7.8: Medida Lebesgue

Consideraremos ahora el ejemplo más importante de una medida en\(E^{n},\) debido a Lebesgue. Esta medida generaliza la noción de volumen y asigna “volúmenes” a una gran familia de conjuntos, los conjuntos “Lebesgue medibles”, de manera que el “volumen” se convierte en una medida topológica completa. Para “cuerpos” en\(E^{3},\) esta medida concuerda con nuestra idea intuitiva de “volumen”.

Comenzamos con la función de volumen\(v : \mathcal{C} \rightarrow E^{1}\) (“Premedida de Lebesgue”) en el semiring\(\mathcal{C}\) de todos los intervalos en\(E^{n}\) (§1). Como vimos en §§5 y 6, esta premedida induce una medida externa\(m^{*}\) en todos los subconjuntos de\(E^{n};\) y\(m^{*},\), a su vez, induce una medida\(m\) en el\(\sigma\) campo\(\mathcal{M}^{*}\) de conjuntos\(m^{*}\) medibles. Estos conjuntos son, por definición, los conjuntos mensurables de Lebesgue (\(L\)medibles brevemente);\(m^{*}\) y\(m\) así se definen la medida externa de Lebesgue (\(n\)-dimensional) y la medida de Lebesgue.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

La premedida de Lebesgue\(v\) es\(\sigma\) -aditiva en\(\mathcal{C},\) los intervalos en\(E^{n}\). De ahí que estos últimos sean Lebesgue mensurables\(\left(\mathcal{C} \subseteq \mathcal{M}^{*}\right),\) y el volumen de cada intervalo es igual a su medida Lebesgue:

\[v=m^{*}=m \text { on } \mathcal{C}.\]

Esto sigue por Corolario 1 en §2 y Teorema 2 de §6

Nota 1. Al igual\(\mathcal{M}^{*}\) que un (\(\sigma\)-campo §6), se cierra bajo uniones contables, intersecciones contables y diferencias. Por lo tanto

\[\mathcal{C} \subseteq \mathcal{M}^{*} \text { implies } \mathcal{C}_{\sigma} \subseteq \mathcal{M}^{*};\]

es decir, cualquier unión contable de intervalos es\(L\) -medible. También,\(E^{n} \in \mathcal{M}^{*}\).

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Cualquier conjunto contable\(A \subset E^{n}\) es\(L\) -medible, con\(m A=0\).

Prueba

La prueba es como en el Corolario 6 del §2.

Corolario\(\PageIndex{2}\)

La medida Lebesgue de\(E^{n}\) es\(\infty\).

Prueba

Demostrar como en el Corolario 5 de §2.

Ejemplos

(a) Dejar

\[R=\left\{\text {rationals in } E^{1}\right\}.\]

Entonces\(R\) es contable (Corolario 3 del Capítulo 1, §9); así\(m R=0\) por Corolario 1. De manera similar para\(R^{n}\) (puntos racionales en\(E^{n})\).

b) La medida de un intervalo con puntos finales\(a, b\) adentro\(E^{1}\) es su longitud,\(b-a.\)

Let

\[R_{o}=\{\text { all rationals in }[a, b]\};\]

así\(m R_{o}=0.\) como\([a, b]\) y\(R_{o}\) están en\(\mathcal{M}^{*}\) (a\(\sigma\) -campo), así es

\[[a, b]-R_{o},\]

los irracionales en\([a, b].\) Por Lema 1 en §4, si\(b>a,\) entonces

\[m\left([a, b]-R_{o}\right)=m([a, b])-m R_{o}=m([a, b])=b-a>0=m R_{o}.\]

Esto demuestra nuevamente que los irracionales forman un conjunto “mayor” que los racionales (cf. Teorema 3 del Capítulo 1, §9).

c) Existen incontables conjuntos de medida cero (ver Problemas 8 y 10 más adelante).

Teorema\(\PageIndex{2}\)

La medida de Lebesgue en\(E^{n}\) es completa, topológica y totalmente\(\sigma\) finita. Es decir,

i) todos los conjuntos nulos (subconjuntos de conjuntos de medida cero) son\(L\) medibles;

ii) así son todos los conjuntos abiertos, de\(\left(\mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{G}\right),\) ahí todos los conjuntos Borel\(\left(\mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{B}\right);\) en particular,\(\mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{F}, \mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{G}_{\delta}, \mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{F}_{\sigma}, \mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{F}_{\sigma \delta},\) etc.;

(iii) cada uno\(A \in \mathcal{M}^{*}\) es una unión contable de conjuntos disjuntos de medida finita.

