1.4: El Plano Complejo

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Geometría de números complejos

Debido a que se necesitan dos números$x$ y$y$ para describir el número complejo$z = x + iy$ podemos visualizar los números complejos como puntos en el$xy$ plano -plano. Cuando hacemos esto lo llamamos el plano complejo. Ya que$x$ es la parte real de$z$ llamamos al$x$ eje -eje el eje real. Asimismo, el$y$ eje -es el eje imaginario.

$2020-08-05 10.20.43.png$

Desigualdad del triángulo

La desigualdad triangular dice que para un triángulo la suma de las longitudes de dos patas cualesquiera es mayor que la longitud de la tercera pata.

$2020-08-05 10.22.04.png$
Desigualdad del triángulo:$|AB| + |BC| > |AC|$

Para los números complejos la desigualdad del triángulo se traduce en una declaración sobre magnitudes complejas.

Precisamente: para números complejos$z_1, z_2$

\[|z_1| + |z_2| \ge |z_1 + z_2|\]

con igualdad sólo si uno de ellos es 0 o si$\text{arg}(z_1) = \text{arg}(z_2)$. Esto se ilustra en la siguiente figura.

$2020-08-05 10.27.11.png$
Desigualdad del triángulo:\[|z_1| + |z_2| \ge |z_1 + z_2|\]

Obtenemos igualdad sólo si$z_1$ y$z_2$ estamos en el mismo rayo desde el origen, es decir, tienen el mismo argumento.