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I. La letra "$$v$$" in$$v A$$ puede tratarse como un cierto símbolo de función que asigna un valor numérico (llamado “volumen”) al conjunto$$A.$$ Hasta ahora hemos definido tales “volúmenes” para todos los intervalos, luego para$$\mathcal{C}$$ -conjuntos simples, e incluso para$$\mathcal{C}_{\sigma}$$ -conjuntos en$$E^{n}$$.

Matemáticamente esto significa que la función de volumen se$$v$$ ha definido primero en$$\mathcal{C}$$ (los intervalos), luego en$$\mathcal{C}_{s}^{\prime}$$ ($$\mathcal{C}$$-conjuntos simples) y finalmente en$$\mathcal{C}_{\sigma}.$$

Así tenemos una función$$v$$ que asigna valores (“volúmenes”) no sólo a puntos individuales, como lo hacen las “funciones puntuales” ordinarias, sino a conjuntos enteros, siendo tratado cada conjunto como una sola cosa.

En otras palabras, el dominio de la función no$$v$$ es solo un conjunto de puntos, sino una familia de conjuntos ($$\mathcal{C}, \mathcal{C}_{s}^{\prime}$$, o$$\mathcal{C}_{\sigma}$$).

Los “volúmenes” asignados a tales conjuntos son los valores de función (para$$\mathcal{C}$$ y$$\mathcal{C}_{s}^{\prime}$$ -conjuntos son números reales; para$$\mathcal{C}_{\sigma}$$ -conjuntos pueden alcanzar$$+\infty$$) .Esto se simboliza por

$v : \mathcal{C} \rightarrow E^{1}$

o

$v : \mathcal{C}_{\sigma} \rightarrow E^{*};$

más precisamente,

$v : \mathcal{C}_{\sigma} \rightarrow[0, \infty],$

ya que el volumen no es negativo.

Es natural llamar a$$v$$ una función set (a diferencia de las funciones puntuales ordinarias). Como veremos, hay muchas otras funciones establecidas. Los valores de las funciones no necesitan ser reales; pueden ser números complejos o vectores. Esto concuerda con nuestra definición general de una función como un cierto conjunto de pares ordenados (Definición 3 en el Capítulo 1, §§4-7); e.g.

$v=\left(\begin{array}{cccc}{A} & {B} & {C} & {\cdots} \\ {v A} & {v B} & {v C} & {\cdots}\end{array}\right).$

Aquí el dominio consta de ciertos conjuntos$$A, B, C, \ldots$$. Esto nos lleva a la siguiente definición.

## Definición 1

Una función de conjunto es un mapeo

$s : \mathcal{M} \rightarrow E$

cuyo dominio es una familia establecida$$\mathcal{M}$$.

Se supone que el espacio de rango$$E$$ es$$E^{1}, E^{*}, C$$ (el campo complejo)$$E^{n}$$, u otro espacio normado. Por lo tanto,$$s$$ puede ser real, extendido real, complejo, o vector valorado.

A cada conjunto$$X \in \mathcal{M},$$ la función$$s$$ asigna un valor de función único denotado$$s(X)$$ o$$s X$$ (que es un elemento del espacio de rango$$E).$$

Decimos que$$s$$ es finito en un conjunto familia$$\mathcal{N} \subseteq \mathcal{M}$$ iff

$(\forall X \in \mathcal{N}) \quad|s X|<\infty;$

brevemente,$$|s|<\infty$$ en$$\mathcal{N}$$. (Esto es automático si$$s$$ es complejo o valor vectorial.)

Llamamos a s semifinito si al menos uno de$$\pm \infty$$ está excluido como valor de función, por ejemplo, si está$$s \geq 0$$ en$$\mathcal{M};$$ i.e.

$s : \mathcal{M} \rightarrow[0, \infty].$

(El símbolo$$\infty$$ representa a$$+\infty$$ lo largo).

