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8.8.E: Problemas en las Medidas del Producto y Teoremas de Fubini

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar Lemmas 2 y 3.

    Ejercicio\(\PageIndex{1'}\)

    Demuestre que\(\{A \in \mathcal{M} | m A<\infty\}\) es un anillo engarzado.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Rellene todos los datos de prueba en Teoremas 1 a 3.

    Ejercicio\(\PageIndex{2'}\)

    Haz lo mismo para Lemmas 5 a 7.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Demostrar que si\(m\) y\(n\) son\(\sigma\) -finitos, así es\(p=m \times n .\) Desmentir lo contrario con un ejemplo.
    [Pista:\(\left(\cup_{i} A_{i}\right) \times\left(U_{j} B_{j}\right)=U_{i, j}\left(A_{i} \times B_{j}\right)\). ¡Verifica!]

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Demostrar lo siguiente.
    (i) Cada uno\(D \in \mathcal{P}\) (como en el texto) es (p)\(\sigma\) -finito.
    (ii) Todos los mapas\(\mathcal{P}\)\(\sigma\) medibles\(f: X \times Y \rightarrow E^{*}\) tienen un soporte finito.
    [Consejos: (i) Problema\(14(\mathrm{b})\) de Uso del Capítulo 7, §3. (ii) Usar (i) para mapas\(\mathcal{P}\) -elementales y no negativos primero. \(]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    (i) Encontrar\(D \in \mathcal{P}^{*}\) y\(x \in X\) tal que no\(C_{D}(x, \cdot)\) es\(n\) -medible en\(Y .\) ¿Esto contradice Lema\(7 ?\)
    [Pista: Deje que\(m=n=\) Lebesgue mida\(E^{1} ; D=\{x\} \times Q,\) con\(Q\) no medible. \(]\)
    (ii) ¿Qué\(\mathcal{C}\) -conjuntos tienen medida distinta de cero si\(X=Y=E^{1}, m^{*}\) es como en Problema\(2(b)\) de Capítulo\(7, §5(\text { with } S=X),\) y\(n\) es medida Lebesgue?

    Ejercicio\(\PageIndex{5'}\)

    Deje que\(m=n=\) Lebesgue mida en\([0,1]=X=Y .\) Let
    \ [
    f_ {k} =\ left\ {\ begin {array} {ll} {k (k+1)} & {\ text {on}\ left (\ frac {1} {k+1},\ frac {1} {k}\ right]\ text {and}}\\ {0} & {\ text {en otra parte.}}\ end {array} derecha\.
    \]
    Dejar
    \ [
    f (x, y) =\ sum_ {k=1} ^ {\ infty}\ left [f_ {k} (x) -f_ {k+1} (x)\ right] f_ {k} (y);
    \]
    la serie converge. (¿Por qué?) Demostrar que
    (i)\((\forall k) \int_{X} f_{k}=1\);
    (ii)\(\int_{X} \int_{Y} f d n d m=1 \neq 0=\int_{Y} \int_{X} f d m d n\).
    ¿Qué es lo que pasa? ¿Es\(f\)\(\mathcal{P}\) -medible?
    [Pista: Explora
    \ [
    \ left. \ int_ {X}\ int_ {Y} |f| d n d m. \ derecho]
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Que\(X=Y=[0,1], m\) como en Ejemplo\((\mathrm{c})\) de Capítulo\(7, §6,(S=X)\) y\(n=\) Lebesgue midan en\(Y .\)
    (i) Mostrar que\(p=m \times n\) es una medida topológica bajo la métrica estándar en\(E^{2} .\)
    (ii) Demostrar que\(D=\{(x, y) \in X \times Y | x=y\} \in \mathcal{P}^{*}\).
    (iii) Describir\(\mathcal{C}\).
    [Consejos: (i) Cualquier subintervalo de\(X \times Y\) está en\(\mathcal{P}^{*} ;\) (ii)\(D\) está cerrado. ¡Verifica!]

