5.5: Integrales inadecuadas

Las integrales definidas hasta ahora se han definido solo para funciones continuas en intervalos cerrados finitos. Hay momentos en los que necesitarás realizar la integración a pesar de que esas condiciones no se cumplen. Por ejemplo, en mecánica cuántica la función delta de Dirac ⁴\(\delta\) se define\(\Reals\) por cuatro propiedades:

1. \(\delta(x) ~=~ 0\;\)para todos\(x \ne 0\)
2. \(\delta(0) ~=~ \infty\)
3. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)~\dx ~=~ 1\)
4. Para cualquier función continua\(f\) encendida\(\Reals\),

   \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\;\delta(x)~\dx ~=~ f(0)\).

Las propiedades (3) y (4) proporcionan ejemplos de un tipo de integral impropia: una integral en un intervalo infinito (en este caso toda la línea real\(\Reals = (-\infty,\infty)\)). Defina este tipo de integral impropia de la siguiente manera:

Los límites en las definiciones anteriores se toman siempre después de evaluar la integral dentro del límite. Al igual que para las integrales definidas “adecuadas”, las integrales inadecuadas pueden interpretarse como que representan el área bajo una curva.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): improper1

Evaluar\(~\displaystyle\int_1^{\infty}\,\dfrac{\dx}{x}~\).

Solución

Para todos los números reales\(b > 1\),

\[\begin{aligned} \int_1^{\infty}\,\dfrac{\dx}{x} ~&=~ \lim_{b \to \infty}~\int_{1}^{b} \dfrac{\dx}{x} ~=~ \lim_{b \to \infty}~\left(\ln\,x~\Biggr|_1^{b}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to \infty}~ (\ln\,b ~-~ \ln\,1) ~=~ \lim_{b \to \infty}~ b ~=~ \infty\end{aligned}\]

y así la integral es divergente. Esto significa que el área bajo la curva\(y=1/x\) a lo largo del intervalo\(\lival{1}{\infty}\) —como se muestra en la gráfica anterior— es infinita.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): improper2

Evaluar\(~\displaystyle\int_1^{\infty}\,\dfrac{\dx}{x^2}~\).

Solución

Para todos los números reales\(b > 1\),

\[\begin{aligned} \int_1^{\infty}\,\dfrac{\dx}{x^2} ~&=~ \lim_{b \to \infty}~\int_{1}^{b} \dfrac{\dx}{x^2} ~=~ \lim_{b \to \infty}~\left(-\frac{1}{x}~\Biggr|_1^{b}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to \infty}~ \left(-\frac{1}{b} ~-~ \left(-\frac{1}{1}\right)\right) ~=~ \lim_{b \to \infty}~ \left(1 ~-~ \frac{1}{b}\right) ~=~ 1 ~-~ 0 ~=~ 1 ~.\end{aligned}\]

Esto significa que el área bajo la curva a\(y=1/x^2\) lo largo del intervalo\(\lival{1}{\infty}\) —como se muestra en la gráfica anterior— es igual a 1. Así, una región infinita puede tener un área finita. La longitud y el área son conceptos diferentes y no necesariamente relacionados, como ilustra este ejemplo. Observe que\(y=1/x^2\) se acerca a la asíntota\(x\) -eje mucho más rápido que\(y=1/x\) lo hace, lo suficientemente rápido como para hacer convergente la integral.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): improper3

Evaluar\(~\displaystyle\int_{-\infty}^0\,e^x~\dx~\).

Solución

Para todos los números reales\(b < 0\),

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^0\,e^x~\dx ~&=~ \lim_{b \to -\infty}~\int_{b}^0\,e^x~\dx ~=~ \lim_{b \to -\infty}~\left(e^x~\Biggr|_b^{0}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to -\infty}~ (1 ~-~ e^b) ~=~ 1 ~-~ 0 ~=~ 1 ~.\end{aligned}\]Esto significa que el área bajo la curva a\(y=e^x\) lo largo del intervalo\(\rival{-\infty}{0}\) —como se muestra en la gráfica anterior— es igual a 1.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): improper4

Evaluar\(~\displaystyle\int_{0}^{\infty}\,\sin\,x~\dx~\).

Solución

Desde

\[\begin{aligned} \int_{0}^{\infty}\,\sin\,x~\dx ~&=~ \lim_{b \to \infty}~\int_{0}^{b}\,\sin\,x~\dx\\[6pt] &=~ \lim_{b \to \infty}~\left(-\cos\,x~\Biggr|_0^{b}\right) ~=~ \lim_{b \to \infty}~(-\cos\,b ~+~ 1)\end{aligned}\]

entonces la integral es divergente, ya que\(\lim_{b \to \infty}~\cos\,b\) no existe (\(\cos b\)oscila entre 1 y -1). Esto significa que el área neta sobre\(\lival{0}{\infty}\) —contada como positiva por encima del\(x\) eje -y negativa abajo- es indeterminada.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): improper5

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(~\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2}~\).

