{\alpha}[a, b) &=\alpha(b-)-\alpha(a-), \text { and } \\ s_{\alpha}(a, b) &=\alpha(b-)-\alpha(a+). \end{aligned}\]
Para las propiedades de\(s_{\alpha}\) ver Problema 7ff., abajo.
(e) Que\(m X\) sea la masa concentrada en la parte\(X\) del espacio físico\(S\). Entonces\(m\) es una función de conjunto no negativa definida en
\[2^{S}=\{\text { all subsets } X \subseteq S\} \text{ (§3).}\]
Si en cambio\(m X\) fuera la carga eléctrica de\(X,\) entonces\(m\) sería señal de cambio.
II. El resto de esta sección es redundante para un “enfoque limitado”.
Dejar\(s : \mathcal{M} \rightarrow E\) ser aditivo en\(\mathcal{N} \subseteq \mathcal{M}.\) Let
\[A, B \in \mathcal{N}, A \subseteq B.\]
Entonces tenemos lo siguiente.
(1) Si\(|s A|<\infty\) y\(B-A \in \mathcal{N},\) luego
\[s(B-A)=s B-s A \text { ("subtractivity").}\]
(2) Si\(\emptyset \in \mathcal{N},\) entonces\(s \emptyset=0\) se prevé\(|s X|<\infty\) por lo menos uno\(X \in \mathcal{N}\).
(3) Si\(\mathcal{N}\) es un semiring, entonces\(s A=\pm \infty\)\(|s B|=\infty.\) implica
\[|s B|<\infty \Rightarrow|s A|<\infty.\]
Si además\(s\) es semifinito entonces
\[s A=\pm \infty \Rightarrow s B=\pm \infty\]
(mismo signo).
- Prueba
-
(1) Como\(B \supseteq A,\) tenemos
\[B=(B-A) \cup A \text { (disjoint);}\]
así que por aditividad,
\[s B=s(B-A)+s A.\]
Si\(|s A|<\infty,\) podemos transponer para obtener
\[s B-s A=s(B-A),\]
según lo reclamado.
(2) Por lo tanto
\[s \emptyset=s(X-X)=s X-s X=0\]
si\(X, \emptyset \in \mathcal{N},\) y\(|s X|<\infty\).
(3) Si\(\mathcal{N}\) es un semiring, entonces
\[B-A=\bigcup_{k=1}^{n} A_{k} \text { (disjoint)}\]
para algunos\(\mathcal{N}\) -conjuntos\(A_{k};\) por lo
\[B=A \cup \bigcup_{k=1}^{n} A_{k} \text { (disjoint).}\]
Por aditividad,
\[s B=s A+\sum_{k=1}^{n} s A_{k};\]
así que por nuestras convenciones,
\[|s A|=\infty \Rightarrow|s B|=\infty.\]
Si, además,\(s\) es semifinita,\(\pm \infty\) se excluye uno de. Así\(s A\) y\(s B,\) si es infinito, debe tener el mismo signo. Esto completa la prueba. \(\quad\square\)
En §§1 y 2, mostramos cómo extender la noción de volumen de intervalos a una familia de conjuntos más grandes, preservando la aditividad. Ahora generalizamos esta idea.
Si
\[s : \mathcal{C} \rightarrow E\]
es aditivo en\(\mathcal{C},\) un semiring arbitrario, hay una función de conjunto única
\[\overline{s} : \mathcal{C}_{s} \rightarrow E,\]
aditivo en\(\mathcal{C}_{s},\) con\(\overline{s}=s\) en\(\mathcal{C},\) es decir,
\[\overline{s} X=s X \text { for } X \in \mathcal{C}.\]
Llamamos a\(\overline{s}\) la extensión aditiva de\(s\) a\(\mathcal{C}_{s}=\mathcal{C}_{s}^{\prime}\) (Corolario 2 en §3).
- Prueba
-
Si\(s \geq 0(s : \mathcal{C} \rightarrow[0, \infty]),\) procede como en Lema 1 y Corolario 2, todos de §1.
La prueba general (que podrá omitirse o aplazarse) es la siguiente.
