9.3: Integrales inadecuadas (Cauchy)

Cauchy extendió la integración R a conjuntos y funciones sin límites de la siguiente manera.

Dado\(f : E^{1} \rightarrow E\) y asumiendo que existen las R-integrales y límites del lado derecho, defina (primero para conjuntos no acotados, luego para funciones no delimitadas)

i)\(\int_{a}^{\infty} f=\int_{[a, \infty)} f=\lim _{x \rightarrow \infty} R \int_{a}^{x} f\);

ii)\(\int_{-\infty}^{a} f=\int_{(-\infty, a]} f=\lim _{x \rightarrow-\infty} R \int_{x}^{a} f\).

Si ambos

\[\int_{0}^{\infty} f \text { and } \int_{-\infty}^{0} f\]

existe, definir

\[\int_{-\infty}^{\infty} f=\int_{(-\infty, 0)} f+\int_{[0, \infty)} f.\]

Ahora, supongamos que\(f\) está sin límites cerca de algunos\(p \in A=[a, b],\) es decir, sin límites\(A \cap G_{\neg p}\) para cada globo eliminado\(G_{\neg p}\) sobre\(p\) (tales puntos\(p\) se llaman singularidades).

Entonces (de nuevo asumiendo la existencia de las R-integrales y límites), definimos

1. en caso de singularidad\(p=a\),\[\int_{a+}^{b} f=\int_{(a, b]} f=\lim _{x \rightarrow a+} R \int_{x}^{b} f;\]
2. si\(p=b,\) entonces\[\int_{a}^{b-} f=\int_{[a, b)} f=\lim _{x \rightarrow b-} R \int_{a}^{x} f;\]
3. si\(a<p<b\) y si\[\int_{a}^{p-} f \text { and } \int_{p+}^{b} f\]

existir, entonces

\[\int_{a}^{b} f=\int_{a}^{p-} f+\int_{p}^{p} f+\int_{p+}^{b} f.\]

El término

\[\int_{p}^{p} f=\int_{[p, p]} f\]

es necesario si se utilizan\(R S\) - o\(L S\) -integrales.

Finalmente, si\(A\) contiene varias singularidades, debe dividirse en subintervalos, cada uno con como máximo una singularidad de punto final; y\(\int_{a}^{b} f\) se divide en consecuencia. Llamamos a todas esas integrales impropias o integrales de Cauchy (C). Se dice que una integral C converge si existe y es finita.

Esta teoría se enriquece mucho si en las definiciones anteriores, uno reemplaza\(R\) -integrales por integrales de Lebesgue, usando Lebesgue o LS medir en\(E^{1}.\) (Esto tiene sentido incluso cuando existe una integral de Lebesgue (propia); ver Teorema 1.) A continuación,\(m\) denotará tal medida a menos que se indique lo contrario.

Las C-integrales con respecto a\(m\) serán denotadas por

\[C \int_{a}^{\infty} f d m, \quad C \int_{[a, b)} f, \quad \text {etc. }\]

Notación “clásica”:

\[C \int f(x) d m(x) \text { or } C \int f(x) d x\]

(esta última si\(m\) es medida Lebesgue). Omitimos la “C” si\(\int_{a}^{x} f\) es poco probable la confusión con integrales adecuadas.

Nota 1. Las C-integrales son límites de integrales, no integrales propiamente dichas. Sin embargo, pueden igualar a este último (Teorema 1 a continuación) y luego pueden ser utilizados para calcularlos.

Precaución. Las “singularidades” en\([a, b]\) pueden afectar a la primitiva utilizada en los cómputos (ver Problema 4 en §1). Entonces se\([a,b]\) debe dividir (ver arriba), y\(C \int_{a}^{b} f\) se divide en consecuencia. (La aditividad se aplica a las C-integrales; vea el Problema 9, a continuación).

