5.5: Integrales inadecuadas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Las integrales definidas hasta ahora se han definido solo para funciones continuas en intervalos cerrados finitos. Hay momentos en los que necesitarás realizar la integración a pesar de que esas condiciones no se cumplen. Por ejemplo, en mecánica cuántica la función delta de Dirac 4δ se define\Reals por cuatro propiedades:
- δ(x) = 0para todosx≠0
- δ(0) = ∞
- ∫∞−∞δ(x) \dx = 1
- Para cualquier función continuaf encendida\Reals,
∫∞−∞f(x)δ(x) \dx = f(0).
Las propiedades (3) y (4) proporcionan ejemplos de un tipo de integral impropia: una integral en un intervalo infinito (en este caso toda la línea real\Reals=(−∞,∞)). Defina este tipo de integral impropia de la siguiente manera:
Los límites en las definiciones anteriores se toman siempre después de evaluar la integral dentro del límite. Al igual que para las integrales definidas “adecuadas”, las integrales inadecuadas pueden interpretarse como que representan el área bajo una curva.
Ejemplo5.5.1: improper1
Evaluar ∫∞1\dxx .
Solución
Para todos los números realesb>1,
∫∞1\dxx = limb→∞ ∫b1\dxx = limb→∞ (lnx |b1)= limb→∞ (lnb − ln1) = limb→∞ b = ∞
y así la integral es divergente. Esto significa que el área bajo la curvay=1/x a lo largo del intervalo\lival1∞ —como se muestra en la gráfica anterior— es infinita.
Ejemplo5.5.2: improper2
Evaluar ∫∞1\dxx2 .
Solución
Para todos los números realesb>1,
∫∞1\dxx2 = limb→∞ ∫b1\dxx2 = limb→∞ (−1x |b1)= limb→∞ (−1b − (−11)) = limb→∞ (1 − 1b) = 1 − 0 = 1 .
Esto significa que el área bajo la curva ay=1/x2 lo largo del intervalo\lival1∞ —como se muestra en la gráfica anterior— es igual a 1. Así, una región infinita puede tener un área finita. La longitud y el área son conceptos diferentes y no necesariamente relacionados, como ilustra este ejemplo. Observe quey=1/x2 se acerca a la asíntotax -eje mucho más rápido quey=1/x lo hace, lo suficientemente rápido como para hacer convergente la integral.
Ejemplo5.5.3: improper3
Evaluar ∫0−∞ex \dx .
Solución
Para todos los números realesb<0,
∫0−∞ex \dx = limb→−∞ ∫0bex \dx = limb→−∞ (ex |0b)= limb→−∞ (1 − eb) = 1 − 0 = 1 .Esto significa que el área bajo la curva ay=ex lo largo del intervalo\rival−∞0 —como se muestra en la gráfica anterior— es igual a 1.
Ejemplo5.5.4: improper4
Evaluar ∫∞0sinx \dx .
Solución
Desde
∫∞0sinx \dx = limb→∞ ∫b0sinx \dx= limb→∞ (−cosx |b0) = limb→∞ (−cosb + 1)
entonces la integral es divergente, ya quelimb→∞ cosb no existe (cosboscila entre 1 y -1). Esto significa que el área neta sobre\lival0∞ —contada como positiva por encima delx eje -y negativa abajo- es indeterminada.
Ejemplo5.5.5: improper5
Agrega texto aquí.
Solución
Evaluar ∫∞−∞\dx1+x2 .
Solución: Dividir la integral enx=0:
∫∞−∞\dx1+x2 = ∫0−∞\dx1+x2 + ∫∞0\dx1+x2= (limb→−∞ ∫0b\dx1+x2) + (limb→∞ ∫b0\dx1+x2)= (limb→−∞ tan−1x |0b) + (limb→∞ tan−1x |b0)= limb→−∞ (tan−10 − tan−1b) + limb→∞ (tan−1b − tan−10)= (0−(−π/2)) + (π/2−0) = π
Esto significa que el área bajo la curvay=11+x2 sobre toda la línea real(−∞,∞) —como se muestra en la gráfica anterior— es igualπ. Tenga en cuenta que si la integral se dividiera en cualquier númeroc entonces la respuesta sería la misma. Otra forma de evaluar la integral habría sido usar la simetría alrededor dely -eje -comof(x)=11+x2 es una función par- para que
∫∞−∞\dx1+x2 = 2∫∞0\dx1+x2 = ⋯ = 2(π/2−0) = π .
