6.5: Principio máximo y valor medio
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Si\(u\) es una función armónica entonces\(u\) satisface la propiedad de valor medio. Es decir, supongamos que\(u\) es armónico dentro y dentro de un círculo de radio\(r\) centrado en\(z_0 = x_0 + iy_0\) entonces
\[u(x_0, y_0) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} u(z_0 + re^{i \theta})\ d\theta\]
- Prueba
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Dejar\(f = u + iv\) ser una función analítica con\(u\) como su parte real. El valor medio de la propiedad para\(f\) dice
\[\begin{array} {rcl} {u(x_0, y_0) + iv(x_0, y_0) = f(z_0)} & = & {\dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(z_0 + re^{i \theta})\ d\theta} \\ {} & = & {\dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} u(z_0 + re^{i \theta} + iv (z_0 + re^{i \theta}) \ d\theta} \end{array}\]
Mirar las partes reales de esta ecuación prueba el teorema.
Supongamos que\(u(x, y)\) es armónico en una región abierta\(A\).
- Supongamos que\(z_0\) está en\(A\). Si\(u\) tiene un máximo o mínimo relativo en\(z_0\) entonces\(u\) es constante en un disco centrado en\(z_0\).
- Si\(A\) está delimitado y conectado y\(u\) es continuo en el límite de\(A\) entonces el máximo absoluto y el mínimo absoluto de\(u\) ocurren en el límite.
- Prueba
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La prueba de máximos es idéntica a la del principio de módulo máximo. La prueba de mínimos viene al mirar los máximos de\(-u\).
Para las funciones analíticas solo hablamos de máximos porque teníamos que usar el módulo para tener valores reales. Ya que no\(|-f| = |f|\) podíamos usar el truco de convertir mínimos en máximos usando un signo menos.