Prueba

(i) Esto sigue por el Teorema 1 en §6.

(ii) Por Lema 2 en §2, cada conjunto abierto está en,\(\mathcal{C}_{\sigma},\) por lo tanto, en\(\mathcal{M}^{*}\) (Nota 1). Así\(\mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{G}.\) Pero por definición, el campo Borel\(\mathcal{B}\) es el menos\(\sigma\) -anillo\(\supseteq \mathcal{G}.\) De ahí\(\mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{B}^{*}\).

iii) Como\(E^{n}\) está abierto, es una unión contable de intervalos semiabiertos disjuntos,

\[E^{n}=\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \text { (disjoint),}\]

con\(m A_{k}<\infty\) (Lema 2 §2). De ahí

\[\left(\forall A \subseteq E^{n}\right) \quad A \subseteq \bigcup A_{k};\]

por lo

\[A=\bigcup_{k}\left(A \cap A_{k}\right) \text { (disjoint).}\]

Si, además,\(A \in \mathcal{M}^{*},\) entonces\(A \cap A_{k} \in \mathcal{M}^{*},\) y

\[m\left(A \cap A_{k}\right) \leq m A_{k}<\infty. \text{ (Why?)} \quad \square\]

Nota 2. Más generalmente, un conjunto\(\sigma\) -finito\(A \in \mathcal{M}\) en un espacio de medida\((S, \mathcal{M}, \mu)\) es una unión contable de conjuntos disjuntos de medidas finitas (Corolario 1 de §1).

Nota 3. No todos los conjuntos\(L\) medibles son conjuntos Borel. Por otro lado, no todos los conjuntos en\(E^{n}\) son\(L\) -mensurables (ver Problemas 6 y 9 a continuación.)

Teorema\(\PageIndex{3}\)

a) La medida exterior de Lebesgue\(m^{*}\) en\(E^{n}\) es\(\mathcal{G}\) -regular; es decir,

\[\left(\forall A \subseteq E^{n}\right) \quad m^{*} A=\inf \{m X | A \subseteq X \in \mathcal{G}\}\]

(juegos\(\mathcal{G}=\) abiertos en\(E^{n}\)).

(b)\(m\) La medida de Lebesgue es fuertemente regular (Definición 5 y Teoremas 1 y 2, todos en §7).

Prueba

Por definición,\(m^{*} A\) es el glb de todos los valores de cobertura de base de\(A.\) Así dado\(\varepsilon>0,\) hay una cobertura básica\(\left\{B_{k}\right\} \subseteq \mathcal{C}\) de conjuntos no vacíos\(B_{k}\) tal que

\[A \subseteq \bigcup B_{k} \text { and } m^{*} A+\frac{1}{2} \varepsilon \geq \sum_{k} v B_{k}.\]

(¿Por qué? ¿Y si\(m^{*} A=\infty\)?)

Ahora, por Lema 1 en §2, arregle para cada uno\(B_{k}\) un intervalo abierto de\(C_{k} \supseteq B_{k}\) tal manera que

\[v C_{k}-\frac{\varepsilon}{2^{k+1}}<v B_{k}.\]

Luego (2) rinde

\[m^{*} A+\frac{1}{2} \varepsilon \geq \sum_{k}\left(v C_{k}-\frac{\varepsilon}{2^{k+1}}\right)=\sum_{k} v C_{k}-\frac{1}{2} \varepsilon;\]

así por\(\sigma\) -subaditividad,

\[m \bigcup_{k} C_{k} \leq \sum_{k} m C_{k}=\sum_{k} v C_{k} \leq m^{*} A+\varepsilon.\]

Let

\[X=\bigcup_{k} C_{k}.\]

Entonces\(X\) está abierto (como las\(C_{k}\) son). Además,\(A \subseteq X,\) y por (3),

\[m X \leq m^{*} A+\varepsilon.\]

Así, en efecto,\(m^{*} A\) es el\(g l b\) de todas\(m X, A \subseteq X \in \mathcal{G},\) las pruebas (a).

En particular, si\(A \in \mathcal{M}^{*},\) (1) muestra que\(m\) es regular (for\(m^{*} A=m A). Also, by Theorem 2, \(m\) es\(\sigma\) -finito, y\(E^{n} \in \mathcal{M}^{*};\) así (b) sigue por el Teorema 1 en §7. \(\quad \square\)