Solución: Dividir la integral en\(x=0\):

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2} ~&=~ \int_{-\infty}^{0}\,\frac{\dx}{1 + x^2} ~+~ \int_{0}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2}\\[6pt] &=~ \left(\lim_{b \to -\infty}~\int_{b}^{0}\,\frac{\dx}{1 + x^2}\right) ~+~ \left(\lim_{b \to \infty}~\int_{0}^{b}\,\frac{\dx}{1 + x^2}\right)\\[6pt] &=~ \left(\lim_{b \to -\infty}~\tan^{-1} x~\Biggr|_b^{0}\right) ~+~ \left(\lim_{b \to \infty}~\tan^{-1} x~\Biggr|_0^{b}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to -\infty}~ (\tan^{-1} 0 ~-~ \tan^{-1} b) ~+~ \lim_{b \to \infty}~ (\tan^{-1} b ~-~ \tan^{-1} 0)\\[4pt] &=~ (0 - (-\pi/2)) ~+~ (\pi/2 - 0) ~=~ \pi\end{aligned}\]

Esto significa que el área bajo la curva\(y=\frac{1}{1+x^2}\) sobre toda la línea real\((-\infty,\infty)\) —como se muestra en la gráfica anterior— es igual\(\pi\). Tenga en cuenta que si la integral se dividiera en cualquier número\(c\) entonces la respuesta sería la misma. Otra forma de evaluar la integral habría sido usar la simetría alrededor del\(y\) -eje -como\(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\) es una función par- para que

\[\int_{-\infty}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2} ~=~ 2\,\int_{0}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2} ~=~ \cdots ~=~ 2 (\pi/2 - 0) ~=~ \pi ~.\]

Dado que el integrando es continuo\(\Reals\), una forma común de evaluar lo integral, especialmente entre los estudiantes, es simplemente usarlo\(\pm\infty\) como límites reales de integración, evitando así la necesidad de tomar un límite:

\[\int_{-\infty}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2} ~=~ \tan^{-1} x~\Biggr|_{-\infty}^{\infty} ~=~ \tan^{-1} (\infty) ~-~ \tan^{-1} (-\infty) ~=~ \frac{\pi}{2} ~-~ \frac{-\pi}{2} ~=~ \pi\]

Este tipo de atajo está bien siempre y cuando seas consciente de lo que\(\tan^{-1} x\) realmente significa conectarse\(x=\pm\infty\) a, y que no hay números para los que el integrando esté indefinido (lo que produciría una integral inadecuada de un tipo diferente, que se discutirá en breve).

El segundo tipo de integral impropia es de una función no continua o no delimitada en su intervalo de integración. Por ejemplo, la integral en propiedad (3) de la función delta de Dirac es de ese tipo, ya que\(\delta\) es discontinua en\(x=0\). Defina este tipo de integral impropia de la siguiente manera:

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): improper6

Evaluar\(~\displaystyle\int_{0}^{1}\,\frac{\dx}{x}~\).

Solución

Dado que\(x=0\) es una asíntota vertical para\(y = \frac{1}{x}\),

\[\begin{aligned} \int_{0}^{1}\,\frac{\dx}{x} ~&=~ \lim_{c \to 0+}~\int_{c}^{1}\,\frac{\dx}{x} ~=~ \lim_{c \to 0+}~\left(\ln\,x~\Biggr|_c^{1}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{c \to 0+}~(\ln\,1 ~-~ \ln\,c) ~=~ 0 ~-~ (-\infty) ~=~ \infty\end{aligned}\]

y así la integral es divergente. Esto significa que el área bajo la curva\(y=1/x\) a lo largo del intervalo\(\rival{0}{1}\) —como se muestra en la gráfica anterior— es infinita. La región es infinita en la\(y\) dirección.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): improper7

Evaluar\(~\displaystyle\int_{0}^{1}\,\frac{\dx}{\sqrt{x}}~\).

Solución

Dado que\(x=0\) es una asíntota vertical para\(y = \frac{1}{\sqrt{x}}\),

\[\begin{aligned} \int_{0}^{1}\,\frac{\dx}{\sqrt{x}} ~&=~ \lim_{c \to 0+}~\int_{c}^{1}\,\frac{\dx}{\sqrt{x}} ~=~ \lim_{c \to 0+}~\left(2\,\sqrt{x}~\Biggr|_c^{1}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{c \to 0+}~(2 ~-~ 2\,\sqrt{c}\,) ~=~ 2 ~-~ 0 ~=~ 2 ~.\end{aligned}\]Esto significa que el área bajo la curva a\(y=1/\sqrt{x}\) lo largo del intervalo\(\rival{0}{1}\) —como se muestra en la gráfica anterior— es igual a 2. La región es infinita en la\(y\) dirección.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\): improper8

Evaluar\(~\displaystyle\int_{1}^{3}\,\lfloor x \rfloor~\dx~\).