## Definición 2

Una función de conjunto

$s : \mathcal{M} \rightarrow E$

se llama aditivo (o finitamente aditivo) en$$\mathcal{N} \subseteq \mathcal{M}$$ iff para cualquier unión disjunta finita que$$\bigcup_{k} A_{k},$$ tengamos

$\sum_{k} s A_{k}=s\left(\bigcup_{k} A_{k}\right),$

siempre$$\bigcup_{k} A_{k}$$ y todos los$$A_{k}$$ son$$\mathcal{N}$$ -conjuntos.

Si esto también es válido para uniones disjuntas contables,$$s$$ se llama$$\sigma$$ -aditivo (o contablemente aditivo o completamente aditivo) en$$\mathcal{N}$$.

Si$$\mathcal{N}=\mathcal{M}$$ aquí, simplemente decimos que$$s$$ es aditivo ($$\sigma$$-aditivo, respectivamente).

Nota 1. Como$$\bigcup A_{k}$$ es independiente del orden de la$$A_{k}, \sigma$$ -aditividad presupone e implica que la serie

$\sum s A_{k}$

es permutable (§2) para cualquier secuencia disjunta

$\left\{A_{k}\right\} \subseteq \mathcal{N}.$

(Las sumas parciales sí existen, por nuestras convenciones (2*) en el Capítulo 4, §4.)

Las funciones establecidas en los ejemplos siguientes son aditivas;$$v$$ es par$$\sigma$$ -aditiva (Corolario 1 en §2).

Los ejemplos (b) a (d) muestran que las funciones de conjunto pueden surgir de “funciones puntuales” ordinarias.

## Ejemplos

(a) La función de volumen$$v : \mathcal{C} \rightarrow E^{1}$$ on$$\mathcal{C}$$ (= intervalos en$$E^{n}$$), discutida anteriormente, se denomina premedida de Lebesgue (in$$E^{n}$$).

(b) Dejar$$\mathcal{M}=\{$$ todos los intervalos finitos$$I \subset E^{1}\}$$.

$$f : E^{1} \rightarrow E,$$Conjunto dado

$(\forall I \in \mathcal{M}) \quad s I=V_{f}[\overline{I}],$

la variación total de$$f$$ sobre el cierre de$$I$$ (Capítulo 5, §7).

Entonces$$s : \mathcal{M} \rightarrow[0, \infty]$$ se aditiva por el Teorema 1 del Capítulo 5, §7.

(c) Dejar$$\mathcal{M}$$ y$$f$$ ser como en el Ejemplo (b).

Supongamos que$$f$$ tiene una antiderivada (Capítulo 5, §5) en$$E^{1}.$$ Para cada intervalo$$X$$ con puntos finales$$a, b \in E^{1}(a \leq b),$$ establecidos

$s X=\int_{a}^{b} f.$

Esto produce una función de conjunto$$s : \mathcal{M} \rightarrow E$$ (real, compleja o valorada por vector), aditiva según el Corolario 6 en el Capítulo 5, §5.

(d) Dejar entrar$$\mathcal{C}=\{$$ todos los intervalos finitos$$E^{1}\}$$.

Supongamos

$\alpha : E^{1} \rightarrow E^{1}$

tiene límites finitos de un solo lado

$\alpha(p+) \text { and } \alpha(p-)$

en cada$$(L S)$$ función de$$p \in E^{1}.$$ The Lebesgue-Stieltjes

$s_{\alpha} : \mathcal{C} \rightarrow E^{1}$

(importante para la integración de Lebesgue-Stieltjes) se define de la siguiente manera.

Establecer$$s_{\alpha} \emptyset=0.$$ para intervalos no vacíos, incluido$$[a, a]=\{a\},$$ el conjunto

\begin{aligned} s_{\alpha}[a, b] &=\alpha(b+)-\alpha(a-), \\ s_{\alpha}(a, b] &=\alpha(b+)-\alpha(a+), \\ s_{\alpha}[a, b) &=\alpha(b-)-\alpha(a-), \text { and } \\ s_{\alpha}(a, b) &=\alpha(b-)-\alpha(a+). \end{aligned}

Para las propiedades de$$s_{\alpha}$$ ver Problema 7ff., abajo.

