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# 7.8.E: Problemas en la Medida Lebesgue

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Rellene todos los detalles en la prueba de los Teoremas 3 y 4.

## Ejercicio$$\PageIndex{1'}$$

Demostrar Nota 2.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Del Teorema 3 deducir que
$\left(\forall A \subseteq E^{n}\right)\left(\exists B \in \mathcal{G}_{\delta}\right) \quad A \subseteq B \text { and } m^{*} A=m B.$
[Pista: Ver la pista al Problema 7 en §5.]

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Revisar Problema 3 en §5.

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Considera todas las
$R+p \quad\left(p \in E^{1}\right)$
$R=\left\{\text {rationals in } E^{1}\right\}.$
Probar lo siguiente.
(i) Cualquiera de esas dos traducciones son disjuntas o idénticas.
(ii) Cada uno$$R+p$$ contiene al menos un elemento de$$[0,1]$$.
[Pista para (ii): Fijar un racional$$y \in(-p, 1-p),$$ así$$0<y+p<1.$$ Entonces$$y+p \in R+p$$, y$$y+p \in[0,1]$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Continuando Problema 4, elige un elemento$$q \in[0,1]$$ de cada$$R+p.$$ Let$$Q$$ Ser el conjunto de todos$$q$$ así elegidos.
Llamar a un traducir de$$Q, Q+r,$$ “bueno” iff$$r \in R$$ y$$|r|<1.$$ Let$$U$$ be the union of all “good” translate of$$Q.$$
Probar lo siguiente.
a) Sólo hay contablemente muchos “buenos”$$Q+r$$.
(b) Todos ellos yacen en$$[-1,2]$$.
c) Dos cualesquiera de ellos son disjuntos o idénticos.
d)$$[0,1] \subseteq U \subseteq[-1,2] ;$$ por lo tanto$$1 \leq m^{*} U \leq 3$$.
[Pista para (c): Supongamos
$y \in(Q+r) \cap\left(Q+r^{\prime}\right).$

$y=q+r=q^{\prime}+r^{\prime} \quad\left(q, q^{\prime} \in Q, r, r^{\prime} \in R\right);$
Entonces así$$q=q^{\prime}+\left(r^{\prime}-r\right),$$ con$$\left(r^{\prime}-r\right) \in R$$.
Así$$q \in R+q^{\prime}$$ y$$q^{\prime}=0+q^{\prime} \in R+q^{\prime}.$$ Deducir eso$$q=q^{\prime}$$ y$$r=r^{\prime} =;$$ por lo tanto$$Q+r=Q+r^{\prime}$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Demostrar que$$Q$$ en el Problema 5 no es L-medible.
[Pista: De lo contrario, por el Teorema 4, cada uno$$Q+r$$ es L-medible, con$$m(Q+r)=m Q.$$ Por 5 (a) (c),$$U$$ es una unión disjunta contable de “bueno” traduce.
Deducir que$$m U=0$$ si$$m Q=0,$$ o$$m U=\infty,$$ contrario a lo dispuesto en el inciso d) del 5.]

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Demuestre que si$$f : S \rightarrow T$$ es continuo, entonces$$f^{-1}[X]$$ es un Borel ambientado en$$S$$ cada vez que$$X \in \mathcal{B}$$ en$$T$$.
[Pista: Usando la Nota 1 en §7, mostrar que
$\mathcal{R}=\left\{X \subseteq T | f^{-1}[X] \in \mathcal{B} \text { in } S\right\}$
es un$$\sigma$$ anillo -en$$T.$$ As$$\mathcal{B}$$ es el menos$$\sigma$$ -anillo$$\supseteq \mathcal{G}, \mathcal{R} \supseteq \mathcal{B}$$ (el campo Borel en$$T$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Demostrar que cada intervalo degenerado en$$E^{n}$$ tiene medida Lebesgue$$0,$$ aunque sea incontable. Dé un ejemplo en$$E^{2}.$$ Demostrar la inccountabilidad.
[Pista: Toma$$\overline{a}=(0,0), \overline{b}=(0,1).$$ Definir$$f : E^{1} \rightarrow E^{2}$$ por$$f(x)=(0, x).$$ Show que$$f$$ es uno a uno y esa$$[\overline{a}, \overline{b}]$$ es la$$f$$ imagen -del Problema de$$[0,1].$$ Uso 2 del Capítulo 1, §9.]

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Demuestre que no todos los conjuntos medibles en L son conjuntos de Borel$$E^{n}$$.
[Pista para$$E^{2}:$$ Con$$[\overline{a}, \overline{b}]$$ y$$f$$ como en Problema 8, mostrar que$$f$$ es continuo (use el criterio secuencial). Como$$m[\overline{a}, \overline{b}]=0,$$ todos los subconjuntos de$$[\overline{a}, \overline{b}]$$ están en$$\mathcal{M}^{*}$$ (Teorema 2 (i)), de ahí en$$\mathcal{B}$$ si asumimos$$\mathcal{M}^{*}=\mathcal{B}$$. Pero entonces por el Problema 7, lo mismo se aplicaría a los subconjuntos de$$[0,1],$$ contrarios al Problema 6.
Dar una prueba similar para$$E^{n}(n>1)$$.
Nota: En$$E^{1},$$ también,$$\mathcal{B} \neq \mathcal{M}^{*},$$ pero es necesaria una prueba diferente. Lo omitimos.]

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Demostrar que el conjunto de Cantor$$P$$ (Problema 17 en el Capítulo 3, 14) tiene Lebesgue medida cero, aunque sea incontable.
[Esquema: Que
$U=[0,1]-P;$
así$$U$$ sea la unión de intervalos abiertos quitada de$$[0,1].$$ Mostrar eso
$m U=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=1$
y usar Lemma 1 en §4.]

