6.3: Notación del

Aquí hay un recordatorio rápido sobre el uso de la notación$\nabla$. Para una función$u(x, y)$ y un campo vectorial$F(x, y) = (u, v)$, tenemos

$\begin{array} {rcl} {(\text{i})} & & {\nabla = (\dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y})} \\ {(\text{ii})} & & {\text{grad} u = \nabla u = (u_x, u_y)} \\ {(\text{iii})} & & {\text{curl} F = \nabla \times F = (v_x - u_y)} \\ {(\text{iv})} & & {\text{div} F = \nabla \cdot F = u_x + v_y} \\ {(\text{v})} & & {\text{div grad } u = \nabla \cdot \nabla u = \nabla ^2 u = u_{xx} + u_{yy}} \\ {(\text{vi})} & & {\text{curl grad } u = \nabla \times \nabla u = 0} \\ {(\text{vii})} & & {\text{div curl } F = \nabla \cdot \nabla \times F = 0} \end{array}$

Las funciones analíticas tienen piezas armónicas

La conexión entre funciones analíticas y armónicas es muy fuerte. En muchos aspectos refleja la conexión entre$e^z$ y seno y coseno.

Dejar$z = x + iy$ y escribir$f(z) = u(x, y) + iv (x, y).$

Teorema$\PageIndex{1}$

Si$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ es analítico en una región$A$ entonces ambos$u$ y$v$ son funciones armónicas en$A$.

Prueba

Esta es una consecuencia simple de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Ya$u_x = v_y$ que tenemos

$$u_{xx} = v_{yx}.$$

Así mismo,$u_y = -v_x$ implica

$$u_{yy} = -v_{xy}.$$

Ya$v_{xy} = v_{yx}$ que tenemos

$$u_{xx} + u_{yy} = v_{yx} - v_{xy} = 0.$$

Por lo tanto$u$ es armónico. Podemos manejar de$v$ manera similar.

Nota

Como sabemos que una función analítica es infinitamente diferenciable conocemos$u$ y$v$ tenemos las dos derivadas parciales continuas requeridas. Esto también asegura que los parciales mixtos estén de acuerdo, es decir$v_{xy} = v_{yx}$.

Para completar la estrecha conexión entre funciones analíticas y armónicas, demostramos que cualquier función harmónica es la parte real de una función analítica.

Teorema$\PageIndex{2}$

Si$u(x, y)$ es armónico en una región simplemente conectada$A$, entonces$u$ es la parte real de una función analítica$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$.

Prueba

Esto es similar a nuestra prueba de que una función analítica tiene un antiderivado. Primero se nos ocurre un candidato para$f(z)$ y luego demostramos que tiene las propiedades que necesitamos. Aquí están los detalles desglosados en los escalones 1-4.

1. Encuentra un candidato, llámalo$g(z)$, para$f'(z)$:
   Si tuviéramos un analítico$f$ con$f = u + iv$, entonces Cauchy-Riemann dice eso$f' = u_x - iu_y$. Entonces, definamos
   $$g = u_x - iu_y.$$
   Este es nuestro candidato para$f'$.
2. Demostrar que$g(z)$ es analítico:
   Escribir$g = \phi + i\psi$, dónde$\phi = u_x$ y$\psi = -u_y$. Comprobando las ecuaciones de Cauchy-Riemann que tenemos
   $$\begin{bmatrix} \phi_x & \phi_y \\ \psi_x & \psi_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{xx} & u_{xy} \\ -u_{yx} & -u_{yy} \end{bmatrix}$$
   Since$u$ es armónica que conocemos$u_{xx} = -u_{yy}$, entonces$\phi_x = \psi_y$. Eso es claro$\phi_y = -\psi_x$. Así$g$ satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por lo que es analítica.
3. Seamos$f$ un antiderivado de$g$:
   Ya que simplemente$A$ se conecta nuestra afirmación del teorema de Cauchy garantiza que$g(z)$ tiene un antiderivado en$A$. Tendremos que alborearnos un poco para que la constante de integración sea exactamente correcta. Entonces, elige un punto base$z_0$ en$A$. Definir la antiderivada de$g(z)$ por
   $$f(z) = \int_{z_0}^{z} g(z)\ dz + u(x_0, y_0).$$
   (Nuevamente, por el teorema de Cauchy esta integral puede estar a lo largo de cualquier camino en$A$ de$z_0$ a$z$.)
4. Demostrar que la parte real de$f$ es$u$.
   Vamos a escribir$f = U + iV$. Entonces,$f'(z) = U_x - i U_y$. Por construcción
   $$f'(z) = g(z) = u_x - iu_y.$$
   Esto significa que los primeros parciales de$U$ y$u$ son los mismos, así$U$ y$u$ difieren por a lo sumo una constante. Sin embargo, también por construcción,
   $$f(z_0) = u(x_0, y_0) = U(x_0, y_0) + iV(x_0, y_0),$$
   So,$U(x_0, y_0) = u(x_0, y_0)$ (y$V(x_0, y_0) = 0$). Ya que están de acuerdo en un momento debemos tener$U = u$, es decir, la parte real de$f$ es$u$ como queríamos probar.

Corolario Importante

$u$es infinitamente diferenciable.

Prueba

Por definición solo requerimos de una función armónica$u$ para tener segundos parciales continuos. Como lo analítico$f$ es infinitamente diferenciable, ¡hemos demostrado que así es$u$!

Conconjugados armónicos

Definición: Conconjugados armónicos

Si$u$ y$v$ son las partes reales e imaginarias de una función analítica, entonces decimos$u$ y$v$ son conjugados armónicos.

Nota

Si$f(z) = u + iv$ es analítico entonces también lo es$if(z) = -v + iu$. Entonces, si$u$ y$v$ son conjugados armónicos y así son$u$ y$-v$.