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LibreTexts Español

7.8.E: Problemas en la Medida Lebesgue

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Ejercicio\PageIndex{1}

Rellene todos los detalles en la prueba de los Teoremas 3 y 4.

Ejercicio\PageIndex{1'}

Demostrar Nota 2.

Ejercicio\PageIndex{2}

Del Teorema 3 deducir que
\left(\forall A \subseteq E^{n}\right)\left(\exists B \in \mathcal{G}_{\delta}\right) \quad A \subseteq B \text { and } m^{*} A=m B.
[Pista: Ver la pista al Problema 7 en §5.]

Ejercicio\PageIndex{3}

Revisar Problema 3 en §5.

Ejercicio\PageIndex{4}

Considera todas las
R+p \quad\left(p \in E^{1}\right)
traducciones de
R=\left\{\text {rationals in } E^{1}\right\}.
Probar lo siguiente.
(i) Cualquiera de esas dos traducciones son disjuntas o idénticas.
(ii) Cada unoR+p contiene al menos un elemento de[0,1].
[Pista para (ii): Fijar un racionaly \in(-p, 1-p), así0<y+p<1. Entoncesy+p \in R+p, yy+p \in[0,1].]

Ejercicio\PageIndex{5}

Continuando Problema 4, elige un elementoq \in[0,1] de cadaR+p. LetQ Ser el conjunto de todosq así elegidos.
Llamar a un traducir deQ, Q+r, “bueno” iffr \in R y|r|<1. LetU be the union of all “good” translate ofQ.
Probar lo siguiente.
a) Sólo hay contablemente muchos “buenos”Q+r.
(b) Todos ellos yacen en[-1,2].
c) Dos cualesquiera de ellos son disjuntos o idénticos.
d)[0,1] \subseteq U \subseteq[-1,2] ; por lo tanto1 \leq m^{*} U \leq 3.
[Pista para (c): Supongamos
y \in(Q+r) \cap\left(Q+r^{\prime}\right).

y=q+r=q^{\prime}+r^{\prime} \quad\left(q, q^{\prime} \in Q, r, r^{\prime} \in R\right);
Entonces asíq=q^{\prime}+\left(r^{\prime}-r\right), con\left(r^{\prime}-r\right) \in R.
Asíq \in R+q^{\prime} yq^{\prime}=0+q^{\prime} \in R+q^{\prime}. Deducir esoq=q^{\prime} yr=r^{\prime} =; por lo tantoQ+r=Q+r^{\prime}.]

Ejercicio\PageIndex{6}

Demostrar queQ en el Problema 5 no es L-medible.
[Pista: De lo contrario, por el Teorema 4, cada unoQ+r es L-medible, conm(Q+r)=m Q. Por 5 (a) (c),U es una unión disjunta contable de “bueno” traduce.
Deducir quem U=0 sim Q=0, om U=\infty, contrario a lo dispuesto en el inciso d) del 5.]

Ejercicio\PageIndex{7}

Demuestre que sif : S \rightarrow T es continuo, entoncesf^{-1}[X] es un Borel ambientado enS cada vez queX \in \mathcal{B} enT.
[Pista: Usando la Nota 1 en §7, mostrar que
\mathcal{R}=\left\{X \subseteq T | f^{-1}[X] \in \mathcal{B} \text { in } S\right\}
es un\sigma anillo -enT. As\mathcal{B} es el menos\sigma -anillo\supseteq \mathcal{G}, \mathcal{R} \supseteq \mathcal{B} (el campo Borel enT.]

Ejercicio\PageIndex{8}

Demostrar que cada intervalo degenerado enE^{n} tiene medida Lebesgue0, aunque sea incontable. Dé un ejemplo enE^{2}. Demostrar la inccountabilidad.
[Pista: Toma\overline{a}=(0,0), \overline{b}=(0,1). Definirf : E^{1} \rightarrow E^{2} porf(x)=(0, x). Show quef es uno a uno y esa[\overline{a}, \overline{b}] es laf imagen -del Problema de[0,1]. Uso 2 del Capítulo 1, §9.]

Ejercicio\PageIndex{9}

Demuestre que no todos los conjuntos medibles en L son conjuntos de BorelE^{n}.
[Pista paraE^{2}: Con[\overline{a}, \overline{b}] yf como en Problema 8, mostrar quef es continuo (use el criterio secuencial). Comom[\overline{a}, \overline{b}]=0, todos los subconjuntos de[\overline{a}, \overline{b}] están en\mathcal{M}^{*} (Teorema 2 (i)), de ahí en\mathcal{B} si asumimos\mathcal{M}^{*}=\mathcal{B}. Pero entonces por el Problema 7, lo mismo se aplicaría a los subconjuntos de[0,1], contrarios al Problema 6.
Dar una prueba similar paraE^{n}(n>1).
Nota: EnE^{1}, también,\mathcal{B} \neq \mathcal{M}^{*}, pero es necesaria una prueba diferente. Lo omitimos.]

Ejercicio\PageIndex{10}

Demostrar que el conjunto de CantorP (Problema 17 en el Capítulo 3, 14) tiene Lebesgue medida cero, aunque sea incontable.
[Esquema: Que
U=[0,1]-P;
asíU sea la unión de intervalos abiertos quitada de[0,1]. Mostrar eso
m U=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=1
y usar Lemma 1 en §4.]