Dado que el integrando es continuo\Reals, una forma común de evaluar lo integral, especialmente entre los estudiantes, es simplemente usarlo±∞ como límites reales de integración, evitando así la necesidad de tomar un límite:
∫∞−∞\dx1+x2 = tan−1x |∞−∞ = tan−1(∞) − tan−1(−∞) = π2 − −π2 = π
Este tipo de atajo está bien siempre y cuando seas consciente de lo quetan−1x realmente significa conectarsex=±∞ a, y que no hay números para los que el integrando esté indefinido (lo que produciría una integral inadecuada de un tipo diferente, que se discutirá en breve).
El segundo tipo de integral impropia es de una función no continua o no delimitada en su intervalo de integración. Por ejemplo, la integral en propiedad (3) de la función delta de Dirac es de ese tipo, ya queδ es discontinua enx=0. Defina este tipo de integral impropia de la siguiente manera:
Ejemplo5.5.6: improper6
Evaluar ∫10\dxx .
Solución
Dado quex=0 es una asíntota vertical paray=1x,
∫10\dxx = limc→0+ ∫1c\dxx = limc→0+ (lnx |1c)= limc→0+ (ln1 − lnc) = 0 − (−∞) = ∞
y así la integral es divergente. Esto significa que el área bajo la curvay=1/x a lo largo del intervalo\rival01 —como se muestra en la gráfica anterior— es infinita. La región es infinita en lay dirección.
Ejemplo5.5.7: improper7
Evaluar ∫10\dx√x .
Solución
Dado quex=0 es una asíntota vertical paray=1√x,
∫10\dx√x = limc→0+ ∫1c\dx√x = limc→0+ (2√x |1c)= limc→0+ (2 − 2√c) = 2 − 0 = 2 .Esto significa que el área bajo la curva ay=1/√x lo largo del intervalo\rival01 —como se muestra en la gráfica anterior— es igual a 2. La región es infinita en lay dirección.
Ejemplo5.5.8: improper8
Evaluar ∫31⌊x⌋ \dx .
Solución
Recordar del ejemplo
∫31⌊x⌋ \dx = ∫21⌊x⌋ \dx + ∫32⌊x⌋ \dx= (limb→2− ∫b1⌊x⌋ \dx) + (limc→3− ∫c2⌊x⌋ \dx)= (limb→2− ∫b11 \dx) + (limc→3− ∫c22 \dx)= limb→2− (x |b1) + limc→3− (2x |c2)= limb→2− (b−1) + limc→3− (2c−4) = (2−1) + (6−4) = 3
Ejemplo5.5.1: floorceil
en la Sección 3.3 que la función floory=⌊x⌋ tiene discontinuidades de salto en cada valor entero dex, como se muestra en la gráfica de la derecha. La integral∫31⌊x⌋\dx es, por lo tanto, una integral inadecuada a lo largo del intervalo\lival13, que debe dividirse en el punto de discontinuidadx=2 dentro de ese intervalo:
Similar a algunos de los ejemplos anteriores, el siguiente resultado es fácil de probar (ver los ejercicios):
La siguiente prueba de convergencia o divergencia a veces es útil:
La idea detrás de la parte (a) es que si se−g(x)≤f(x)≤g(x) termina\livala∞, entonces —pensando en integrales impropias como áreas— la integral def se “aprieta” entre las dos integrales finitas para±g. Sin embargo, hay algunas cuestiones sutiles que probar sobre el límite en la integral def los límites finitos podrían no significar necesariamente que el límite existe. 5
Ejemplo5.5.1: improper9
Agrega texto aquí.
Solución
Demostrar que ∫∞1sinxx2 \dx es convergente.
Solución: Por ejemplo
Ejemplo5.5.1: improper2
Agrega texto aquí.
Solución
, la integral∫∞11x2\dx es convergente. Así que ya que\abssinx≤1 para todosx, entonces
\ABSsinxx2 ≤ 1x2para todosx en\lival1∞. Así, por la Prueba de Comparación,∫∞1sinxx2\dx es convergente. La gráfica de la derecha muestra cómoy=sinxx2 se delimita la curva entre las curvasy=±1x2.
