7.8.E: Problemas en la Medida Lebesgue

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Rellene todos los detalles en la prueba de los Teoremas 3 y 4.

Ejercicio$\PageIndex{1'}$

Demostrar Nota 2.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Del Teorema 3 deducir que
$$\left(\forall A \subseteq E^{n}\right)\left(\exists B \in \mathcal{G}_{\delta}\right) \quad A \subseteq B \text { and } m^{*} A=m B.$$
[Pista: Ver la pista al Problema 7 en §5.]

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Revisar Problema 3 en §5.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Considera todas las
$$R+p \quad\left(p \in E^{1}\right)$$
traducciones de
$$R=\left\{\text {rationals in } E^{1}\right\}.$$
Probar lo siguiente.
(i) Cualquiera de esas dos traducciones son disjuntas o idénticas.
(ii) Cada uno$R+p$ contiene al menos un elemento de$[0,1]$.
[Pista para (ii): Fijar un racional$y \in(-p, 1-p),$ así$0<y+p<1.$ Entonces$y+p \in R+p$, y$y+p \in[0,1]$.]

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Continuando Problema 4, elige un elemento$q \in[0,1]$ de cada$R+p.$ Let$Q$ Ser el conjunto de todos$q$ así elegidos.
Llamar a un traducir de$Q, Q+r,$ “bueno” iff$r \in R$ y$|r|<1.$ Let$U$ be the union of all “good” translate of$Q.$
Probar lo siguiente.
a) Sólo hay contablemente muchos “buenos”$Q+r$.
(b) Todos ellos yacen en$[-1,2]$.
c) Dos cualesquiera de ellos son disjuntos o idénticos.
d)$[0,1] \subseteq U \subseteq[-1,2] ;$ por lo tanto$1 \leq m^{*} U \leq 3$.
[Pista para (c): Supongamos
$$y \in(Q+r) \cap\left(Q+r^{\prime}\right).$$

$$y=q+r=q^{\prime}+r^{\prime} \quad\left(q, q^{\prime} \in Q, r, r^{\prime} \in R\right);$$
Entonces así$q=q^{\prime}+\left(r^{\prime}-r\right),$ con$\left(r^{\prime}-r\right) \in R$.
Así$q \in R+q^{\prime}$ y$q^{\prime}=0+q^{\prime} \in R+q^{\prime}.$ Deducir eso$q=q^{\prime}$ y$r=r^{\prime} =;$ por lo tanto$Q+r=Q+r^{\prime}$.]

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Demostrar que$Q$ en el Problema 5 no es L-medible.
[Pista: De lo contrario, por el Teorema 4, cada uno$Q+r$ es L-medible, con$m(Q+r)=m Q.$ Por 5 (a) (c),$U$ es una unión disjunta contable de “bueno” traduce.
Deducir que$m U=0$ si$m Q=0,$ o$m U=\infty,$ contrario a lo dispuesto en el inciso d) del 5.]

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Demuestre que si$f : S \rightarrow T$ es continuo, entonces$f^{-1}[X]$ es un Borel ambientado en$S$ cada vez que$X \in \mathcal{B}$ en$T$.
[Pista: Usando la Nota 1 en §7, mostrar que
$$\mathcal{R}=\left\{X \subseteq T | f^{-1}[X] \in \mathcal{B} \text { in } S\right\}$$
es un$\sigma$ anillo -en$T.$ As$\mathcal{B}$ es el menos$\sigma$ -anillo$\supseteq \mathcal{G}, \mathcal{R} \supseteq \mathcal{B}$ (el campo Borel en$T$.]

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Demostrar que cada intervalo degenerado en$E^{n}$ tiene medida Lebesgue$0,$ aunque sea incontable. Dé un ejemplo en$E^{2}.$ Demostrar la inccountabilidad.
[Pista: Toma$\overline{a}=(0,0), \overline{b}=(0,1).$ Definir$f : E^{1} \rightarrow E^{2}$ por$f(x)=(0, x).$ Show que$f$ es uno a uno y esa$[\overline{a}, \overline{b}]$ es la$f$ imagen -del Problema de$[0,1].$ Uso 2 del Capítulo 1, §9.]

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Demuestre que no todos los conjuntos medibles en L son conjuntos de Borel$E^{n}$.
[Pista para$E^{2}:$ Con$[\overline{a}, \overline{b}]$ y$f$ como en Problema 8, mostrar que$f$ es continuo (use el criterio secuencial). Como$m[\overline{a}, \overline{b}]=0,$ todos los subconjuntos de$[\overline{a}, \overline{b}]$ están en$\mathcal{M}^{*}$ (Teorema 2 (i)), de ahí en$\mathcal{B}$ si asumimos$\mathcal{M}^{*}=\mathcal{B}$. Pero entonces por el Problema 7, lo mismo se aplicaría a los subconjuntos de$[0,1],$ contrarios al Problema 6.
Dar una prueba similar para$E^{n}(n>1)$.
Nota: En$E^{1},$ también,$\mathcal{B} \neq \mathcal{M}^{*},$ pero es necesaria una prueba diferente. Lo omitimos.]

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Demostrar que el conjunto de Cantor$P$ (Problema 17 en el Capítulo 3, 14) tiene Lebesgue medida cero, aunque sea incontable.
[Esquema: Que
$$U=[0,1]-P;$$
así$U$ sea la unión de intervalos abiertos quitada de$[0,1].$ Mostrar eso
$$m U=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=1$$
y usar Lemma 1 en §4.]

