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Cauchy extendió la integración R a conjuntos y funciones sin límites de la siguiente manera.

Dado$$f : E^{1} \rightarrow E$$ y asumiendo que existen las R-integrales y límites del lado derecho, defina (primero para conjuntos no acotados, luego para funciones no delimitadas)

i)$$\int_{a}^{\infty} f=\int_{[a, \infty)} f=\lim _{x \rightarrow \infty} R \int_{a}^{x} f$$;

ii)$$\int_{-\infty}^{a} f=\int_{(-\infty, a]} f=\lim _{x \rightarrow-\infty} R \int_{x}^{a} f$$.

Si ambos

$\int_{0}^{\infty} f \text { and } \int_{-\infty}^{0} f$

existe, definir

$\int_{-\infty}^{\infty} f=\int_{(-\infty, 0)} f+\int_{[0, \infty)} f.$

Ahora, supongamos que$$f$$ está sin límites cerca de algunos$$p \in A=[a, b],$$ es decir, sin límites$$A \cap G_{\neg p}$$ para cada globo eliminado$$G_{\neg p}$$ sobre$$p$$ (tales puntos$$p$$ se llaman singularidades).

Entonces (de nuevo asumiendo la existencia de las R-integrales y límites), definimos

1. en caso de singularidad$$p=a$$,$\int_{a+}^{b} f=\int_{(a, b]} f=\lim _{x \rightarrow a+} R \int_{x}^{b} f;$
2. si$$p=b,$$ entonces$\int_{a}^{b-} f=\int_{[a, b)} f=\lim _{x \rightarrow b-} R \int_{a}^{x} f;$
3. si$$a<p<b$$ y si$\int_{a}^{p-} f \text { and } \int_{p+}^{b} f$

existir, entonces

$\int_{a}^{b} f=\int_{a}^{p-} f+\int_{p}^{p} f+\int_{p+}^{b} f.$

El término

$\int_{p}^{p} f=\int_{[p, p]} f$

es necesario si se utilizan$$R S$$ - o$$L S$$ -integrales.

Finalmente, si$$A$$ contiene varias singularidades, debe dividirse en subintervalos, cada uno con como máximo una singularidad de punto final; y$$\int_{a}^{b} f$$ se divide en consecuencia. Llamamos a todas esas integrales impropias o integrales de Cauchy (C). Se dice que una integral C converge si existe y es finita.

Esta teoría se enriquece mucho si en las definiciones anteriores, uno reemplaza$$R$$ -integrales por integrales de Lebesgue, usando Lebesgue o LS medir en$$E^{1}.$$ (Esto tiene sentido incluso cuando existe una integral de Lebesgue (propia); ver Teorema 1.) A continuación,$$m$$ denotará tal medida a menos que se indique lo contrario.

Las C-integrales con respecto a$$m$$ serán denotadas por

$C \int_{a}^{\infty} f d m, \quad C \int_{[a, b)} f, \quad \text {etc. }$

Notación “clásica”:

$C \int f(x) d m(x) \text { or } C \int f(x) d x$

(esta última si$$m$$ es medida Lebesgue). Omitimos la “C” si$$\int_{a}^{x} f$$ es poco probable la confusión con integrales adecuadas.

Nota 1. Las C-integrales son límites de integrales, no integrales propiamente dichas. Sin embargo, pueden igualar a este último (Teorema 1 a continuación) y luego pueden ser utilizados para calcularlos.

Precaución. Las “singularidades” en$$[a, b]$$ pueden afectar a la primitiva utilizada en los cómputos (ver Problema 4 en §1). Entonces se$$[a,b]$$ debe dividir (ver arriba), y$$C \int_{a}^{b} f$$ se divide en consecuencia. (La aditividad se aplica a las C-integrales; vea el Problema 9, a continuación).