(e) Que$$m X$$ sea la masa concentrada en la parte$$X$$ del espacio físico$$S$$. Entonces$$m$$ es una función de conjunto no negativa definida en

$2^{S}=\{\text { all subsets } X \subseteq S\} \text{ (§3).}$

Si en cambio$$m X$$ fuera la carga eléctrica de$$X,$$ entonces$$m$$ sería señal de cambio.

II. El resto de esta sección es redundante para un “enfoque limitado”.

## lemmas

Dejar$$s : \mathcal{M} \rightarrow E$$ ser aditivo en$$\mathcal{N} \subseteq \mathcal{M}.$$ Let

$A, B \in \mathcal{N}, A \subseteq B.$

Entonces tenemos lo siguiente.

(1) Si$$|s A|<\infty$$ y$$B-A \in \mathcal{N},$$ luego

$s(B-A)=s B-s A \text { ("subtractivity").}$

(2) Si$$\emptyset \in \mathcal{N},$$ entonces$$s \emptyset=0$$ se prevé$$|s X|<\infty$$ por lo menos uno$$X \in \mathcal{N}$$.

(3) Si$$\mathcal{N}$$ es un semiring, entonces$$s A=\pm \infty$$$$|s B|=\infty.$$ implica

$|s B|<\infty \Rightarrow|s A|<\infty.$

Si además$$s$$ es semifinito entonces

$s A=\pm \infty \Rightarrow s B=\pm \infty$

(mismo signo).

Prueba

(1) Como$$B \supseteq A,$$ tenemos

$B=(B-A) \cup A \text { (disjoint);}$

$s B=s(B-A)+s A.$

Si$$|s A|<\infty,$$ podemos transponer para obtener

$s B-s A=s(B-A),$

(2) Por lo tanto

$s \emptyset=s(X-X)=s X-s X=0$

si$$X, \emptyset \in \mathcal{N},$$ y$$|s X|<\infty$$.

(3) Si$$\mathcal{N}$$ es un semiring, entonces

$B-A=\bigcup_{k=1}^{n} A_{k} \text { (disjoint)}$

para algunos$$\mathcal{N}$$ -conjuntos$$A_{k};$$ por lo

$B=A \cup \bigcup_{k=1}^{n} A_{k} \text { (disjoint).}$

$s B=s A+\sum_{k=1}^{n} s A_{k};$

así que por nuestras convenciones,

$|s A|=\infty \Rightarrow|s B|=\infty.$

Si, además,$$s$$ es semifinita,$$\pm \infty$$ se excluye uno de. Así$$s A$$ y$$s B,$$ si es infinito, debe tener el mismo signo. Esto completa la prueba. $$\quad\square$$

En §§1 y 2, mostramos cómo extender la noción de volumen de intervalos a una familia de conjuntos más grandes, preservando la aditividad. Ahora generalizamos esta idea.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Si

$s : \mathcal{C} \rightarrow E$

es aditivo en$$\mathcal{C},$$ un semiring arbitrario, hay una función de conjunto única

$\overline{s} : \mathcal{C}_{s} \rightarrow E,$

aditivo en$$\mathcal{C}_{s},$$ con$$\overline{s}=s$$ en$$\mathcal{C},$$ es decir,

$\overline{s} X=s X \text { for } X \in \mathcal{C}.$

Llamamos a$$\overline{s}$$ la extensión aditiva de$$s$$ a$$\mathcal{C}_{s}=\mathcal{C}_{s}^{\prime}$$ (Corolario 2 en §3).

Prueba

Si$$s \geq 0(s : \mathcal{C} \rightarrow[0, \infty]),$$ procede como en Lema 1 y Corolario 2, todos de §1.

La prueba general (que podrá omitirse o aplazarse) es la siguiente.