Cada uno\(X \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}\) tiene la forma
\[X=\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}(\text {disjoint}), \quad X_{i} \in \mathcal{C}.\]
Así, si\(\overline{s}\) va a ser aditivo, la única manera de definirlo es fijarlo
\[\overline{s} X=\sum_{i=1}^{m} s X_{i}.\]
Esto ya hace\(\overline{s}\) único, siempre que demostremos que
\[\sum_{i=1}^{m} s X_{i}\]
no depende de la descomposición particular
\[X=\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\]
(de lo contrario, todo es ambiguo).
Luego tome cualquier otra descomposición
\[X=\bigcup_{k=1}^{n} Y_{k} \text { (disjoint)}, \quad Y_{k} \in \mathcal{C}.\]
Aditividad implica
\[(\forall i, k) \quad s X_{i}=\sum_{k=1}^{n} s\left(X_{i} \cap Y_{k}\right) \text { and } s Y_{k}=\sum_{i=1}^{m} s\left(X_{i} \cap Y_{k}\right).\]
(¡Verifica!) De ahí
\[\sum_{i=1}^{m} s X_{i}=\sum_{i, k} s\left(X_{i} \cap Y_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n} s Y_{k}.\]
Así, en efecto, no importa qué descomposición particular escojamos, y nuestra definición de\(\overline{s}\) es inequívoca.
Si\(X \in \mathcal{C},\) podemos elegir (digamos)
\[X=\bigcup_{i=1}^{1} X_{i}, X_{1}=X;\]
por lo
\[\overline{s} X=s X_{1}=s X;\]
es decir,\(\overline{s}=s\) encendido\(\mathcal{C},\) según sea necesario.
Por último, por la aditividad de\(\overline{s},\) let
\[A=\bigcup_{k=1}^{m} B_{k} \text { (disjoint)}, \quad A, B_{k} \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}.\]
Aquí podemos establecer
\[B_{k}=\bigcup_{i=1}^{n_{k}} C_{k i} \text { (disjoint)}, \quad C_{k i} \in \mathcal{C}.\]
Entonces
\[A=\bigcup_{k, i} C_{k i} \text { (disjoint);}\]
así que por nuestra definición de\(\overline{s}\),
\[\overline{s} A=\sum_{k, i} s C_{k i}=\sum_{k=1}^{m}\left(\sum_{i=1}^{n_{k}} s C_{k i}\right)=\sum_{k=1}^{m} \overline{s} B_{k},\]
según sea necesario. \(\quad \square\)
Continuidad. Escribimos\(X_{n} \nearrow X\) para significar que
\[X=\bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}\]
y\(\left\{X_{n}\right\} \uparrow,\) es decir,
\[X_{n} \subseteq X_{n+1}, \quad n=1,2, \ldots.\]
Del mismo modo,\(X_{n} \searrow X\) iff
\[X=\bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n}\]
y\(\left\{X_{n}\right\} \downarrow,\) es decir,
\[X_{n} \supseteq X_{n+1}, \quad n=1,2, \ldots.\]
En ambos casos, establecemos
\[X=\lim _{n \rightarrow \infty} X_{n}.\]
Esto sugiere la siguiente definición.
Se dice que una función de conjunto\(s : \mathcal{M} \rightarrow E\) es
(i) izquierda continua (en\(\mathcal{M})\) iff
\[s X=\lim _{n \rightarrow \infty} s X_{n}\]
cuando\(X_{n} \nearrow X\) y\(X, X_{n} \in \mathcal{M}\);
(ii) iff continuo derecho
\[s X=\lim _{n \rightarrow \infty} s X_{n}\]
siempre que\(X_{n} \searrow X,\) con\(X, X_{n} \in \mathcal{M}\) y\(\left|s X_{j}\right|<\infty\).
Así, en el caso i),
\[\lim _{n \rightarrow \infty} s X_{n}=s \bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}\]
si todos\(X_{n}\) y\(\bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}\) son\(\mathcal{M}\) -conjuntos.