## Ejemplos

(A) La integral

$L \int_{-1}^{1 / 2} \frac{d x}{x^{2}}$

tiene una singularidad en$$0.$$ Por Teorema 1 a continuación, obtenemos

\begin{aligned} L \int_{-1}^{1 / 2} \frac{d x}{x^{2}} &=\int_{-1}^{0-} \frac{d x}{x^{2}}+\int_{0+}^{1 / 2} \frac{d x}{x^{2}} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(-\frac{1}{x}-1\right)+\lim _{x \rightarrow 0+}\left(-2+\frac{1}{x}\right)=\infty+\infty=\infty. \end{aligned}

(B) Tenemos

$C \int_{1 / 2}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(-\frac{1}{x}+2\right)=2.$

De ahí

$C \int_{-1}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}}=C \int_{-1}^{1 / 2} \frac{d x}{x^{2}}+C \int_{1 / 2}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}}=\infty+2=\infty.$

(C) La integral

$L \int_{-1}^{1} \frac{|x|}{x} d x$

no tiene singularidades (considere globos eliminados sobre$$0$$). Lo primitivo$$F(x)=|x|$$ existe (ejemplo (b) en el Capítulo 5, §5); entonces

$L \int_{-1}^{1} \frac{|x|}{x} d x=\left.|x|\right|_{-1} ^{1}=0.$

En el resto de esta sección, exponemos nuestros teoremas principalmente para

$C \int_{a}^{\infty} f,$

pero aplican, con pruebas similares, a

$C \int_{-\infty}^{\infty} f, \quad C \int_{a}^{b-} f, \quad \text {etc. }$

La medida$$m$$ es como se explicó anteriormente.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Dejar$$A=[a, \infty), f : E^{1} \rightarrow E$$ ($$E$$completar).

(i) Si$$f \geq 0$$ en$$A,$$ ese entonces

$C \int_{a}^{\infty} f d m$

existe$$(\leq \infty)$$ y es igual

$\int_{A} f d m.$

(ii) El mapa$$f$$ es$$m$$ -integrable en$$A$$ iff

$C \int_{a}^{\infty}|f|<\infty$

y$$f$$ es$$m$$ -medible$$A;$$ entonces otra vez,

$C \int_{a}^{\infty} f d m=\int_{A} f d m.$

Prueba

(i)$$f \geq 0$$ Vamos$$A.$$ Por las reglas del Capítulo 8, §5, siempre$$\int_{A} f$$ se define para tal por$$f;$$ lo que podemos establecer

$F(x)=\int_{a}^{x} f d m, \quad x \geq a.$

Entonces por el Teorema 1 (f) en el Capítulo 8, §5,$$F \uparrow$$ en$$A;$$ para$$a \leq x \leq y$$ implica

$F(x)=\int_{a}^{x} f \leq \int_{a}^{y} f=F(y).$

Ahora, por las propiedades de los límites monótonos,

$\lim _{x \rightarrow \infty} F(x)=\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{a}^{x} f=C \int_{a}^{\infty} f$

existe en$$E^{*};$$ así por el Teorema 1 del Capítulo 4, §2, se puede encontrar haciendo$$x$$ atropellar alguna secuencia$$x_{k} \rightarrow \infty,$$ digamos,$$x_{k}=k$$.

Así establecido

$A_{k}=[a, k], \quad k=1,2, \ldots.$

Entonces$$\left\{A_{k}\right\} \uparrow$$ y

$\bigcup A_{k}=A=[a, \infty),$

es decir,$$A_{k} \nearrow A$$.

Además, por la Nota 4 en el Capítulo 8, §5, la función set$$s=\int f$$ es$$\sigma$$ -aditiva y semifinita$$(\geq 0).$$ Así por el Teorema 2 del Capítulo 7, §4 (continuidad izquierda)

$\int_{A} f d m=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{A_{k}} f=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{a}^{k} f=C \int_{a}^{\infty} f,$

demostrando (i).

ii) Mediante la cláusula i),

$C \int_{a}^{\infty}|f|=\int_{A}|f| d m$

existe, como$$|f| \geq 0.$$ Por lo tanto

$C \int_{a}^{\infty}|f|<\infty$

más mensurabilidad equivale a integrabilidad (Teorema 2 del Capítulo 8, §6).

$C \int_{a}^{\infty}|f|<\infty$

implica la convergencia de$$C \int_{a}^{\infty} f$$ (ver Corolario 1 a continuación). Así como

$\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{a}^{x} f$

existe, procedemos exactamente como antes (aquí$$s=\int f$$ es finito), demostrando (ii) también. $$\quad \square$$

Nota 2. Si$$E \subseteq E^{*},$$ la fórmula (1) resulta aunque no$$f$$ sea$$m$$ medible.