Ejemplos

(A) La integral

\[L \int_{-1}^{1 / 2} \frac{d x}{x^{2}}\]

tiene una singularidad en\(0.\) Por Teorema 1 a continuación, obtenemos

\[\begin{aligned} L \int_{-1}^{1 / 2} \frac{d x}{x^{2}} &=\int_{-1}^{0-} \frac{d x}{x^{2}}+\int_{0+}^{1 / 2} \frac{d x}{x^{2}} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(-\frac{1}{x}-1\right)+\lim _{x \rightarrow 0+}\left(-2+\frac{1}{x}\right)=\infty+\infty=\infty. \end{aligned}\]

(B) Tenemos

\[C \int_{1 / 2}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(-\frac{1}{x}+2\right)=2.\]

De ahí

\[C \int_{-1}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}}=C \int_{-1}^{1 / 2} \frac{d x}{x^{2}}+C \int_{1 / 2}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}}=\infty+2=\infty.\]

(C) La integral

\[L \int_{-1}^{1} \frac{|x|}{x} d x\]

no tiene singularidades (considere globos eliminados sobre\(0\)). Lo primitivo\(F(x)=|x|\) existe (ejemplo (b) en el Capítulo 5, §5); entonces

\[L \int_{-1}^{1} \frac{|x|}{x} d x=\left.|x|\right|_{-1} ^{1}=0.\]

En el resto de esta sección, exponemos nuestros teoremas principalmente para

\[C \int_{a}^{\infty} f,\]

pero aplican, con pruebas similares, a

\[C \int_{-\infty}^{\infty} f, \quad C \int_{a}^{b-} f, \quad \text {etc. }\]

La medida\(m\) es como se explicó anteriormente.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(A=[a, \infty), f : E^{1} \rightarrow E\) (\(E\)completar).

(i) Si\(f \geq 0\) en\(A,\) ese entonces

\[C \int_{a}^{\infty} f d m\]

existe\((\leq \infty)\) y es igual

\[\int_{A} f d m.\]

(ii) El mapa\(f\) es\(m\) -integrable en\(A\) iff

\[C \int_{a}^{\infty}|f|<\infty\]

y\(f\) es\(m\) -medible\(A;\) entonces otra vez,

\[C \int_{a}^{\infty} f d m=\int_{A} f d m.\]

Prueba

(i)\(f \geq 0\) Vamos\(A.\) Por las reglas del Capítulo 8, §5, siempre\(\int_{A} f\) se define para tal por\(f;\) lo que podemos establecer

\[F(x)=\int_{a}^{x} f d m, \quad x \geq a.\]

Entonces por el Teorema 1 (f) en el Capítulo 8, §5,\(F \uparrow\) en\(A;\) para\(a \leq x \leq y\) implica

\[F(x)=\int_{a}^{x} f \leq \int_{a}^{y} f=F(y).\]

Ahora, por las propiedades de los límites monótonos,

\[\lim _{x \rightarrow \infty} F(x)=\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{a}^{x} f=C \int_{a}^{\infty} f\]

existe en\(E^{*};\) así por el Teorema 1 del Capítulo 4, §2, se puede encontrar haciendo\(x\) atropellar alguna secuencia\(x_{k} \rightarrow \infty,\) digamos,\(x_{k}=k\).

Así establecido

\[A_{k}=[a, k], \quad k=1,2, \ldots.\]

Entonces\(\left\{A_{k}\right\} \uparrow\) y

\[\bigcup A_{k}=A=[a, \infty),\]

es decir,\(A_{k} \nearrow A\).

Además, por la Nota 4 en el Capítulo 8, §5, la función set\(s=\int f\) es\(\sigma\) -aditiva y semifinita\((\geq 0).\) Así por el Teorema 2 del Capítulo 7, §4 (continuidad izquierda)

\[\int_{A} f d m=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{A_{k}} f=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{a}^{k} f=C \int_{a}^{\infty} f,\]

demostrando (i).

ii) Mediante la cláusula i),

\[C \int_{a}^{\infty}|f|=\int_{A}|f| d m\]

existe, como\(|f| \geq 0.\) Por lo tanto

\[C \int_{a}^{\infty}|f|<\infty\]

más mensurabilidad equivale a integrabilidad (Teorema 2 del Capítulo 8, §6).