Ejercicio$\PageIndex{11}$

$\mu : \mathcal{B} \rightarrow E^{*}$Sea la restricción de Borel de la medida Lebesgue$m$ en$E^{n}$ (§7). Demostrar que
(i)$\mu$ en incompleto;
(ii)$m$ es la extensión Lebesgue (* y finalización, como en el Problema 15 de §6) de$\mu.$
[Consejos: (i) Por Problema 9, algunos conjuntos$\mu$ -nulos no están en$\mathcal{B}.$ (ii) Ver la prueba (final) del Teorema 2 en §9 (la siguiente sección).]

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Demostrar lo siguiente.
(i) Todos los intervalos$E^{n}$ son conjuntos de Borel.
(ii) El$\sigma$ -anillo generado por alguna de las familias$\mathcal{C}$ o$\mathcal{C}^{\prime}$ en el Problema 3 de §5 coincide con el campo Borel en$E^{n}.$
[Consejos: (i) Cualquier intervalo surge de uno cerrado al dejar caer algunas “caras” (intervalos cerrados degenerados). (ii) Usar Lema 2 de §2 y Problema 7 de §3.]

Ejercicio$\PageIndex{13*}$

Demostrar que si una medida$m^{\prime}: \mathcal{M}^{\prime} \rightarrow E^{*}$ en$E^{n}$ está de acuerdo en intervalos con la medida de Lebesgue$m: \mathcal{M}^{*} \rightarrow E^{*},$ entonces lo siguiente es cierto.
(i)$m^{\prime}=m$ en$\mathcal{B},$ el campo Borel en$E^{n}$.
(ii) Si también$m^{\prime}$ está completo, entonces$m^{\prime}=m$ adelante$\mathcal{M}^{*}$.
[Pista: (i) Uso Problema 13 de §5 y Problema 12 anterior.]

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Mostrar que los globos de igual radio tienen la misma medida de Lebesgue.
[Pista: Utilice el teorema 4.]

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Vamos$f : E^{n} \rightarrow E^{n},$ con
$$f(\overline{x})=c \overline{x} \quad(0<c<\infty).$$
Demostrar lo siguiente.
(i)$(\forall A \subseteq E^{n}) m^{*} f[A]=c^{n} m^{*} A$ (Medida exterior de$m^{*}=$ Lebesgue).
ii)$A \in \mathcal{M}^{*}$ iff$f[A] \in \mathcal{M}^{*}$.
[Pista: Si, digamos,$A=(\overline{a}, \overline{b}],$ entonces$f[A]=(c \overline{a}, c \overline{b}].$ (¿Por qué?) Proceder como en el Teorema 4, utilizando$f^{-1}$ también.]

Ejercicio$\PageIndex{16}$

De los Problemas 14 y 15 muestran que
(i)$m G_{\overline{p}}(c r)=c^{n} \cdot m G_{\overline{p}}(r)$;
(ii)$m G_{\overline{p}}(r)=m \overline{G}_{\overline{p}}(r)$;
(iii)$m G_{\overline{p}}(r)=a \cdot m I,$ dónde$I$ está inscrito el cubo$G_{\overline{p}}(r)$ y
$$a=\left(\frac{1}{2} \sqrt{n}\right)^{n} \cdot m G_{\overline{0}}(1).$$
[Consejos: (i)$f\left[G_{\overline{0}}(r)\right]=G_{\overline{0}}(c r).$ (ii) Demostrar que
$$m G_{\overline{p}} \leq m \overline{G}_{\overline{p}} \leq c^{n} m G_{\overline{p}}$$
si se$c>1.$ deja$c \rightarrow 1$.]

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Dado$a<b$ en$E^{1},$ dejar$\left\{r_{n}\right\}$ ser la secuencia de todos los racionales en$A=[a, b].$
Set$(\forall n)$
$$\delta_{n}=\frac{b-a}{2^{n+1}}$$
y
$$G_{n}=\left(a_{n}, b_{n}\right)=(a, b) \cap\left(r_{n}-\frac{1}{2} \delta_{n}, r_{n}+\frac{1}{2} \delta_{n}\right).$$
Let
$$P=A-\bigcup_{n=1}^{\infty} G_{n}.$$
Probar lo siguiente.
(i)$\sum_{n=1}^{\infty} \delta_{n}=\frac{1}{2}(b-a)=\frac{1}{2} m A$.
(ii)$P$ está cerrado;$P^{o}=\emptyset,$ sin embargo$m P>0$.
(iii) La$G_{n}$ puede hacerse disjunta (ver Problema 3 en §2), con$m P$ todavía$>0.$
(iv) Construir tal$P \subseteq A\left(P=\overline{P}, P^{o}=\emptyset\right)$ medida prescrita$m P=\varepsilon>0$.

Ejercicio$\PageIndex{18}$

Encuentra un set abierto$G \subset E^{1},$ con$m G<m \overline{G}<\infty.$
[Pista:$G=\cup_{n=1}^{\infty} G_{n}$ con$G_{n}$ como en Problema 17.]

Ejercicio$\PageIndex{19*}$

Si$A \subseteq E^{n}$ es abierto y convexo, entonces$m A=m \overline{A}$.
[Pista: Primero$\overline{0} \in A.$ Argumentemos como en el Problema 16.]