Nota 3. Si bien$$f$$ no puede ser integrable a menos que$$|f|$$ sea (Corolario 2 del Capítulo 8, §6), puede suceder que

$C \int f$

converge incluso si

$C \int|f|=\infty$

(esto se llama convergencia condicional). Un caso en cuestión es

$C \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} d x;$

ver Problema 8.

Por lo tanto,$$C$$ las integrales pueden ser finitas donde las integrales adecuadas están$$\infty$$ o no existen (¡una gran ventaja!). Sin embargo, son deficientes en otros aspectos (ver Problema 9 c)).

Para nuestro próximo teorema, necesitamos el Teorema 2 previamente “estrellado” en el Capítulo 4, (¡Revisarlo!) Como veremos, las C-integrales se asemejan a series infinitas.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$ (Cauchy criterion)

Dejar$$A=[a, \infty), f : E^{1} \rightarrow E, E$$ completar.
Supongamos

$\int_{a}^{x} f d m$

existe para cada uno$$x \in A.$$ (Esto es automático si$$E \subseteq E^{*};$$ ver Capítulo 8, §5.)

Entonces

$C \int_{a}^{\infty} f$

converge iff para cada$$\varepsilon>0,$$ hay$$b \in A$$ tal que

$\left|\int_{v}^{x} f d m\right|<\varepsilon \quad \text {whenever } b \leq v \leq x<\infty,$

y

$\left|\int_{a}^{b} f d m\right|<\infty.$

Prueba

Por aditividad (Capítulo 8, §5, Teorema 2; Capítulo 8, §7, Teorema 3),

$\int_{a}^{x} f=\int_{a}^{v} f+\int_{v}^{x} f$

si$$a \leq v \leq x<\infty.$$ (En caso de que$$E \subseteq E^{*},$$ esto$$f$$ se mantenga aunque no sea integrable; véase Teorema 2, del Capítulo 8, §5.)

Ahora, si

$C \int_{a}^{\infty} f$

converge, vamos

$r=\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{a}^{x} f d m \neq \pm \infty.$

Entonces para cualquiera$$\varepsilon>0,$$ hay algunos

$b \in[a, \infty)=A$

tal que

$\left|\int_{a}^{x} f d m-r\right|<\frac{1}{2} \varepsilon \quad \text { for } x \geq b.$

(¿Por qué podemos usar la métrica estándar aquí?)

Tomando$$x=b,$$ obtenemos (2'). Además, si$$a \leq b \leq v \leq x,$$ tenemos

$\left|\int_{a}^{x} f d m-r\right|<\frac{1}{2} \varepsilon$

y

$\left|r-\int_{a}^{\nu} f d m\right|<\frac{1}{2} \varepsilon.$

De ahí que por la ley del triángulo, (2) sigue también. Así esto$$b$$ satisface (2).

Por el contrario, supongamos que tal$$b$$ existe para cada$$\varepsilon>0.$$ Fijación dada$$b,$$ tenemos así (2) y (2'). Ahora, con$$A=[a, \infty),$$ definir$$F : A \rightarrow E$$ por

$F(x)=\int_{a}^{x} f d m,$

por lo

$C \int_{a}^{\infty} f=\lim _{x \rightarrow \infty} F(x)$

si existe este límite. Por (2),

$|F(x)|=\left|\int_{a}^{x} f d m\right| \leq\left|\int_{a}^{b} f d m\right|+\left|\int_{b}^{x} f d m\right|<\left|\int_{a}^{b} f d m\right|+\varepsilon$

si$$x \geq b.$$ Así$$F$$ es finito encendido$$[b, \infty),$$ y así podemos utilizar de nuevo la métrica estándar

$\rho(F(x), F(v))=|F(x)-F(v)|=\left|\int_{a}^{x} f d m-\int_{a}^{v} f d m\right| \leq\left|\int_{v}^{x} f d m\right|<\varepsilon$

si$$x, v \geq b.$$ La existencia de

$C \int_{a}^{\infty} f d m=\lim _{x \rightarrow \infty} F(x) \neq \pm \infty$

ahora sigue por el Teorema 2 del Capítulo 4, §2. (En adelante vamos a presuponer este teorema “estrellado”.)