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

$$\mu : \mathcal{B} \rightarrow E^{*}$$Sea la restricción de Borel de la medida Lebesgue$$m$$ en$$E^{n}$$ (§7). Demostrar que
(i)$$\mu$$ en incompleto;
(ii)$$m$$ es la extensión Lebesgue (* y finalización, como en el Problema 15 de §6) de$$\mu.$$
[Consejos: (i) Por Problema 9, algunos conjuntos$$\mu$$ -nulos no están en$$\mathcal{B}.$$ (ii) Ver la prueba (final) del Teorema 2 en §9 (la siguiente sección).]

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Demostrar lo siguiente.
(i) Todos los intervalos$$E^{n}$$ son conjuntos de Borel.
(ii) El$$\sigma$$ -anillo generado por alguna de las familias$$\mathcal{C}$$ o$$\mathcal{C}^{\prime}$$ en el Problema 3 de §5 coincide con el campo Borel en$$E^{n}.$$
[Consejos: (i) Cualquier intervalo surge de uno cerrado al dejar caer algunas “caras” (intervalos cerrados degenerados). (ii) Usar Lema 2 de §2 y Problema 7 de §3.]

## Ejercicio$$\PageIndex{13*}$$

Demostrar que si una medida$$m^{\prime}: \mathcal{M}^{\prime} \rightarrow E^{*}$$ en$$E^{n}$$ está de acuerdo en intervalos con la medida de Lebesgue$$m: \mathcal{M}^{*} \rightarrow E^{*},$$ entonces lo siguiente es cierto.
(i)$$m^{\prime}=m$$ en$$\mathcal{B},$$ el campo Borel en$$E^{n}$$.
(ii) Si también$$m^{\prime}$$ está completo, entonces$$m^{\prime}=m$$ adelante$$\mathcal{M}^{*}$$.
[Pista: (i) Uso Problema 13 de §5 y Problema 12 anterior.]

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Mostrar que los globos de igual radio tienen la misma medida de Lebesgue.
[Pista: Utilice el teorema 4.]

## Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Vamos$$f : E^{n} \rightarrow E^{n},$$ con
$f(\overline{x})=c \overline{x} \quad(0<c<\infty).$
Demostrar lo siguiente.
(i)$$(\forall A \subseteq E^{n}) m^{*} f[A]=c^{n} m^{*} A$$ (Medida exterior de$$m^{*}=$$ Lebesgue).
ii)$$A \in \mathcal{M}^{*}$$ iff$$f[A] \in \mathcal{M}^{*}$$.
[Pista: Si, digamos,$$A=(\overline{a}, \overline{b}],$$ entonces$$f[A]=(c \overline{a}, c \overline{b}].$$ (¿Por qué?) Proceder como en el Teorema 4, utilizando$$f^{-1}$$ también.]

## Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

De los Problemas 14 y 15 muestran que
(i)$$m G_{\overline{p}}(c r)=c^{n} \cdot m G_{\overline{p}}(r)$$;
(ii)$$m G_{\overline{p}}(r)=m \overline{G}_{\overline{p}}(r)$$;
(iii)$$m G_{\overline{p}}(r)=a \cdot m I,$$ dónde$$I$$ está inscrito el cubo$$G_{\overline{p}}(r)$$ y
$a=\left(\frac{1}{2} \sqrt{n}\right)^{n} \cdot m G_{\overline{0}}(1).$
[Consejos: (i)$$f\left[G_{\overline{0}}(r)\right]=G_{\overline{0}}(c r).$$ (ii) Demostrar que
$m G_{\overline{p}} \leq m \overline{G}_{\overline{p}} \leq c^{n} m G_{\overline{p}}$
si se$$c>1.$$ deja$$c \rightarrow 1$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

Dado$$a<b$$ en$$E^{1},$$ dejar$$\left\{r_{n}\right\}$$ ser la secuencia de todos los racionales en$$A=[a, b].$$
Set$$(\forall n)$$
$\delta_{n}=\frac{b-a}{2^{n+1}}$
y
$G_{n}=\left(a_{n}, b_{n}\right)=(a, b) \cap\left(r_{n}-\frac{1}{2} \delta_{n}, r_{n}+\frac{1}{2} \delta_{n}\right).$
Let
$P=A-\bigcup_{n=1}^{\infty} G_{n}.$
Probar lo siguiente.
(i)$$\sum_{n=1}^{\infty} \delta_{n}=\frac{1}{2}(b-a)=\frac{1}{2} m A$$.
(ii)$$P$$ está cerrado;$$P^{o}=\emptyset,$$ sin embargo$$m P>0$$.
(iii) La$$G_{n}$$ puede hacerse disjunta (ver Problema 3 en §2), con$$m P$$ todavía$$>0.$$
(iv) Construir tal$$P \subseteq A\left(P=\overline{P}, P^{o}=\emptyset\right)$$ medida prescrita$$m P=\varepsilon>0$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

Encuentra un set abierto$$G \subset E^{1},$$ con$$m G<m \overline{G}<\infty.$$
[Pista:$$G=\cup_{n=1}^{\infty} G_{n}$$ con$$G_{n}$$ como en Problema 17.]

## Ejercicio$$\PageIndex{19*}$$

Si$$A \subseteq E^{n}$$ es abierto y convexo, entonces$$m A=m \overline{A}$$.
[Pista: Primero$$\overline{0} \in A.$$ Argumentemos como en el Problema 16.]

7.8.E: Problemas en la Medida Lebesgue is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.