1.5: Coordenadas polares

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En las figuras anteriores hemos marcado la longitud$r$ y el ángulo polar$\theta$ del vector desde el origen hasta el punto$z = x + iy$. Estas son las mismas coordenadas polares que viste anteriormente. Hay una serie de sinónimos para ambos$r$ y$\theta$

$r =|z|$= magnitud = longitud = norma = valor absoluto = módulo
$\theta = \text{arg} (z)$ = argumento de$z$ = ángulo polar de$z$

Deberías poder visualizar las coordenadas polares pensando en la distancia$r$ desde el origen y el ángulo$\theta$ con el$x$ eje -eje.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Hagamos una tabla de$z$,$r$ y$\theta$ para algunos números complejos. Observe que no$\theta$ está definido de manera única ya que siempre podemos agregar un múltiplo de$2\pi$ a$\theta$ y seguir estando en el mismo punto en el plano.

$\begin{array} {ccll} {z = a + bi} & {r} & {\theta} & { } \\ {1} & {1} & {0, 2\pi , 4\pi , ...} & {\text{Argument = 0, means}\, z \,\text{is along the } x\text{-axis}} \\ {i} & {1} & {\pi /2, \pi /2 + 2\pi ...} & {\text{Argument = } \pi /2, \text{ means}\, z \,\text{is along the } y\text{-axis}} \\ {1 + i} & {\sqrt{2}} & {\pi /4 , \pi /4 + 2\pi ...} & {\text{Argument = } \pi /4, \text{ means}\, z \,\text{is along the ray at } 45^{\circ} \text{to the } x\text{-axis}} \end{array}$

$2020-08-05 10.43.42.png$

Cuando queremos tener claro a qué valor de$\theta$ se entiende, especificaremos una rama de arg. Por ejemplo,$0 \le \theta < 2\pi$ o$-\pi < \theta \le \pi$. Esto se discutirá con mucho más detalle en las próximas semanas. Hacer un seguimiento cuidadoso de las ramas de arg resultará ser uno de los requisitos clave del análisis complejo.