Ejercicio\PageIndex{11}

\mu : \mathcal{B} \rightarrow E^{*}Sea la restricción de Borel de la medida Lebesguem enE^{n} (§7). Demostrar que
(i)\mu en incompleto;
(ii)m es la extensión Lebesgue (* y finalización, como en el Problema 15 de §6) de\mu.
[Consejos: (i) Por Problema 9, algunos conjuntos\mu -nulos no están en\mathcal{B}. (ii) Ver la prueba (final) del Teorema 2 en §9 (la siguiente sección).]

Ejercicio\PageIndex{12}

Demostrar lo siguiente.
(i) Todos los intervalosE^{n} son conjuntos de Borel.
(ii) El\sigma -anillo generado por alguna de las familias\mathcal{C} o\mathcal{C}^{\prime} en el Problema 3 de §5 coincide con el campo Borel enE^{n}.
[Consejos: (i) Cualquier intervalo surge de uno cerrado al dejar caer algunas “caras” (intervalos cerrados degenerados). (ii) Usar Lema 2 de §2 y Problema 7 de §3.]

Ejercicio\PageIndex{13*}

Demostrar que si una medidam^{\prime}: \mathcal{M}^{\prime} \rightarrow E^{*} enE^{n} está de acuerdo en intervalos con la medida de Lebesguem: \mathcal{M}^{*} \rightarrow E^{*}, entonces lo siguiente es cierto.
(i)m^{\prime}=m en\mathcal{B}, el campo Borel enE^{n}.
(ii) Si tambiénm^{\prime} está completo, entoncesm^{\prime}=m adelante\mathcal{M}^{*}.
[Pista: (i) Uso Problema 13 de §5 y Problema 12 anterior.]

Ejercicio\PageIndex{14}

Mostrar que los globos de igual radio tienen la misma medida de Lebesgue.
[Pista: Utilice el teorema 4.]

Ejercicio\PageIndex{15}

Vamosf : E^{n} \rightarrow E^{n}, con
f(\overline{x})=c \overline{x} \quad(0<c<\infty).
Demostrar lo siguiente.
(i)(\forall A \subseteq E^{n}) m^{*} f[A]=c^{n} m^{*} A (Medida exterior dem^{*}= Lebesgue).
ii)A \in \mathcal{M}^{*} ifff[A] \in \mathcal{M}^{*}.
[Pista: Si, digamos,A=(\overline{a}, \overline{b}], entoncesf[A]=(c \overline{a}, c \overline{b}]. (¿Por qué?) Proceder como en el Teorema 4, utilizandof^{-1} también.]

Ejercicio\PageIndex{16}

De los Problemas 14 y 15 muestran que
(i)m G_{\overline{p}}(c r)=c^{n} \cdot m G_{\overline{p}}(r);
(ii)m G_{\overline{p}}(r)=m \overline{G}_{\overline{p}}(r);
(iii)m G_{\overline{p}}(r)=a \cdot m I, dóndeI está inscrito el cuboG_{\overline{p}}(r) y
a=\left(\frac{1}{2} \sqrt{n}\right)^{n} \cdot m G_{\overline{0}}(1).
[Consejos: (i)f\left[G_{\overline{0}}(r)\right]=G_{\overline{0}}(c r). (ii) Demostrar que
m G_{\overline{p}} \leq m \overline{G}_{\overline{p}} \leq c^{n} m G_{\overline{p}}
si sec>1. dejac \rightarrow 1.]

Ejercicio\PageIndex{17}

Dadoa<b enE^{1}, dejar\left\{r_{n}\right\} ser la secuencia de todos los racionales enA=[a, b].
Set(\forall n)
\delta_{n}=\frac{b-a}{2^{n+1}}
y
G_{n}=\left(a_{n}, b_{n}\right)=(a, b) \cap\left(r_{n}-\frac{1}{2} \delta_{n}, r_{n}+\frac{1}{2} \delta_{n}\right).
Let
P=A-\bigcup_{n=1}^{\infty} G_{n}.
Probar lo siguiente.
(i)\sum_{n=1}^{\infty} \delta_{n}=\frac{1}{2}(b-a)=\frac{1}{2} m A.
(ii)P está cerrado;P^{o}=\emptyset, sin embargom P>0.
(iii) LaG_{n} puede hacerse disjunta (ver Problema 3 en §2), conm P todavía>0.
(iv) Construir talP \subseteq A\left(P=\overline{P}, P^{o}=\emptyset\right) medida prescritam P=\varepsilon>0.

Ejercicio\PageIndex{18}

Encuentra un set abiertoG \subset E^{1}, conm G<m \overline{G}<\infty.
[Pista:G=\cup_{n=1}^{\infty} G_{n} conG_{n} como en Problema 17.]

Ejercicio\PageIndex{19*}

SiA \subseteq E^{n} es abierto y convexo, entoncesm A=m \overline{A}.
[Pista: Primero\overline{0} \in A. Argumentemos como en el Problema 16.]


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