Además,

\[C \int_{a}^{\infty}|f|<\infty\]

implica la convergencia de\(C \int_{a}^{\infty} f\) (ver Corolario 1 a continuación). Así como

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{a}^{x} f\]

existe, procedemos exactamente como antes (aquí\(s=\int f\) es finito), demostrando (ii) también. \(\quad \square\)

Nota 2. Si\(E \subseteq E^{*},\) la fórmula (1) resulta aunque no\(f\) sea\(m\) medible.

Nota 3. Si bien\(f\) no puede ser integrable a menos que\(|f|\) sea (Corolario 2 del Capítulo 8, §6), puede suceder que

\[C \int f\]

converge incluso si

\[C \int|f|=\infty\]

(esto se llama convergencia condicional). Un caso en cuestión es

\[C \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} d x;\]

ver Problema 8.

Por lo tanto,\(C\) las integrales pueden ser finitas donde las integrales adecuadas están\(\infty\) o no existen (¡una gran ventaja!). Sin embargo, son deficientes en otros aspectos (ver Problema 9 c)).

Para nuestro próximo teorema, necesitamos el Teorema 2 previamente “estrellado” en el Capítulo 4, (¡Revisarlo!) Como veremos, las C-integrales se asemejan a series infinitas.

Teorema\(\PageIndex{2}\) (Cauchy criterion)

Dejar\(A=[a, \infty), f : E^{1} \rightarrow E, E\) completar.
Supongamos

\[\int_{a}^{x} f d m\]

existe para cada uno\(x \in A.\) (Esto es automático si\(E \subseteq E^{*};\) ver Capítulo 8, §5.)

Entonces

\[C \int_{a}^{\infty} f\]

converge iff para cada\(\varepsilon>0,\) hay\(b \in A\) tal que

\[\left|\int_{v}^{x} f d m\right|<\varepsilon \quad \text {whenever } b \leq v \leq x<\infty,\]

y

\[\left|\int_{a}^{b} f d m\right|<\infty.\]

Prueba

Por aditividad (Capítulo 8, §5, Teorema 2; Capítulo 8, §7, Teorema 3),

\[\int_{a}^{x} f=\int_{a}^{v} f+\int_{v}^{x} f\]

si\(a \leq v \leq x<\infty.\) (En caso de que\(E \subseteq E^{*},\) esto\(f\) se mantenga aunque no sea integrable; véase Teorema 2, del Capítulo 8, §5.)

Ahora, si

\[C \int_{a}^{\infty} f\]

converge, vamos

\[r=\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{a}^{x} f d m \neq \pm \infty.\]

Entonces para cualquiera\(\varepsilon>0,\) hay algunos

\[b \in[a, \infty)=A\]

tal que

\[\left|\int_{a}^{x} f d m-r\right|<\frac{1}{2} \varepsilon \quad \text { for } x \geq b.\]

(¿Por qué podemos usar la métrica estándar aquí?)

Tomando\(x=b,\) obtenemos (2'). Además, si\(a \leq b \leq v \leq x,\) tenemos

\[\left|\int_{a}^{x} f d m-r\right|<\frac{1}{2} \varepsilon\]

y

\[\left|r-\int_{a}^{\nu} f d m\right|<\frac{1}{2} \varepsilon.\]

De ahí que por la ley del triángulo, (2) sigue también. Así esto\(b\) satisface (2).

Por el contrario, supongamos que tal\(b\) existe para cada\(\varepsilon>0.\) Fijación dada\(b,\) tenemos así (2) y (2'). Ahora, con\(A=[a, \infty),\) definir\(F : A \rightarrow E\) por

\[F(x)=\int_{a}^{x} f d m,\]

por lo

\[C \int_{a}^{\infty} f=\lim _{x \rightarrow \infty} F(x)\]

si existe este límite. Por (2),

\[|F(x)|=\left|\int_{a}^{x} f d m\right| \leq\left|\int_{a}^{b} f d m\right|+\left|\int_{b}^{x} f d m\right|<\left|\int_{a}^{b} f d m\right|+\varepsilon\]

si\(x \geq b.\) Así\(F\) es finito encendido\([b, \infty),\) y así podemos utilizar de nuevo la métrica estándar

\[\rho(F(x), F(v))=|F(x)-F(v)|=\left|\int_{a}^{x} f d m-\int_{a}^{v} f d m\right| \leq\left|\int_{v}^{x} f d m\right|<\varepsilon\]

si\(x, v \geq b.\) La existencia de

\[C \int_{a}^{\infty} f d m=\lim _{x \rightarrow \infty} F(x) \neq \pm \infty\]

ahora sigue por el Teorema 2 del Capítulo 4, §2. (En adelante vamos a presuponer este teorema “estrellado”.)