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Continuando Problema\(6,\) let\(f=C_{D}\).
    (i) Mostrar que
    \ [
    \ int_ {Y}\ int_ {X} f d n d m=0\ neq 1=\ int_ {Y}\ int_ {X} f d m d n.
    \]
    ¿Qué pasa?
    [Pista: no\(D\) es\(\sigma\) -finito; porque si
    \ [
    D=\ bigcup_ {i=1} ^ {\ infty} D_ {i},
    \] al
    menos uno\(D_{\mathrm{i}}\) es incontable y no tiene valores de cobertura básicos finitos (¿por qué?) , por lo que\(p^{*} D_{\mathrm{i}}=\infty .\)]
    ii) Cómputos\(p^{*}\{(x, 0) | x \in X\}\) y\(p^{*}\{(0, y) | y \in Y\}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Mostrar que\(D \in \mathcal{P}^{*}\) es\(\sigma\) -finito iff
    \ [
    D\ subseteq\ bigcup_ {i=1} ^ {\ infty} D_ {i} (\ text {disjoint})
    \]
    para algunos conjuntos\(D_{i} \in \mathcal{C}\).
    [Pista: Primero vamos\(\left.p^{*} D<\infty . \text { Use Corollary } 1 \text { from Chapter } 7, §1 .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Dado\(D \in \mathcal{P}, a \in X,\) y\(b \in Y,\) dejar
    \ [
    D_ {a} =\ {y\ en Y | (a, y)\ en D\}
    \]
    y
    \ [
    D^ {b} =\ {x\ en X | (x, b)\ en D\}.
    \]
    (Ver Figura\(\left.34 \text { for } X=Y=E^{1} .\right)\)
    Demostrar que
    (i)\(D_{a} \in \mathcal{N}, D^{b} \in \mathcal{M}\);
    (ii)\(C_{D}(a, \cdot)=C_{D_{a}}, n D_{a}=\int_{Y} C_{D}(a, \cdot) d n, m D^{b}=\int_{X} C_{D}(\cdot, b) d m\).
    [Pista: Vamos
    \ [
    H=\ left\ {(x, y)\ in E^ {2} | 0\ leq y<f (x)\ right\}
    \]
    Mostrar que\(\mathcal{R}\) es un\(\sigma\) anillo de\(\supseteq C .\) ahí\(\mathcal{R} \supseteq \mathcal{P} ; D \in \mathcal{R} ; D_{a} \in \mathcal{N} .\) Similariy para\(D^{b} .\)]

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \(\Rightarrow 10\). Deja que\(m=n=\) Lebesgue mida en\(E^{1}=X=Y .\) Let\(f: E^{1} \rightarrow[0, \infty)\) be\(m\) -mensurable on\(X .\) Let
    \ [
    H=\ left\ {(x, y)\ in E^ {2} | 0\ leq y<f (x)\ right
    \}\]
    y
    \ [
    G=\ left\ {(x, y)\ in E^ {2} | y=f (x, y)\ right\}
    \]
    (la “gráfica” de\(f\)). Demostrar que
    (i)\(H \in \mathcal{P}^{*}\) y
    \ [
    p H=\ int_ {X} f d m
    \]
    (="el área bajo f”)
    (ii)\(G \in \mathcal{P}^{*}\) y\(p G=0\).
    [Consejos: (i) Primera toma\(f=C_{D},\) y mapas elementales y no negativos. Después usa Lemma 2 en §2 (última cláusula). Se corrigen mapas elementales y no negativos\(f_{k} \nearrow f,\) asumiendo\(\left.f_{k}<f \text { (if not, replace } f_{k} \text { by }\left(1-\frac{1}{k}\right) f_{k}\right) .\) Let
    \ [
    H_ {k} =\ left\ {(x, y) | 0\ leq y<f_ {k} (x)\ right\}.
    \]
    Demuéstralo\(H_{k} \nearrow H \in \mathcal{P}^{*}\).
    (ii) Establecer
    \ [
    \ phi (x, y) =y-f (x).
    \]
    Usando el Corolario 4 de §1, mostrar que\(\phi\) es\(p\) -medible en\(E^{2} ;\) así\(G=E^{2}(\phi=0) \in \mathcal{P}^{*}\). Eliminando un conjunto nulo (Lema\(6),\) asume\(G \in \mathcal{P} .\) Por Problema 9 (ii),

    \ [\ left (\ forall x\ in E^ {1}\ derecha)\ quad\ int_ {Y} C_ {G} (x,\ cdot) d n=n G_ {x} =0,
    \]
    como\(\left.G_{x}=\{f(x)\}, \text { a singleton. }\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Dejar
    \ [
    f (x, y) =\ phi_ {1} (x)\ phi_ {2} (y).
    \]
    Demostrar que si\(\phi_{1}\) es\(m\) -integrable on\(X\) y\(\phi_{2}\) es\(n\) -integrable on\(Y,\) entonces\(f\) es\(p\) -integrable on\(X \times Y\) y

