1.1: Motivación

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La ecuación no\(x^2 = -1\) tiene soluciones reales, sin embargo sabemos que esta ecuación surge de forma natural y queremos usar sus raíces. Por lo que hacemos un nuevo símbolo para las raíces y lo llamamos un número complejo.

Definición: números complejos

Los símbolos\(\pm i\) representarán las soluciones a la ecuación\(x^2 = -1\). Llamaremos a estos nuevos números números complejos. También escribiremos

\[\sqrt{-1} = \pm i \]

Nota: Los ingenieros suelen usar\(j\) mientras que los matemáticos y físicos usan\(i\). Seguiremos la costumbre matemática en 18.04.

El número\(i\) se llama un número imaginario. Este es un término histórico. Estos son números perfectamente válidos que por casualidad no se encuentran en la recta numérica real. (Nuestra motivación para usar números complejos no es lo mismo que la motivación histórica. Históricamente, los matemáticos estaban dispuestos a decir que no\(x^2 = -1\) tenían soluciones. El tema que los empujó a aceptar números complejos tuvo que ver con la fórmula para las raíces de los cubiceros. Los cubicos siempre tienen al menos una raíz real, y cuando aparecieron raíces cuadradas de números negativos en esta fórmula, incluso para las raíces reales, los matemáticos se vieron obligados a echar un vistazo más de cerca a estos (aparentemente) objetos exóticos.) Vamos a mirar el álgebra, la geometría y, lo más importante para nosotros, la exponenciación de números complejos.

Antes de iniciar una exposición sistemática de números complejos, trabajaremos un ejemplo sencillo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Resuelve la ecuación\(z^2 +z + 1 = 0\).

Solución

Podemos aplicar la fórmula cuadrática para obtener

\(z = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3} \sqrt{-1}}{2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}\)

Piensa: ¿Sabes resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado? ¡Así se deriva la fórmula cuadrática y bien vale la pena conocerla!