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5.5: Integrales inadecuadas

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Las integrales definidas hasta ahora se han definido solo para funciones continuas en intervalos cerrados finitos. Hay momentos en los que necesitarás realizar la integración a pesar de que esas condiciones no se cumplen. Por ejemplo, en mecánica cuántica la función delta de Dirac 4δ se define\Reals por cuatro propiedades:

  1. δ(x) = 0para todosx0
  2. δ(0) = 
  3. δ(x) \dx = 1
  4. Para cualquier función continuaf encendida\Reals,

    f(x)δ(x) \dx = f(0).

Las propiedades (3) y (4) proporcionan ejemplos de un tipo de integral impropia: una integral en un intervalo infinito (en este caso toda la línea real\Reals=(,)). Defina este tipo de integral impropia de la siguiente manera:

Los límites en las definiciones anteriores se toman siempre después de evaluar la integral dentro del límite. Al igual que para las integrales definidas “adecuadas”, las integrales inadecuadas pueden interpretarse como que representan el área bajo una curva.

Ejemplo5.5.1: improper1

Evaluar 1\dxx .

Solución

Para todos los números realesb>1,

1\dxx = limb b1\dxx = limb (lnx |b1)= limb (lnb  ln1) = limb b = 

y así la integral es divergente. Esto significa que el área bajo la curvay=1/x a lo largo del intervalo\lival1 —como se muestra en la gráfica anterior— es infinita.

Ejemplo5.5.2: improper2

Evaluar 1\dxx2 .

Solución

Para todos los números realesb>1,

1\dxx2 = limb b1\dxx2 = limb (1x |b1)= limb (1b  (11)) = limb (1  1b) = 1  0 = 1 .

Esto significa que el área bajo la curva ay=1/x2 lo largo del intervalo\lival1 —como se muestra en la gráfica anterior— es igual a 1. Así, una región infinita puede tener un área finita. La longitud y el área son conceptos diferentes y no necesariamente relacionados, como ilustra este ejemplo. Observe quey=1/x2 se acerca a la asíntotax -eje mucho más rápido quey=1/x lo hace, lo suficientemente rápido como para hacer convergente la integral.

Ejemplo5.5.3: improper3

Evaluar 0ex \dx .

Solución

Para todos los números realesb<0,

0ex \dx = limb 0bex \dx = limb (ex |0b)= limb (1  eb) = 1  0 = 1 .Esto significa que el área bajo la curva ay=ex lo largo del intervalo\rival0 —como se muestra en la gráfica anterior— es igual a 1.

Ejemplo5.5.4: improper4

Evaluar 0sinx \dx .

Solución

Desde

0sinx \dx = limb b0sinx \dx= limb (cosx |b0) = limb (cosb + 1)

entonces la integral es divergente, ya quelimb cosb no existe (cosboscila entre 1 y -1). Esto significa que el área neta sobre\lival0 —contada como positiva por encima delx eje -y negativa abajo- es indeterminada.

Ejemplo5.5.5: improper5

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar \dx1+x2 .

Solución: Dividir la integral enx=0:

\dx1+x2 = 0\dx1+x2 + 0\dx1+x2= (limb 0b\dx1+x2) + (limb b0\dx1+x2)= (limb tan1x |0b) + (limb tan1x |b0)= limb (tan10  tan1b) + limb (tan1b  tan10)= (0(π/2)) + (π/20) = π

Esto significa que el área bajo la curvay=11+x2 sobre toda la línea real(,) —como se muestra en la gráfica anterior— es igualπ. Tenga en cuenta que si la integral se dividiera en cualquier númeroc entonces la respuesta sería la misma. Otra forma de evaluar la integral habría sido usar la simetría alrededor dely -eje -comof(x)=11+x2 es una función par- para que

\dx1+x2 = 20\dx1+x2 =  = 2(π/20) = π .

Dado que el integrando es continuo\Reals, una forma común de evaluar lo integral, especialmente entre los estudiantes, es simplemente usarlo± como límites reales de integración, evitando así la necesidad de tomar un límite:

\dx1+x2 = tan1x | = tan1()  tan1() = π2  π2 = π

Este tipo de atajo está bien siempre y cuando seas consciente de lo quetan1x realmente significa conectarsex=± a, y que no hay números para los que el integrando esté indefinido (lo que produciría una integral inadecuada de un tipo diferente, que se discutirá en breve).

El segundo tipo de integral impropia es de una función no continua o no delimitada en su intervalo de integración. Por ejemplo, la integral en propiedad (3) de la función delta de Dirac es de ese tipo, ya queδ es discontinua enx=0. Defina este tipo de integral impropia de la siguiente manera:

Ejemplo5.5.6: improper6

Evaluar 10\dxx .

Solución

Dado quex=0 es una asíntota vertical paray=1x,

10\dxx = limc0+ 1c\dxx = limc0+ (lnx |1c)= limc0+ (ln1  lnc) = 0  () = 

y así la integral es divergente. Esto significa que el área bajo la curvay=1/x a lo largo del intervalo\rival01 —como se muestra en la gráfica anterior— es infinita. La región es infinita en lay dirección.

Ejemplo5.5.7: improper7

Evaluar 10\dxx .

Solución

Dado quex=0 es una asíntota vertical paray=1x,

10\dxx = limc0+ 1c\dxx = limc0+ (2x |1c)= limc0+ (2  2c) = 2  0 = 2 .Esto significa que el área bajo la curva ay=1/x lo largo del intervalo\rival01 —como se muestra en la gráfica anterior— es igual a 2. La región es infinita en lay dirección.

