7.8.E: Problemas en la Medida Lebesgue

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Rellene todos los detalles en la prueba de los Teoremas 3 y 4.

Ejercicio\(\PageIndex{1'}\)

Demostrar Nota 2.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Del Teorema 3 deducir que
\[\left(\forall A \subseteq E^{n}\right)\left(\exists B \in \mathcal{G}_{\delta}\right) \quad A \subseteq B \text { and } m^{*} A=m B.\]
[Pista: Ver la pista al Problema 7 en §5.]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Revisar Problema 3 en §5.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Considera todas las
\[R+p \quad\left(p \in E^{1}\right)\]
traducciones de
\[R=\left\{\text {rationals in } E^{1}\right\}.\]
Probar lo siguiente.
(i) Cualquiera de esas dos traducciones son disjuntas o idénticas.
(ii) Cada uno\(R+p\) contiene al menos un elemento de\([0,1]\).
[Pista para (ii): Fijar un racional\(y \in(-p, 1-p),\) así\(0<y+p<1.\) Entonces\(y+p \in R+p\), y\(y+p \in[0,1]\).]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Continuando Problema 4, elige un elemento\(q \in[0,1]\) de cada\(R+p.\) Let\(Q\) Ser el conjunto de todos\(q\) así elegidos.
Llamar a un traducir de\(Q, Q+r,\) “bueno” iff\(r \in R\) y\(|r|<1.\) Let\(U\) be the union of all “good” translate of\(Q.\)
Probar lo siguiente.
a) Sólo hay contablemente muchos “buenos”\(Q+r\).
(b) Todos ellos yacen en\([-1,2]\).
c) Dos cualesquiera de ellos son disjuntos o idénticos.
d)\([0,1] \subseteq U \subseteq[-1,2] ;\) por lo tanto\(1 \leq m^{*} U \leq 3\).
[Pista para (c): Supongamos
\[y \in(Q+r) \cap\left(Q+r^{\prime}\right).\]

\[y=q+r=q^{\prime}+r^{\prime} \quad\left(q, q^{\prime} \in Q, r, r^{\prime} \in R\right);\]
Entonces así\(q=q^{\prime}+\left(r^{\prime}-r\right),\) con\(\left(r^{\prime}-r\right) \in R\).
Así\(q \in R+q^{\prime}\) y\(q^{\prime}=0+q^{\prime} \in R+q^{\prime}.\) Deducir eso\(q=q^{\prime}\) y\(r=r^{\prime} =;\) por lo tanto\(Q+r=Q+r^{\prime}\).]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar que\(Q\) en el Problema 5 no es L-medible.
[Pista: De lo contrario, por el Teorema 4, cada uno\(Q+r\) es L-medible, con\(m(Q+r)=m Q.\) Por 5 (a) (c),\(U\) es una unión disjunta contable de “bueno” traduce.
Deducir que\(m U=0\) si\(m Q=0,\) o\(m U=\infty,\) contrario a lo dispuesto en el inciso d) del 5.]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demuestre que si\(f : S \rightarrow T\) es continuo, entonces\(f^{-1}[X]\) es un Borel ambientado en\(S\) cada vez que\(X \in \mathcal{B}\) en\(T\).
[Pista: Usando la Nota 1 en §7, mostrar que
\[\mathcal{R}=\left\{X \subseteq T | f^{-1}[X] \in \mathcal{B} \text { in } S\right\}\]
es un\(\sigma\) anillo -en\(T.\) As\(\mathcal{B}\) es el menos\(\sigma\) -anillo\(\supseteq \mathcal{G}, \mathcal{R} \supseteq \mathcal{B}\) (el campo Borel en\(T\).]

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Demostrar que cada intervalo degenerado en\(E^{n}\) tiene medida Lebesgue\(0,\) aunque sea incontable. Dé un ejemplo en\(E^{2}.\) Demostrar la inccountabilidad.
[Pista: Toma\(\overline{a}=(0,0), \overline{b}=(0,1).\) Definir\(f : E^{1} \rightarrow E^{2}\) por\(f(x)=(0, x).\) Show que\(f\) es uno a uno y esa\([\overline{a}, \overline{b}]\) es la\(f\) imagen -del Problema de\([0,1].\) Uso 2 del Capítulo 1, §9.]

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Demuestre que no todos los conjuntos medibles en L son conjuntos de Borel\(E^{n}\).
[Pista para\(E^{2}:\) Con\([\overline{a}, \overline{b}]\) y\(f\) como en Problema 8, mostrar que\(f\) es continuo (use el criterio secuencial). Como\(m[\overline{a}, \overline{b}]=0,\) todos los subconjuntos de\([\overline{a}, \overline{b}]\) están en\(\mathcal{M}^{*}\) (Teorema 2 (i)), de ahí en\(\mathcal{B}\) si asumimos\(\mathcal{M}^{*}=\mathcal{B}\). Pero entonces por el Problema 7, lo mismo se aplicaría a los subconjuntos de\([0,1],\) contrarios al Problema 6.
Dar una prueba similar para\(E^{n}(n>1)\).
Nota: En\(E^{1},\) también,\(\mathcal{B} \neq \mathcal{M}^{*},\) pero es necesaria una prueba diferente. Lo omitimos.]

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Demostrar que el conjunto de Cantor\(P\) (Problema 17 en el Capítulo 3, 14) tiene Lebesgue medida cero, aunque sea incontable.
[Esquema: Que
\[U=[0,1]-P;\]
así\(U\) sea la unión de intervalos abiertos quitada de\([0,1].\) Mostrar eso
\[m U=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=1\]
y usar Lemma 1 en §4.]