Cada uno$$X \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}$$ tiene la forma

$X=\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}(\text {disjoint}), \quad X_{i} \in \mathcal{C}.$

Así, si$$\overline{s}$$ va a ser aditivo, la única manera de definirlo es fijarlo

$\overline{s} X=\sum_{i=1}^{m} s X_{i}.$

Esto ya hace$$\overline{s}$$ único, siempre que demostremos que

$\sum_{i=1}^{m} s X_{i}$

no depende de la descomposición particular

$X=\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}$

(de lo contrario, todo es ambiguo).

Luego tome cualquier otra descomposición

$X=\bigcup_{k=1}^{n} Y_{k} \text { (disjoint)}, \quad Y_{k} \in \mathcal{C}.$

$(\forall i, k) \quad s X_{i}=\sum_{k=1}^{n} s\left(X_{i} \cap Y_{k}\right) \text { and } s Y_{k}=\sum_{i=1}^{m} s\left(X_{i} \cap Y_{k}\right).$

(¡Verifica!) De ahí

$\sum_{i=1}^{m} s X_{i}=\sum_{i, k} s\left(X_{i} \cap Y_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n} s Y_{k}.$

Así, en efecto, no importa qué descomposición particular escojamos, y nuestra definición de$$\overline{s}$$ es inequívoca.

Si$$X \in \mathcal{C},$$ podemos elegir (digamos)

$X=\bigcup_{i=1}^{1} X_{i}, X_{1}=X;$

por lo

$\overline{s} X=s X_{1}=s X;$

es decir,$$\overline{s}=s$$ encendido$$\mathcal{C},$$ según sea necesario.

Por último, por la aditividad de$$\overline{s},$$ let

$A=\bigcup_{k=1}^{m} B_{k} \text { (disjoint)}, \quad A, B_{k} \in \mathcal{C}_{s}^{\prime}.$

Aquí podemos establecer

$B_{k}=\bigcup_{i=1}^{n_{k}} C_{k i} \text { (disjoint)}, \quad C_{k i} \in \mathcal{C}.$

Entonces

$A=\bigcup_{k, i} C_{k i} \text { (disjoint);}$

así que por nuestra definición de$$\overline{s}$$,

$\overline{s} A=\sum_{k, i} s C_{k i}=\sum_{k=1}^{m}\left(\sum_{i=1}^{n_{k}} s C_{k i}\right)=\sum_{k=1}^{m} \overline{s} B_{k},$

según sea necesario. $$\quad \square$$

Continuidad. Escribimos$$X_{n} \nearrow X$$ para significar que

$X=\bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}$

y$$\left\{X_{n}\right\} \uparrow,$$ es decir,

$X_{n} \subseteq X_{n+1}, \quad n=1,2, \ldots.$

Del mismo modo,$$X_{n} \searrow X$$ iff

$X=\bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n}$

y$$\left\{X_{n}\right\} \downarrow,$$ es decir,

$X_{n} \supseteq X_{n+1}, \quad n=1,2, \ldots.$

En ambos casos, establecemos

$X=\lim _{n \rightarrow \infty} X_{n}.$

Esto sugiere la siguiente definición.

## Definición 3

Se dice que una función de conjunto$$s : \mathcal{M} \rightarrow E$$ es

(i) izquierda continua (en$$\mathcal{M})$$ iff

$s X=\lim _{n \rightarrow \infty} s X_{n}$

cuando$$X_{n} \nearrow X$$ y$$X, X_{n} \in \mathcal{M}$$;

(ii) iff continuo derecho

$s X=\lim _{n \rightarrow \infty} s X_{n}$

siempre que$$X_{n} \searrow X,$$ con$$X, X_{n} \in \mathcal{M}$$ y$$\left|s X_{j}\right|<\infty$$.

Así, en el caso i),

$\lim _{n \rightarrow \infty} s X_{n}=s \bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}$

si todos$$X_{n}$$ y$$\bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}$$ son$$\mathcal{M}$$ -conjuntos.

En el caso ii),

$\lim _{n \rightarrow \infty} s X_{n}=s \bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n}$

si todos$$X_{n}$$ y$$\bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n}$$ están en$$\mathcal{M},$$ y$$\left|s X_{1}\right|<\infty$$.