Ejemplo5.5.8: improper8

Evaluar 31x \dx .

Solución

Recordar del ejemplo

31x \dx = 21x \dx + 32x \dx= (limb2 b1x \dx) + (limc3 c2x \dx)= (limb2 b11 \dx) + (limc3 c22 \dx)= limb2 (x |b1) + limc3 (2x |c2)= limb2 (b1) + limc3 (2c4) = (21) + (64) = 3

Ejemplo5.5.1: floorceil

en la Sección 3.3 que la función floory=x tiene discontinuidades de salto en cada valor entero dex, como se muestra en la gráfica de la derecha. La integral31x\dx es, por lo tanto, una integral inadecuada a lo largo del intervalo\lival13, que debe dividirse en el punto de discontinuidadx=2 dentro de ese intervalo:

Similar a algunos de los ejemplos anteriores, el siguiente resultado es fácil de probar (ver los ejercicios):

La siguiente prueba de convergencia o divergencia a veces es útil:

La idea detrás de la parte (a) es que si seg(x)f(x)g(x) termina\livala, entonces —pensando en integrales impropias como áreas— la integral def se “aprieta” entre las dos integrales finitas para±g. Sin embargo, hay algunas cuestiones sutiles que probar sobre el límite en la integral def los límites finitos podrían no significar necesariamente que el límite existe. 5

Ejemplo5.5.1: improper9

Agrega texto aquí.

Solución

Demostrar que 1sinxx2 \dx  es convergente.

Solución: Por ejemplo

Ejemplo5.5.1: improper2

Agrega texto aquí.

Solución

, la integral11x2\dx es convergente. Así que ya que\abssinx1 para todosx, entonces

 

 

\ABSsinxx2  1x2para todosx en\lival1. Así, por la Prueba de Comparación,1sinxx2\dx es convergente. La gráfica de la derecha muestra cómoy=sinxx2 se delimita la curva entre las curvasy=±1x2.

Las reglas y propiedades de la Sección 5.3 relativas a integrales definidas siguen aplicándose a integrales inadecuadas, siempre que las integrales inadecuadas sean convergentes. Por ejemplo, supongamos que una funciónf tiene una discontinuidad o asíntota vertical enx=c. Si tanto integralescaf(x)\dx impropias como convergentes, entonces la integral impropiabaf(x)\dx es convergente ybcf(x)\dx

 

 

baf(x) \dx = caf(x) \dx + bcf(x) \dx .Del mismo modo, sicaf(x)\dx ycf(x)\dx son convergentes, entonces así esaf(x)\dx, con

 

 

af(x) \dx = caf(x) \dx + cf(x) \dx .[sec5dot5]

Para los Ejercicios 1-15, evaluar la integral impropia dada.

5

1\dxx310\dx3x

10\dx3x

0ex \dx10\dx3x

0e2x \dx10\dx3x

11\dxx10\dx3x

5

0xex2 \dxπ/20

02x \dxπ/20

π/20tanx \dx

10lnxx \dxπ/20

11\dx1x2π/20

5

30x \dx10\dx(x1)3

\dxx2 + 410\dx(x1)3

10\dx(x1)3

2\dxxlnx10\dx(x1)3

1\dxxx2110\dx(x1)3

En un sistema en espera de dos componentes no idénticos, el componente operativo normal A tiene una tasa deλA>0 fallas por unidad de tiempo, mientras que el componente en espera B, que se hace cargo cuando falla A, tiene una tasa de fallasλB>0 (conλAλB).

  1. Encuentre la confiabilidad del sistema en esperaR(t) más allá del tiempot0, donde

     

     

    R(t) = tλAλBλAλB(eλBx  eλAx) \dx .

     

  2. Demostrar que el tiempo medio de falla del sistema (MTTF)m, dondem=0R(t)\dt , esm=1λA+1λB.

     

Demostrar que para todosa>0, a\dxxp  es convergente sip>1, y divergente si0<p1.

Demostrar que para todosa>0, a0\dxxp  es convergente si0<p<1, y divergente sip1.

2

¿Es 1\dxx+x4  convergente? Explique.

¿Es 2\dxxx  convergente? Explique.

[[1.] ]

Ejemplo

Ejemplo5.5.1: improper4

Agrega texto aquí.

Solución

demostró que0sinx\dx es divergente. ¿Cuál es la falla en el argumento de que la integral debe ser 0 ya que cada “joroba” desinx arriba delx eje -se cancela por una debajo delx eje -eje?

Este ejercicio se refiere a la regla de la restaa(f(x)g(x))\dx=af(x)\dxag(x)\dx.

  1. Demostrar que1x(x+1)=1x1x+1 para todosx excepto 0 y -1

     

  2. Demostrar que1\dxx(x+1) es convergente.

     

  3. Demostrar que ambos1\dxx y1\dxx+1 son divergentes.

     

  4. ¿La parte c) contradice las partes (a) - (b) y la regla de la resta? Explique.

     

La integral impropiaδ(x)\dx=1 es una de las “incorrecciones” notables de la función delta de Diracδ. Una manera de pensar en esa integral es aproximandoδ por funciones triangulares de “pulso”Dn (forn1), como en la imagen de la derecha.

  1. Escribe una fórmula para cada unoDn(x) sobre todos\Reals.

     

  2. Dn(x)\dx=1Demuéstrale eso para todos los enterosn1.

     

  3. Demuestre esolimnDn(0)==δ(0).

     

  4. ¿LasDn funciones comienzan a parecerseδ comon?

     


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