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

\(\mu : \mathcal{B} \rightarrow E^{*}\)Sea la restricción de Borel de la medida Lebesgue\(m\) en\(E^{n}\) (§7). Demostrar que
(i)\(\mu\) en incompleto;
(ii)\(m\) es la extensión Lebesgue (* y finalización, como en el Problema 15 de §6) de\(\mu.\)
[Consejos: (i) Por Problema 9, algunos conjuntos\(\mu\) -nulos no están en\(\mathcal{B}.\) (ii) Ver la prueba (final) del Teorema 2 en §9 (la siguiente sección).]

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Demostrar lo siguiente.
(i) Todos los intervalos\(E^{n}\) son conjuntos de Borel.
(ii) El\(\sigma\) -anillo generado por alguna de las familias\(\mathcal{C}\) o\(\mathcal{C}^{\prime}\) en el Problema 3 de §5 coincide con el campo Borel en\(E^{n}.\)
[Consejos: (i) Cualquier intervalo surge de uno cerrado al dejar caer algunas “caras” (intervalos cerrados degenerados). (ii) Usar Lema 2 de §2 y Problema 7 de §3.]

Ejercicio\(\PageIndex{13*}\)

Demostrar que si una medida\(m^{\prime}: \mathcal{M}^{\prime} \rightarrow E^{*}\) en\(E^{n}\) está de acuerdo en intervalos con la medida de Lebesgue\(m: \mathcal{M}^{*} \rightarrow E^{*},\) entonces lo siguiente es cierto.
(i)\(m^{\prime}=m\) en\(\mathcal{B},\) el campo Borel en\(E^{n}\).
(ii) Si también\(m^{\prime}\) está completo, entonces\(m^{\prime}=m\) adelante\(\mathcal{M}^{*}\).
[Pista: (i) Uso Problema 13 de §5 y Problema 12 anterior.]

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Mostrar que los globos de igual radio tienen la misma medida de Lebesgue.
[Pista: Utilice el teorema 4.]

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Vamos\(f : E^{n} \rightarrow E^{n},\) con
\[f(\overline{x})=c \overline{x} \quad(0<c<\infty).\]
Demostrar lo siguiente.
(i)\((\forall A \subseteq E^{n}) m^{*} f[A]=c^{n} m^{*} A\) (Medida exterior de\(m^{*}=\) Lebesgue).
ii)\(A \in \mathcal{M}^{*}\) iff\(f[A] \in \mathcal{M}^{*}\).
[Pista: Si, digamos,\(A=(\overline{a}, \overline{b}],\) entonces\(f[A]=(c \overline{a}, c \overline{b}].\) (¿Por qué?) Proceder como en el Teorema 4, utilizando\(f^{-1}\) también.]

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

De los Problemas 14 y 15 muestran que
(i)\(m G_{\overline{p}}(c r)=c^{n} \cdot m G_{\overline{p}}(r)\);
(ii)\(m G_{\overline{p}}(r)=m \overline{G}_{\overline{p}}(r)\);
(iii)\(m G_{\overline{p}}(r)=a \cdot m I,\) dónde\(I\) está inscrito el cubo\(G_{\overline{p}}(r)\) y
\[a=\left(\frac{1}{2} \sqrt{n}\right)^{n} \cdot m G_{\overline{0}}(1).\]
[Consejos: (i)\(f\left[G_{\overline{0}}(r)\right]=G_{\overline{0}}(c r).\) (ii) Demostrar que
\[m G_{\overline{p}} \leq m \overline{G}_{\overline{p}} \leq c^{n} m G_{\overline{p}}\]
si se\(c>1.\) deja\(c \rightarrow 1\).]

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Dado\(a<b\) en\(E^{1},\) dejar\(\left\{r_{n}\right\}\) ser la secuencia de todos los racionales en\(A=[a, b].\)
Set\((\forall n)\)
\[\delta_{n}=\frac{b-a}{2^{n+1}}\]
y
\[G_{n}=\left(a_{n}, b_{n}\right)=(a, b) \cap\left(r_{n}-\frac{1}{2} \delta_{n}, r_{n}+\frac{1}{2} \delta_{n}\right).\]
Let
\[P=A-\bigcup_{n=1}^{\infty} G_{n}.\]
Probar lo siguiente.
(i)\(\sum_{n=1}^{\infty} \delta_{n}=\frac{1}{2}(b-a)=\frac{1}{2} m A\).
(ii)\(P\) está cerrado;\(P^{o}=\emptyset,\) sin embargo\(m P>0\).
(iii) La\(G_{n}\) puede hacerse disjunta (ver Problema 3 en §2), con\(m P\) todavía\(>0.\)
(iv) Construir tal\(P \subseteq A\left(P=\overline{P}, P^{o}=\emptyset\right)\) medida prescrita\(m P=\varepsilon>0\).

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Encuentra un set abierto\(G \subset E^{1},\) con\(m G<m \overline{G}<\infty.\)
[Pista:\(G=\cup_{n=1}^{\infty} G_{n}\) con\(G_{n}\) como en Problema 17.]

Ejercicio\(\PageIndex{19*}\)

Si\(A \subseteq E^{n}\) es abierto y convexo, entonces\(m A=m \overline{A}\).
[Pista: Primero\(\overline{0} \in A.\) Argumentemos como en el Problema 16.]