Las reglas y propiedades de la Sección 5.3 relativas a integrales definidas siguen aplicándose a integrales inadecuadas, siempre que las integrales inadecuadas sean convergentes. Por ejemplo, supongamos que una funciónf tiene una discontinuidad o asíntota vertical enx=c. Si tanto integrales∫caf(x)\dx impropias como convergentes, entonces la integral impropia∫baf(x)\dx es convergente y∫bcf(x)\dx
∫baf(x) \dx = ∫caf(x) \dx + ∫bcf(x) \dx .Del mismo modo, si∫caf(x)\dx y∫∞cf(x)\dx son convergentes, entonces así es∫∞af(x)\dx, con
∫∞af(x) \dx = ∫caf(x) \dx + ∫∞cf(x) \dx .[sec5dot5]
Para los Ejercicios 1-15, evaluar la integral impropia dada.
5
∫∞1\dxx3∫10\dx3√x
∫10\dx3√x
∫∞0e−x \dx∫10\dx3√x
∫∞0e−2x \dx∫10\dx3√x
∫1−1\dxx∫10\dx3√x
5
∫∞0xe−x2 \dx∫π/20
∫0−∞2x \dx∫π/20
∫π/20tanx \dx
∫10lnxx \dx∫π/20
∫1−1\dx√1−x2∫π/20
5
∫30⌈x⌉ \dx∫10\dx(x−1)3
∫∞−∞\dxx2 + 4∫10\dx(x−1)3
∫10\dx(x−1)3
∫∞2\dxxlnx∫10\dx(x−1)3
∫∞1\dxx√x2−1∫10\dx(x−1)3
En un sistema en espera de dos componentes no idénticos, el componente operativo normal A tiene una tasa deλA>0 fallas por unidad de tiempo, mientras que el componente en espera B, que se hace cargo cuando falla A, tiene una tasa de fallasλB>0 (conλA≠λB).
- Encuentre la confiabilidad del sistema en esperaR(t) más allá del tiempot≥0, donde
R(t) = ∫∞tλAλBλA−λB(e−λBx − e−λAx) \dx .
- Demostrar que el tiempo medio de falla del sistema (MTTF)m, dondem=∫∞0R(t)\dt , esm=1λA+1λB.
Demostrar que para todosa>0, ∫∞a\dxxp es convergente sip>1, y divergente si0<p≤1.
Demostrar que para todosa>0, ∫a0\dxxp es convergente si0<p<1, y divergente sip≥1.
2
¿Es ∫∞1\dxx+x4 convergente? Explique.
¿Es ∫∞2\dxx−√x convergente? Explique.
[[1.] ]
Ejemplo
Ejemplo5.5.1: improper4
Agrega texto aquí.
Solución
demostró que∫∞0sinx\dx es divergente. ¿Cuál es la falla en el argumento de que la integral debe ser 0 ya que cada “joroba” desinx arriba delx eje -se cancela por una debajo delx eje -eje?
Este ejercicio se refiere a la regla de la resta∫∞a(f(x)−g(x))\dx=∫∞af(x)\dx−∫∞ag(x)\dx.
- Demostrar que1x(x+1)=1x−1x+1 para todosx excepto 0 y -1
- Demostrar que∫∞1\dxx(x+1) es convergente.
- Demostrar que ambos∫∞1\dxx y∫∞1\dxx+1 son divergentes.
- ¿La parte c) contradice las partes (a) - (b) y la regla de la resta? Explique.
La integral impropia∫∞−∞δ(x)\dx=1 es una de las “incorrecciones” notables de la función delta de Diracδ. Una manera de pensar en esa integral es aproximandoδ por funciones triangulares de “pulso”Dn (forn≥1), como en la imagen de la derecha.
- Escribe una fórmula para cada unoDn(x) sobre todos\Reals.
- ∫∞−∞Dn(x)\dx=1Demuéstrale eso para todos los enterosn≥1.
- Demuestre esolimn→∞Dn(0)=∞=δ(0).
- ¿LasDn funciones comienzan a parecerseδ comon→∞?