Así todo está probado. $$\quad \square$$

## Corolario$$\PageIndex{1}$$

Bajo los mismos supuestos que en el Teorema 2, la convergencia de

$C \int_{a}^{\infty}|f| d m$

implica el de

$C \int_{a}^{\infty} f d m.$

En efecto,

$\left|\int_{v}^{x} f\right| \leq \int_{v}^{x}|f|$

(Teorema 1 (g) del Capítulo 8, §5, y Problema 10 en el Capítulo 8, §7).

Nota 4. Decimos que$$C \int f$$ converge absolutamente siff$$C \int|f|$$ converge.

## Corolario$$\PageIndex{2}$$ (comparison test)

Si$$|f| \leq|g|$$ a.e.$$A=[a, \infty)$$ para algunos$$f, g : E^{1} \rightarrow E,$$ entonces

$C \int_{a}^{\infty}|f| \leq C \int_{a}^{\infty}|g|;$

por lo que la convergencia de

$C \int_{a}^{\infty}|g|$

implica el de

$C \int_{a}^{\infty}|f|.$

Porque como$$|f|,|g| \geq 0,$$ Teorema 1 reduce todo al Teorema 1 (c) del Capítulo 8, §5.

Nota 5. Como vemos, las C-integrales absolutamente convergentes coinciden con integrales propias (finitas) de Lebesgue de mapas no negativos o$$m$$ medibles. Para la convergencia condicional (es decir, no absoluta), ver Problemas 6-9, 13 y 14.

Integrales C iteradas. Deje que el espacio$$X \times Y$$ de producto del Capítulo 8, §8 sea

$E^{1} \times E^{1}=E^{2},$

y dejar$$p=m \times n,$$ dónde$$m$$ y$$n$$ son Lebesgue medida o LS mide en$$E^{1}$$. Let

$A=[a, b], B=[c, d], \text { and } D=A \times B.$

Entonces el integral

$\int_{B} \int_{A} f d m d n=\int_{Y} \int_{X} f C_{D} d m d n$

también está escrito

$\int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f d m d n$

o

$\int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x, y) d m(x) d n(y).$

Como de costumbre, escribimos "$$d x$$" para "$$d m(x)$$" si$$m$$ es Lebesgue medida en$$E^{1};$$ similarmente para$$n.$$

Ahora definimos

\begin{aligned} C \int_{a}^{\infty} \int_{c}^{\infty} f d n d m &=\lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b}\left(\lim _{d \rightarrow \infty} \int_{c}^{d} f(x, y) d n(y)\right) d m(x) \\ &=C \int_{a}^{\infty} \int_{c}^{\infty} f(x, y) d n(y) d m(x), \end{aligned}

siempre que existan los límites e integrales involucrados.

Si la integral (3) es finita, decimos que converge. Nuevamente, la convergencia es absoluta si se mantiene también con$$f$$ sustituido por$$|f|,$$ y condicional de otra manera. Definiciones similares se aplican a

$C \int_{c}^{\infty} \int_{a}^{\infty} f d m d n, C \int_{-\infty}^{b} \int_{c}^{\infty} f d n d m, \text { etc.}$

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

$$f : E^{2} \rightarrow E^{*}$$Sea$$p$$ -mensurable en$$E^{2}$$ ($$p, m, n$$como arriba). Entonces tenemos lo siguiente.

(i*) Las integrales de Cauchy

$C \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}|f| d n d m \text { and } C \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}|f| d m d n$

existir$$(\leq \infty),$$ y ambos iguales

$\int_{E^{2}}|f| d p.$

(ii*) Si una de estas tres integrales es finita, entonces

$C \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f d n d m \text { and } C \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f d m d n$

convergen, y ambos iguales

$\int_{E^{2}} f d p.$

(Similarmente para$$C \int_{a}^{\infty} \int_{-\infty}^{b} f d n d m,$$ etc.)