Así todo está probado. \(\quad \square\)

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Bajo los mismos supuestos que en el Teorema 2, la convergencia de

\[C \int_{a}^{\infty}|f| d m\]

implica el de

\[C \int_{a}^{\infty} f d m.\]

En efecto,

\[\left|\int_{v}^{x} f\right| \leq \int_{v}^{x}|f|\]

(Teorema 1 (g) del Capítulo 8, §5, y Problema 10 en el Capítulo 8, §7).

Nota 4. Decimos que\(C \int f\) converge absolutamente siff\(C \int|f|\) converge.

Corolario\(\PageIndex{2}\) (comparison test)

Si\(|f| \leq|g|\) a.e.\(A=[a, \infty)\) para algunos\(f, g : E^{1} \rightarrow E,\) entonces

\[C \int_{a}^{\infty}|f| \leq C \int_{a}^{\infty}|g|;\]

por lo que la convergencia de

\[C \int_{a}^{\infty}|g|\]

implica el de

\[C \int_{a}^{\infty}|f|.\]

Porque como\(|f|,|g| \geq 0,\) Teorema 1 reduce todo al Teorema 1 (c) del Capítulo 8, §5.

Nota 5. Como vemos, las C-integrales absolutamente convergentes coinciden con integrales propias (finitas) de Lebesgue de mapas no negativos o\(m\) medibles. Para la convergencia condicional (es decir, no absoluta), ver Problemas 6-9, 13 y 14.

Integrales C iteradas. Deje que el espacio\(X \times Y\) de producto del Capítulo 8, §8 sea

\[E^{1} \times E^{1}=E^{2},\]

y dejar\(p=m \times n,\) dónde\(m\) y\(n\) son Lebesgue medida o LS mide en\(E^{1}\). Let

\[A=[a, b], B=[c, d], \text { and } D=A \times B.\]

Entonces el integral

\[\int_{B} \int_{A} f d m d n=\int_{Y} \int_{X} f C_{D} d m d n\]

también está escrito

\[\int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f d m d n\]

o

\[\int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x, y) d m(x) d n(y).\]

Como de costumbre, escribimos "\(d x\)" para "\(d m(x)\)" si\(m\) es Lebesgue medida en\(E^{1};\) similarmente para\(n.\)

Ahora definimos

\[\begin{aligned} C \int_{a}^{\infty} \int_{c}^{\infty} f d n d m &=\lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b}\left(\lim _{d \rightarrow \infty} \int_{c}^{d} f(x, y) d n(y)\right) d m(x) \\ &=C \int_{a}^{\infty} \int_{c}^{\infty} f(x, y) d n(y) d m(x), \end{aligned}\]

siempre que existan los límites e integrales involucrados.

Si la integral (3) es finita, decimos que converge. Nuevamente, la convergencia es absoluta si se mantiene también con\(f\) sustituido por\(|f|,\) y condicional de otra manera. Definiciones similares se aplican a

\[C \int_{c}^{\infty} \int_{a}^{\infty} f d m d n, C \int_{-\infty}^{b} \int_{c}^{\infty} f d n d m, \text { etc.}\]

Teorema\(\PageIndex{3}\)

\(f : E^{2} \rightarrow E^{*}\)Sea\(p\) -mensurable en\(E^{2}\) (\(p, m, n\)como arriba). Entonces tenemos lo siguiente.

(i*) Las integrales de Cauchy

\[C \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}|f| d n d m \text { and } C \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}|f| d m d n\]

existir\((\leq \infty),\) y ambos iguales

\[\int_{E^{2}}|f| d p.\]

(ii*) Si una de estas tres integrales es finita, entonces

\[C \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f d n d m \text { and } C \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f d m d n\]

convergen, y ambos iguales

\[\int_{E^{2}} f d p.\]

(Similarmente para\(C \int_{a}^{\infty} \int_{-\infty}^{b} f d n d m,\) etc.)

