6.4: Una segunda prueba de que u y v son armónicos

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Este hecho de que\(u\) y\(v\) sean armónicos es lo suficientemente importante como para dar una segunda prueba usando la fórmula integral de Cauchy. Un beneficio de esta prueba es que nos recuerda que la fórmula integral de Cauchy puede transferir una pregunta general sobre las funciones analíticas a una pregunta sobre la función\(1/z\). Comenzamos con un hecho fácil de derivar.

Hecho

Las partes reales e imaginarias de\(f(z) = 1/z\) son armónicas alejadas del origen. Así mismo para

\[g(z) = f(z - a) = \dfrac{1}{z - a}\]

lejos del punto\(z = a\).

Prueba

Tenemos

\[\dfrac{1}{z} = \dfrac{x}{x^2 + y^2} - i \dfrac{y}{x^2 + y^2}.\]

Es un asunto sencillo aplicar el Laplaciano y ver que se obtiene 0. ¡Te dejaremos el álgebra a ti! El enunciado sobre\(g(z)\) sigue ya sea exactamente de la misma manera, o bien al señalar que el laplaciano es invariante de la traducción.

Segunda prueba de que la\(f\) analítica implica\(u\) y\(v\) son armónicos. Estamos demostrando que si\(f = u + iv\) es analítico entonces\(u\) y\(v\) son armónicos. Entonces, supongamos que\(f\) es analítico en ese punto\(z_0\). Esto significa que hay un disco de algún radio, digamos\(r\), alrededor de\(z_0\) donde\(f\) está analítico. La fórmula de Cauchy dice

\[f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{C_r} \dfrac{f(w)}{w - z}\ dw,\]

donde\(C_r\) esta el circulo\(|w - z_0| = r\) y\(z\) esta en el disco\(|z - z_0| < r\).

Ahora bien, dado que las partes real e imaginaria de\(1/(w - z)\) son armónicas, lo mismo debe ser cierto de la integral, que es límite de combinaciones lineales de tales funciones. Dado que el círculo es finito y\(f\) continuo, intercambiar el orden de integración y diferenciación no es un problema.