5.4: Prueba de la fórmula integral de Cauchy para derivados

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Recordemos que la fórmula integral de Cauchy en la Ecuación 5.3.1 dice

\[f^{(n)} (z) = \dfrac{n!}{2 \pi i } \int_C \dfrac{f(w)}{(w - z)^{n + 1}} \ dw, \ \ n = 0, 1, 2, ...\]

Primero ofreceremos una prueba rápida que capte la razón detrás de la fórmula, y luego una prueba formal.

Prueba rápida

Tenemos una representación integral para\(f(z)\),\(z \in A\), utilizamos eso para encontrar una representación integral para\(f'(z)\),\(z \in A\).

\[f'(z) = \dfrac{d}{dz} \left[\dfrac{1}{2\pi i} \int_C \dfrac{f(w)}{w - z} \ dw \right] = \dfrac{1}{2\pi i} \int_C \dfrac{d}{dz} \left(\dfrac{f(w)}{w - z}\right)\ dw = \dfrac{1}{2\pi i} \int_C \dfrac{f(w)}{(w - z)^2}\ dw\]

(Nota, desde\(z \in A\) y\(w \in C\), sabemos que\(w - z \ne 0\)) Así,

\[f'(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_C \dfrac{f(w)}{(w - z)^2}\ dw\]

Ahora, iterando este proceso, es decir, por inducción matemática, podemos mostrar la fórmula para derivados de orden superior.

Comprobante Formal

Hacemos esto tomando el límite de

\[\lim_{\Delta \to 0} \dfrac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}\]

utilizando la representación integral de ambos términos:

\[f(z + \Delta z) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_C \dfrac{f(w)}{w - z - \Delta z}\ dw, \ \ \ \ \ \ f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_C \dfrac{f(w)}{w - z}\ dw\]

Ahora, usando un poco de manipulación algebraica obtenemos

\[\begin{align*} \dfrac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} &= \dfrac{1}{2 \pi i \Delta z} \int_C \dfrac{f(w)}{w - z - \Delta z} - \dfrac{f(w)}{w - z} \ dw \\[4pt] & = \dfrac{1}{2 \pi i \Delta z} \int_C \dfrac{f(w) \Delta z}{(w - z - \Delta z)(w - z)} \ dw \\[4pt] &= \dfrac{1}{2\pi i} \int_C \dfrac{f(w)}{(w - z)^2 - \Delta z (w - z)}\ dw \end{align*}\]

Dejando\(\Delta z\) ir a 0, obtenemos la fórmula de Cauchy para\(f'(z)\):

\[f' (z) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_C \dfrac{f(w)}{(w - z)^2}\ dw\]

No hay problema en tomar el límite bajo el signo integral porque todo es continuo y el denominador nunca es 0.