    \ [\ int_ {X\ times Y} f d p=\ int_ {X}\ phi_ {1}\ cdot\ int_ {Y }\ phi_ {2}.
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{*12}\)

    Demostrar teorema\(3(\text {ii) for } f: X \times Y \rightarrow E(E\text { complete) }\).
    [Esquema: Si\(f\) es\(\mathcal{P}^{*}\) -simple, use Lema 7 anterior y Teorema 2 en §7.
    Si
    \ [
    f=\ sum_ {k=1} ^ {\ infty} a_ {k} C_ {D_ {k}},\ quad D_ {k}\ in\ mathcal {P} ^ {*},
    \]
    vamos a
    \ [
    H_ {k} =\ bigcup_ {i=1} ^ {k} D_ {i}
    \]
    y\(f_{k}=f C_{H_{k}},\) así\(f_{k}\) son \(\mathcal{P}^{*}\)-simple (de ahí mapas Fubini), y\(f_{k} \rightarrow f\) (punto sabio) en\(X \times Y,\) con\(\left|f_{k}\right| \leq|f|\) y
    \ [
    \ int_ {X\ veces Y} |f| d p<\ infty
    \]
    (por suposición). Ahora usa Teorema 5 de §6.
    Ahora\(f\) seamos\(\mathcal{P}^{*}\) -medibles; entonces
    \ [
    f=\ lim _ {k\ rightarrow\ infty} f_ {k}\ text {(uniformemente)}
    \]
    para algunos\(\left.\mathcal{P}^{*} \text {-elementary maps } g_{k} \text { (Theorem } 3 \text { in } §1\right) .\) Por suposición,\(f=f C_{H}(H\)\(\sigma\) -finito); así podemos asumir\(g_{k}=g_{k} C_{H} .\) Entonces como se muestra arriba, todos\(g_{k}\) son mapas de Fubini. Así es\(f\) por Lemma 1 en §7 (verificar!) , previsto\(H \subseteq D\) para algunos\(D \in \mathcal{C} .\)
    En el caso general, por Problema 8,
    \ [
    H\ subseteq\ bigcup_ {i} D_ {i} (\ text {disjoint}), D_ {i}\ in\ mathcal {C}.
    \]
    Dejar\(H_{i}=H \cap D_{i} .\) Por el paso anterior, cada uno\(f C_{H_{i}}\) es un mapa de Fubini; así es
    \ [
    f_ {k} =\ sum_ {i=1} ^ {k} f C_ {H_ {i}}
    \]
    (¿por qué?) , de ahí que así sea\(f=\lim _{k \rightarrow \infty} f_{k},\) por el Teorema 5 del §6. (¡Verifica!)]

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Deje que\(m=\) Lebesgue mida en\(E^{1}, p=\) Lebesgue mida en\(E^{s}, X= (0, \infty),\) y
    \ [
    Y=\ izquierda\ {\ bar {y}\ en E^ {s} ||\ bar {y} |=1\ derecha\}.
    \]
    Dado\(\bar{x} \in E^{s}-\{\overline{0}\},\) let
    \ [
    r=|\ bar {x} |\ texto {y}\ bar {u} =\ frac {\ bar {x}} {r}\ en Y.
    \]
    Llamada\(r\) y\(\bar{u}\) las coordenadas polares de\(\bar{x} \neq \overline{0}\).
    Si\(D \subseteq Y,\) se establece
    \ [
    n^ {*} d=s\ cdot p^ {*}\ {r\ bar {u} |\ bar {u}\ en D, 0<r\ leq 1\}.
    \]
    Mostrar que\(n^{*}\) es una medida exterior en\(Y ;\) por lo que induce una medida\(n\) en\(Y .\)
    Luego demostrar que
    \ [
    \ int_ {E^ {s}} f d p=\ int_ {X} r^ {s-1} d m (r)\ int_ {Y} f (r\ bar {u}) d n (\ bar {u})
    \]
    if\(f\) es\(p\) -medible y no negativo en\(E^{s} .\)
    [Pista: Comience con\(f=C_{A},\)
    \ [
    A=\ {r\ bar {u} |\ bar {u}\ in H, a<r<b\},
    \]
    para algún conjunto abierto\(\left.H \subseteq Y \text { (subspace of } E^{s}\right) .\) Siguiente, vamos\(A \in \mathcal{B}(\text { Borel set in } Y) ;\) entonces \(\left.A \subseteq \mathcal{P}^{*} . \text { Then let } f \text { be } p \text {-elementary, and so on. }\right]\)


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