Solución

Recordar del ejemplo

\[\begin{aligned} \int_{1}^{3}\,\lfloor x \rfloor~\dx ~&=~ \int_{1}^{2}\,\lfloor x \rfloor~\dx ~+~ \int_{2}^{3}\,\lfloor x \rfloor~\dx\\[6pt] &=~ \left(\lim_{b \to 2-}~\int_{1}^{b}\,\lfloor x \rfloor~\dx\right) ~+~ \left(\lim_{c \to 3-}~\int_{2}^{c}\,\lfloor x \rfloor~\dx\right)\\[6pt] &=~ \left(\lim_{b \to 2-}~\int_{1}^{b}\,1~\dx\right) ~+~ \left(\lim_{c \to 3-}~\int_{2}^{c}\,2~\dx\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to 2-}~\left(x~\Biggr|_1^{b}\right) ~+~ \lim_{c \to 3-}~\left(2x~\Biggr|_2^{c}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to 2-}~(b - 1) ~+~ \lim_{c \to 3-}~(2c - 4) ~=~ (2-1) ~+~ (6-4) ~=~ 3\end{aligned}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): floorceil

en la Sección 3.3 que la función floor\(y=\lfloor x \rfloor\) tiene discontinuidades de salto en cada valor entero de\(x\), como se muestra en la gráfica de la derecha. La integral\(\int_{1}^{3}\,\lfloor x \rfloor\;\dx\) es, por lo tanto, una integral inadecuada a lo largo del intervalo\(\lival{1}{3}\), que debe dividirse en el punto de discontinuidad\(x=2\) dentro de ese intervalo:

Similar a algunos de los ejemplos anteriores, el siguiente resultado es fácil de probar (ver los ejercicios):

La siguiente prueba de convergencia o divergencia a veces es útil:

La idea detrás de la parte (a) es que si se\(-g(x) \le f(x) \le g(x)\) termina\(\lival{a}{\infty}\), entonces —pensando en integrales impropias como áreas— la integral de\(f\) se “aprieta” entre las dos integrales finitas para\(\pm g\). Sin embargo, hay algunas cuestiones sutiles que probar sobre el límite en la integral de\(f\) los límites finitos podrían no significar necesariamente que el límite existe. ⁵

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): improper9

Agrega texto aquí.

Solución

Demostrar que\(~\displaystyle\int_{1}^{\infty}\,\dfrac{\sin\,x}{x^2}~\dx~\) es convergente.

Solución: Por ejemplo

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): improper2

Agrega texto aquí.

Solución

, la integral\(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2}\,\dx\) es convergente. Así que ya que\(\abs{\sin\,x} \le 1\) para todos\(x\), entonces

 

 

\[\ABS{\frac{\sin\,x}{x^2}} ~\le~ \frac{1}{x^2}\]para todos\(x\) en\(\lival{1}{\infty}\). Así, por la Prueba de Comparación,\(\int_{1}^{\infty} \frac{\sin\,x}{x^2}\,\dx\) es convergente. La gráfica de la derecha muestra cómo\(y=\tfrac{\sin\,x}{x^2}\) se delimita la curva entre las curvas\(y=\pm\tfrac{1}{x^2}\).

Las reglas y propiedades de la Sección 5.3 relativas a integrales definidas siguen aplicándose a integrales inadecuadas, siempre que las integrales inadecuadas sean convergentes. Por ejemplo, supongamos que una función\(f\) tiene una discontinuidad o asíntota vertical en\(x=c\). Si tanto integrales\(\int_a^{c} f(x)\,\dx\) impropias como convergentes, entonces la integral impropia\(\int_a^{b} f(x)\,\dx\) es convergente y\(\int_c^{b} f(x)\,\dx\)

 

 

\[\int_a^{b} f(x)~\dx ~=~ \int_a^{c} f(x)~\dx ~+~ \int_c^{b} f(x)~\dx ~.\]Del mismo modo, si\(\int_a^{c} f(x)\,\dx\) y\(\int_c^{\infty} f(x)\,\dx\) son convergentes, entonces así es\(\int_a^{\infty} f(x)\,\dx\), con

 

 

\[\int_a^{\infty} f(x)~\dx ~=~ \int_a^{c} f(x)~\dx ~+~ \int_c^{\infty} f(x)~\dx ~.\][sec5dot5]

Para los Ejercicios 1-15, evaluar la integral impropia dada.