En el caso ii),
\[\lim _{n \rightarrow \infty} s X_{n}=s \bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n}\]
si todos\(X_{n}\) y\(\bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n}\) están en\(\mathcal{M},\) y\(\left|s X_{1}\right|<\infty\).
Nota 2. La última restricción se aplica únicamente a la continuidad correcta. (Elegimos simplemente excluir de las secuencias de consideración\(\left\{X_{n}\right\} \downarrow,\) con\(\left|s X_{1}\right|=\infty;\) ver Problema 4.)
Si\(s : \mathcal{C} \rightarrow E\) es\(\sigma\) -aditivo y semifinito en\(\mathcal{C}, a\) semiring, entonces\(s\) es tanto a la izquierda como a la derecha continua (brevemente, continua).
- Prueba
-
Esbozamos la prueba para anillos; para semirings, ver Problema 1.
Continuidad izquierda. Dejar\(X_{n} \nearrow X\) con\(X_{n}, X \in \mathcal{C}\) y
\[X=\bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}.\]
Si\(s X_{n}=\pm \infty\) para algunos\(n,\) entonces (Lema 3)
\[s X=s X_{m}=\pm \infty \text { for } m \geq n,\]
ya\(X \supseteq X_{m} \supseteq X_{n};\) que
\[\operatorname{lims} X_{m}=\pm \infty=s X,\]
según lo reclamado.
Asumir así todo\(s X_{n}\) finito; así\(s \emptyset=0,\) por Lema 2.
Establecer\(X_{0}=\emptyset.\) Como se ve fácilmente,
\[X=\bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(X_{n}-X_{n-1}\right) \text { (disjoint),}\]
y
\[(\forall n) \quad X_{n}-X_{n-1} \in \mathcal{C} \text { (a ring).}\]
También,
\[(\forall m \geq n) \quad X_{m}=\bigcup_{n=1}^{m}\left(X_{n}-X_{n-1}\right) \text { (disjoint).}\]
(¡Verifica!) Así, por aditividad,
\[s X_{m}=\sum_{n=1}^{m} s\left(X_{n}-X_{n-1}\right),\]
y por la supuesta\(\sigma\) -aditividad,
\[\begin{aligned} s X=s \bigcup_{n=1}^{\infty}\left(X_{n}-X_{n-1}\right) &=\sum_{n=1}^{\infty} s\left(X_{n}-X_{n-1}\right) \\ &=\lim _{m \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^{m} s\left(X_{n}-X_{n-1}\right)=\lim _{m \rightarrow \infty} s X_{m}, \end{aligned}\]
según lo reclamado.
Continuidad derecha. Dejar\(X_{n} \searrow X\) con\(X, X_{n} \in \mathcal{C}\),
\[X=\bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n},\]
y
\[\left|s X_{1}\right|<\infty.\]
Como\(X \subseteq X_{n} \subseteq X_{1},\) Lema 3 rinde eso
\[(\forall n) \quad\left|s X_{n}\right|<\infty\]
y\(|s X|<\infty\).
Como
\[X=\bigcap_{k=1}^{\infty} X_{k},\]
tenemos
\[(\forall n) \quad X_{n}=X \cup \bigcup_{k=n+1}^{\infty}\left(X_{k-1}-X_{k}\right) \text { (disjoint).}\]
(¡Verifica!) Así, por\(\sigma\) -aditividad,
\[(\forall n) \quad s X_{n}=s X+\sum_{k=n+1}^{\infty} s\left(X_{k-1}-X_{k}\right),\]
con\(|s X|<\infty,\left|s X_{n}\right|<\infty\) (ver arriba).
De ahí la suma
\[\sum_{k=n+1}^{\infty} s\left(X_{k-1}-X_{k}\right)=s X_{n}-s X\]
es finito. Por lo tanto, tiende a\(0\) ser\(n \rightarrow \infty\) (siendo el “término remanente” de una serie convergente). Así\(n \rightarrow \infty\) rinde
\[\lim _{n \rightarrow \infty} s X_{n}=s X+\lim \sum_{k=n+1}^{\infty} s\left(X_{k-1}-X_{k}\right)=s X,\]
según lo reclamado. \(\quad \square\)