6.5: Principio máximo y valor medio

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 109708

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Estas son similares a las propiedades correspondientes de las funciones analíticas. En efecto, los deducimos de esas propiedades correspondientes.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Mean Value Property

Si\(u\) es una función armónica entonces\(u\) satisface la propiedad de valor medio. Es decir, supongamos que\(u\) es armónico dentro y dentro de un círculo de radio\(r\) centrado en\(z_0 = x_0 + iy_0\) entonces

\[u(x_0, y_0) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} u(z_0 + re^{i \theta})\ d\theta\]

Prueba

Dejar\(f = u + iv\) ser una función analítica con\(u\) como su parte real. El valor medio de la propiedad para\(f\) dice

\[\begin{array} {rcl} {u(x_0, y_0) + iv(x_0, y_0) = f(z_0)} & = & {\dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(z_0 + re^{i \theta})\ d\theta} \\ {} & = & {\dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} u(z_0 + re^{i \theta} + iv (z_0 + re^{i \theta}) \ d\theta} \end{array}\]

Mirar las partes reales de esta ecuación prueba el teorema.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Maximum Principle

Supongamos que\(u(x, y)\) es armónico en una región abierta\(A\).

Supongamos que\(z_0\) está en\(A\). Si\(u\) tiene un máximo o mínimo relativo en\(z_0\) entonces\(u\) es constante en un disco centrado en\(z_0\).
Si\(A\) está delimitado y conectado y\(u\) es continuo en el límite de\(A\) entonces el máximo absoluto y el mínimo absoluto de\(u\) ocurren en el límite.

Prueba: La prueba de máximos es idéntica a la del principio de módulo máximo. La prueba de mínimos viene al mirar los máximos de\(-u\).

Nota

Para las funciones analíticas solo hablamos de máximos porque teníamos que usar el módulo para tener valores reales. Ya que no\(|-f| = |f|\) podíamos usar el truco de convertir mínimos en máximos usando un signo menos.