Nota 2. La última restricción se aplica únicamente a la continuidad correcta. (Elegimos simplemente excluir de las secuencias de consideración$$\left\{X_{n}\right\} \downarrow,$$ con$$\left|s X_{1}\right|=\infty;$$ ver Problema 4.)

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Si$$s : \mathcal{C} \rightarrow E$$ es$$\sigma$$ -aditivo y semifinito en$$\mathcal{C}, a$$ semiring, entonces$$s$$ es tanto a la izquierda como a la derecha continua (brevemente, continua).

Prueba

Esbozamos la prueba para anillos; para semirings, ver Problema 1.

Continuidad izquierda. Dejar$$X_{n} \nearrow X$$ con$$X_{n}, X \in \mathcal{C}$$ y

$X=\bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}.$

Si$$s X_{n}=\pm \infty$$ para algunos$$n,$$ entonces (Lema 3)

$s X=s X_{m}=\pm \infty \text { for } m \geq n,$

ya$$X \supseteq X_{m} \supseteq X_{n};$$ que

$\operatorname{lims} X_{m}=\pm \infty=s X,$

Asumir así todo$$s X_{n}$$ finito; así$$s \emptyset=0,$$ por Lema 2.

Establecer$$X_{0}=\emptyset.$$ Como se ve fácilmente,

$X=\bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(X_{n}-X_{n-1}\right) \text { (disjoint),}$

y

$(\forall n) \quad X_{n}-X_{n-1} \in \mathcal{C} \text { (a ring).}$

También,

$(\forall m \geq n) \quad X_{m}=\bigcup_{n=1}^{m}\left(X_{n}-X_{n-1}\right) \text { (disjoint).}$

$s X_{m}=\sum_{n=1}^{m} s\left(X_{n}-X_{n-1}\right),$

y por la supuesta$$\sigma$$ -aditividad,

\begin{aligned} s X=s \bigcup_{n=1}^{\infty}\left(X_{n}-X_{n-1}\right) &=\sum_{n=1}^{\infty} s\left(X_{n}-X_{n-1}\right) \\ &=\lim _{m \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^{m} s\left(X_{n}-X_{n-1}\right)=\lim _{m \rightarrow \infty} s X_{m}, \end{aligned}

Continuidad derecha. Dejar$$X_{n} \searrow X$$ con$$X, X_{n} \in \mathcal{C}$$,

$X=\bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n},$

y

$\left|s X_{1}\right|<\infty.$

Como$$X \subseteq X_{n} \subseteq X_{1},$$ Lema 3 rinde eso

$(\forall n) \quad\left|s X_{n}\right|<\infty$

y$$|s X|<\infty$$.

Como

$X=\bigcap_{k=1}^{\infty} X_{k},$

tenemos

$(\forall n) \quad X_{n}=X \cup \bigcup_{k=n+1}^{\infty}\left(X_{k-1}-X_{k}\right) \text { (disjoint).}$

(¡Verifica!) Así, por$$\sigma$$ -aditividad,

$(\forall n) \quad s X_{n}=s X+\sum_{k=n+1}^{\infty} s\left(X_{k-1}-X_{k}\right),$

con$$|s X|<\infty,\left|s X_{n}\right|<\infty$$ (ver arriba).

De ahí la suma

$\sum_{k=n+1}^{\infty} s\left(X_{k-1}-X_{k}\right)=s X_{n}-s X$

es finito. Por lo tanto, tiende a$$0$$ ser$$n \rightarrow \infty$$ (siendo el “término remanente” de una serie convergente). Así$$n \rightarrow \infty$$ rinde

$\lim _{n \rightarrow \infty} s X_{n}=s X+\lim \sum_{k=n+1}^{\infty} s\left(X_{k-1}-X_{k}\right)=s X,$

según lo reclamado. $$\quad \square$$

This page titled 7.4: Establecer funciones. Aditividad. Continuidad is shared under a CC BY 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Elias Zakon (The Trilla Group (support by Saylor Foundation)) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.