Prueba

Como$$m$$ y$$n$$ son$$\sigma$$ -finitos (¡finitos en intervalos!) ,$$f$$ seguramente tiene$$\sigma$$ -soporte finito.

Como$$|f| \geq 0,$$ la cláusula (i*) se desprende fácilmente de nuestro presente Teorema 1 (i) y Teorema 3 (i) del Capítulo 8, §8.

De igual manera, la cláusula (ii*) se desprende del Teorema 3 (ii) de la misma sección. $$\quad \square$$

## Teorema$$\PageIndex{4}$$ (passage to polars)

Deje que$$p=$$ Lebesgue mida en$$E^{2}.$$ Supongamos$$f : E^{2} \rightarrow E^{*}$$ es$$p$$ -medible en$$E^{2}.$$ Set

$F(r, \theta)=f(r \cos \theta, r \sin \theta), \quad r>0.$

Entonces

(a)$$C \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f d x d y=C \int_{0}^{\infty} r d r \int_{0}^{2 \pi} F d \theta,$$ y

b)$$C \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} f d x d y=C \int_{0}^{\infty} r d r \int_{0}^{\pi / 2} F d \theta,$$

siempre$$f$$ que no sea negativo o$$p$$ -integrable en$$E^{2}$$ (para (para (a)) o en$$(0, \infty) \times(0, \infty)$$ (para (b)).

Esquema de prueba

Primero déjalo$$f=C_{D},$$ con$$D$$ un “rectángulo curvo”

$\left\{(r, \theta) | r_{1}<r \leq r_{2}, \theta_{1}<\theta \leq \theta_{2}\right\}$

para algunos$$r_{1}<r_{2}$$ en$$X=(0, \infty)$$ y$$\theta_{1}<\theta_{2}$$ en$$Y=[0,2 \pi).$$ Por geometría elemental (o cálculo), el área

$p D=\frac{1}{2}\left(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\right)\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)$

(la diferencia entre dos sectores circulares).

Para$$f=C_{D},$$ las fórmulas (a) y (b) se puede seguir fácilmente de

$p D=L \int_{E^{2}} C_{D} d p.$

(¡Verifica!) Ahora, los rectángulos curvos se comportan como intervalos semiabiertos

$\left(r_{1}, r_{2}\right] \times\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right]$

en$$E^{2},$$ desde Teorema 1 en el Capítulo 7, §1, y Lema 2 del Capítulo 7, §2, se aplican con la misma prueba. Así forman un semiring generando el campo Borel en$$E^{2}$$.

De ahí mostrar (como en el Capítulo 8, §8 que el Teorema 4 sostiene para$$f=C_{D}(D \in \mathcal{B}$$). Entonces toma$$D \in \mathcal{M}^{*}$$. A continuación$$f$$ sea elemental y no negativo, y así sucesivamente, como en los Teoremas 2 y 3 del Capítulo 8, §8. $$\quad \square$$

## Ejemplos (continuación)

(D) Dejar

$J=L \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x;$

por lo

\begin{aligned} J^{2} &=\left(C \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x\right)\left(C \int_{0}^{\infty} e^{-y^{2}} d y\right) \\ &=C \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y. \quad \text {(Why?)} \end{aligned}

Set

$f(x, y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}$

en Teorema 4 (b). Entonces, de$$F(r, \theta)=e^{-r^{2}};$$ ahí

\begin{aligned} J^{2} &=C \int_{0}^{\infty} r d r\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-r^{2}} d \theta\right) \\ &=C \int_{0}^{\infty} r e^{-r^{2}} d r \cdot \frac{\pi}{2}=-\left.\frac{1}{4} \pi e^{-t}\right|_{0} ^{\infty}=\frac{1}{4} \pi. \end{aligned}

(Aquí calculamos

$\int r e^{-r^{2}} d r$

sustituyendo$$r^{2}=t$$.) Así

$C \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=L \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\sqrt{\frac{1}{4} \pi}=\frac{1}{2} \sqrt{\pi}.$

This page titled 9.3: Integrales inadecuadas (Cauchy) is shared under a CC BY 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Elias Zakon (The Trilla Group (support by Saylor Foundation)) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.