5

\(\displaystyle\int_{1}^{\infty} \frac{\dx}{x^3}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\dx}{\sqrt[3]{x}}}\)

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{\sqrt[3]{x}}\)

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-x} ~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\dx}{\sqrt[3]{x}}}\)

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-2x} ~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\dx}{\sqrt[3]{x}}}\)

\(\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{\dx}{x}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\dx}{\sqrt[3]{x}}}\)

5

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} x e^{-x^2}~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}}\)

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{0} 2^x ~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}}\)

\(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \tan x ~\dx\)

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\ln\,x}{x}~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}}\)

\(\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{\dx}{\sqrt{1 - x^2}}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}}\)

5

\(\displaystyle\int_{0}^{3} \lceil x \rceil ~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{(x - 1)^3}}\)

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\dx}{x^2 ~+~ 4}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{(x - 1)^3}}\)

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{(x - 1)^3}\)

\(\displaystyle\int_{2}^{\infty} \frac{\dx}{x\, \ln x}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{(x - 1)^3}}\)

\(\displaystyle\int_{1}^{\infty} \frac{\dx}{x\,\sqrt{x^2 - 1}}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{(x - 1)^3}}\)

En un sistema en espera de dos componentes no idénticos, el componente operativo normal A tiene una tasa de\(\lambda_A > 0\) fallas por unidad de tiempo, mientras que el componente en espera B, que se hace cargo cuando falla A, tiene una tasa de fallas\(\lambda_B > 0\) (con\(\lambda_A \ne \lambda_B\)).

1. Encuentre la confiabilidad del sistema en espera\(R(t)\) más allá del tiempo\(t \ge 0\), donde

    

    

   \[R(t) ~=~ \int_t^{\infty} \frac{\lambda_A \lambda_B}{\lambda_A - \lambda_B} \left(e^{-\lambda_B x} ~-~ e^{-\lambda_A x}\right)~\dx ~.\]

    

2. Demostrar que el tiempo medio de falla del sistema (MTTF)\(m\), donde\(m = \int_0^{\infty} R(t)\,\dt~\), es\(m = \frac{1}{\lambda_A} + \frac{1}{\lambda_B}\).

    

Demostrar que para todos\(a > 0\),\(~\displaystyle\int_{a}^{\infty}\,\frac{\dx}{x^p}~\) es convergente si\(p > 1\), y divergente si\(0 < p \le 1\).

Demostrar que para todos\(a > 0\),\(~\displaystyle\int_{0}^{a}\,\frac{\dx}{x^p}~\) es convergente si\(0 < p < 1\), y divergente si\(p \ge 1\).

2

¿Es\(~\displaystyle\int_{1}^{\infty} \frac{\dx}{x + x^4}~\) convergente? Explique.

¿Es\(~\displaystyle\int_{2}^{\infty} \frac{\dx}{x - \sqrt{x}}~\) convergente? Explique.

[[1.] ]

Ejemplo

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): improper4

Agrega texto aquí.

Solución

demostró que\(\int_0^{\infty}\sin x\,\dx\) es divergente. ¿Cuál es la falla en el argumento de que la integral debe ser 0 ya que cada “joroba” de\(\sin x\) arriba del\(x\) eje -se cancela por una debajo del\(x\) eje -eje?

Este ejercicio se refiere a la regla de la resta\(\int_a^{\infty} (f(x) - g(x))\,\dx = \int_a^{\infty} f(x)\,\dx \;-\; \int_a^{\infty} g(x)\,\dx\).

1. Demostrar que\(\frac{1}{x (x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\) para todos\(x\) excepto 0 y -1

    

2. Demostrar que\(\int_1^{\infty} \frac{\dx}{x (x+1)}\) es convergente.

    

3. Demostrar que ambos\(\int_1^{\infty} \frac{\dx}{x}\) y\(\int_1^{\infty} \frac{\dx}{x+1}\) son divergentes.

    

4. ¿La parte c) contradice las partes (a) - (b) y la regla de la resta? Explique.

    

La integral impropia\(\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\,\dx = 1\) es una de las “incorrecciones” notables de la función delta de Dirac\(\delta\). Una manera de pensar en esa integral es aproximando\(\delta\) por funciones triangulares de “pulso”\(D_n\) (for\(n \ge 1\)), como en la imagen de la derecha.

1. Escribe una fórmula para cada uno\(D_n(x)\) sobre todos\(\Reals\).

    

2. \(\int_{-\infty}^{\infty} D_n(x)\,\dx = 1\,\)Demuéstrale eso para todos los enteros\(n \ge 1\).

    

3. Demuestre eso\(\lim_{n \to \infty} D_n(0) = \infty = \delta(0)\).

    

4. ¿Las\(D_n\) funciones comienzan a parecerse\(\delta\) como\(n \to \infty\)?