Prueba

Como\(m\) y\(n\) son\(\sigma\) -finitos (¡finitos en intervalos!) ,\(f\) seguramente tiene\(\sigma\) -soporte finito.

Como\(|f| \geq 0,\) la cláusula (i*) se desprende fácilmente de nuestro presente Teorema 1 (i) y Teorema 3 (i) del Capítulo 8, §8.

De igual manera, la cláusula (ii*) se desprende del Teorema 3 (ii) de la misma sección. \(\quad \square\)

Teorema\(\PageIndex{4}\) (passage to polars)

Deje que\(p=\) Lebesgue mida en\(E^{2}.\) Supongamos\(f : E^{2} \rightarrow E^{*}\) es\(p\) -medible en\(E^{2}.\) Set

\[F(r, \theta)=f(r \cos \theta, r \sin \theta), \quad r>0.\]

Entonces

(a)\(C \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f d x d y=C \int_{0}^{\infty} r d r \int_{0}^{2 \pi} F d \theta,\) y

b)\(C \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} f d x d y=C \int_{0}^{\infty} r d r \int_{0}^{\pi / 2} F d \theta,\)

siempre\(f\) que no sea negativo o\(p\) -integrable en\(E^{2}\) (para (para (a)) o en\((0, \infty) \times(0, \infty)\) (para (b)).

Esquema de prueba

Primero déjalo\(f=C_{D},\) con\(D\) un “rectángulo curvo”

\[\left\{(r, \theta) | r_{1}<r \leq r_{2}, \theta_{1}<\theta \leq \theta_{2}\right\}\]

para algunos\(r_{1}<r_{2}\) en\(X=(0, \infty)\) y\(\theta_{1}<\theta_{2}\) en\(Y=[0,2 \pi).\) Por geometría elemental (o cálculo), el área

\[p D=\frac{1}{2}\left(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\right)\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)\]

(la diferencia entre dos sectores circulares).

Para\(f=C_{D},\) las fórmulas (a) y (b) se puede seguir fácilmente de

\[p D=L \int_{E^{2}} C_{D} d p.\]

(¡Verifica!) Ahora, los rectángulos curvos se comportan como intervalos semiabiertos

\[\left(r_{1}, r_{2}\right] \times\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right]\]

en\(E^{2},\) desde Teorema 1 en el Capítulo 7, §1, y Lema 2 del Capítulo 7, §2, se aplican con la misma prueba. Así forman un semiring generando el campo Borel en\(E^{2}\).

De ahí mostrar (como en el Capítulo 8, §8 que el Teorema 4 sostiene para\(f=C_{D}(D \in \mathcal{B}\)). Entonces toma\(D \in \mathcal{M}^{*}\). A continuación\(f\) sea elemental y no negativo, y así sucesivamente, como en los Teoremas 2 y 3 del Capítulo 8, §8. \(\quad \square\)

Ejemplos (continuación)

(D) Dejar

\[J=L \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x;\]

por lo

\[\begin{aligned} J^{2} &=\left(C \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x\right)\left(C \int_{0}^{\infty} e^{-y^{2}} d y\right) \\ &=C \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y. \quad \text {(Why?)} \end{aligned}\]

Set

\[f(x, y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\]

en Teorema 4 (b). Entonces, de\(F(r, \theta)=e^{-r^{2}};\) ahí

\[\begin{aligned} J^{2} &=C \int_{0}^{\infty} r d r\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-r^{2}} d \theta\right) \\ &=C \int_{0}^{\infty} r e^{-r^{2}} d r \cdot \frac{\pi}{2}=-\left.\frac{1}{4} \pi e^{-t}\right|_{0} ^{\infty}=\frac{1}{4} \pi. \end{aligned}\]

(Aquí calculamos

\[\int r e^{-r^{2}} d r\]

sustituyendo\(r^{2}=t\).) Así

\[C \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=L \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\sqrt{\frac{1}{4} \pi}=\frac{1}{2} \sqrt{\pi}.\]