4.5: Ejemplos

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Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

¿Por qué no podemos computar\(\int_{\gamma} \overline{z}\ dz\) usando el teorema fundamental?

Solución

Porque\(\overline{z}\) no tiene un antiderivado. También podemos ver esto al señalar que si\(\overline{z}\) tuviera un antiderivado, entonces su integral alrededor del círculo unitario tendría que ser 0. Pero, vimos en el Ejemplo 4.2.4 que este no es el caso.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Cálculo\(\int_{\gamma} \dfrac{1}{z}\ dz\) sobre cada uno de los siguientes contornos

La línea de 1 a\(1 + i\).
El círculo de radio 1 alrededor\(z = 3\).
El círculo unitario.

Solución

Para las partes (i) y (ii) no hay problema en usar la antiderivada\(\log (z)\) porque estas curvas están contenidas en una región simplemente conectada que no contiene el origen.

(i)

\[\int_{\gamma} \dfrac{1}{z}\ dz = \log (1 + i) - \log (1) = \log (\sqrt{2}) + i \dfrac{\pi}{4}.\]

(ii) Como los puntos inicial y final son los mismos, obtenemos

\[\int_{\gamma} \dfrac{1}{z} \ dz = 0\]

(iii) Parametrizamos el círculo unitario por\(\gamma (\theta) = e^{i \theta}\) con\(0 \le \theta \le 2\pi\). Nosotros computamos\(\gamma '(\theta) = ie^{i \theta}\). Entonces la integral se convierte

\[\int_{\gamma} \dfrac{1}{z} \ dz = \int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{e^{i \theta}} ie^{i \theta} \ dt = \int_{0}^{2\pi} i \ dt = 2\pi i.\]

Observe que podríamos usar\(\log (z)\) si tuviéramos cuidado de dejar que el argumento aumentara\(2 \pi\) ya que giraba alrededor del origen una vez.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Compute\(\int_{\gamma} \dfrac{1}{z^2} \ dz\), donde\(\gamma\) está el círculo unitario de dos maneras.

Utilizando el teorema fundamental.
Directamente desde la definición.

Solución

(i) Dejar\(f(z) = -1/z\). Ya que\(f'(z) = 1/z^2\), el teorema fundamental dice

\[\int_{\gamma} \dfrac{1}{z^2} \ dz = \int_{\gamma} f'(z) \ dz = f(\text{endpint}) - f(\text{start point}) = 0.\]

Es igual a 0 porque los puntos inicial y final son los mismos.

(ii) Como es habitual, parametrizamos el círculo unitario como\(\gamma (\theta = e^{i \theta}\) con\(0 \le \theta \le 2\pi\). Entonces,\(\gamma '(\theta) = ie^{i \theta}\) y la integral se convierte

\[\int_{\gamma} \dfrac{1}{z^2} \ dz = \int_{0}^{2 \pi} \dfrac{1}{e^{2i \theta}} ie^{i \theta}\ d \theta = \int_{0}^{2\pi} i e^{-i \theta}\ d \theta = -e^{-i \theta} \vert_{0}^{2\pi} = 0.\]