6.3: Notación del

Aquí hay un recordatorio rápido sobre el uso de la notación\(\nabla\). Para una función\(u(x, y)\) y un campo vectorial\(F(x, y) = (u, v)\), tenemos

\(\begin{array} {rcl} {(\text{i})} & & {\nabla = (\dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y})} \\ {(\text{ii})} & & {\text{grad} u = \nabla u = (u_x, u_y)} \\ {(\text{iii})} & & {\text{curl} F = \nabla \times F = (v_x - u_y)} \\ {(\text{iv})} & & {\text{div} F = \nabla \cdot F = u_x + v_y} \\ {(\text{v})} & & {\text{div grad } u = \nabla \cdot \nabla u = \nabla ^2 u = u_{xx} + u_{yy}} \\ {(\text{vi})} & & {\text{curl grad } u = \nabla \times \nabla u = 0} \\ {(\text{vii})} & & {\text{div curl } F = \nabla \cdot \nabla \times F = 0} \end{array}\)

Las funciones analíticas tienen piezas armónicas

La conexión entre funciones analíticas y armónicas es muy fuerte. En muchos aspectos refleja la conexión entre\(e^z\) y seno y coseno.

Dejar\(z = x + iy\) y escribir\(f(z) = u(x, y) + iv (x, y).\)

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Si\(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) es analítico en una región\(A\) entonces ambos\(u\) y\(v\) son funciones armónicas en\(A\).

Prueba

Esta es una consecuencia simple de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Ya\(u_x = v_y\) que tenemos

\[u_{xx} = v_{yx}.\]

Así mismo,\(u_y = -v_x\) implica

\[u_{yy} = -v_{xy}.\]

Ya\(v_{xy} = v_{yx}\) que tenemos

\[u_{xx} + u_{yy} = v_{yx} - v_{xy} = 0.\]

Por lo tanto\(u\) es armónico. Podemos manejar de\(v\) manera similar.

Nota

Como sabemos que una función analítica es infinitamente diferenciable conocemos\(u\) y\(v\) tenemos las dos derivadas parciales continuas requeridas. Esto también asegura que los parciales mixtos estén de acuerdo, es decir\(v_{xy} = v_{yx}\).

Para completar la estrecha conexión entre funciones analíticas y armónicas, demostramos que cualquier función harmónica es la parte real de una función analítica.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Si\(u(x, y)\) es armónico en una región simplemente conectada\(A\), entonces\(u\) es la parte real de una función analítica\(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\).

Prueba

Esto es similar a nuestra prueba de que una función analítica tiene un antiderivado. Primero se nos ocurre un candidato para\(f(z)\) y luego demostramos que tiene las propiedades que necesitamos. Aquí están los detalles desglosados en los escalones 1-4.

1. Encuentra un candidato, llámalo\(g(z)\), para\(f'(z)\):
   Si tuviéramos un analítico\(f\) con\(f = u + iv\), entonces Cauchy-Riemann dice eso\(f' = u_x - iu_y\). Entonces, definamos
   \[g = u_x - iu_y.\]
   Este es nuestro candidato para\(f'\).
2. Demostrar que\(g(z)\) es analítico:
   Escribir\(g = \phi + i\psi\), dónde\(\phi = u_x\) y\(\psi = -u_y\). Comprobando las ecuaciones de Cauchy-Riemann que tenemos
   \[\begin{bmatrix} \phi_x & \phi_y \\ \psi_x & \psi_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{xx} & u_{xy} \\ -u_{yx} & -u_{yy} \end{bmatrix}\]
   Since\(u\) es armónica que conocemos\(u_{xx} = -u_{yy}\), entonces\(\phi_x = \psi_y\). Eso es claro\(\phi_y = -\psi_x\). Así\(g\) satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por lo que es analítica.
3. Seamos\(f\) un antiderivado de\(g\):
   Ya que simplemente\(A\) se conecta nuestra afirmación del teorema de Cauchy garantiza que\(g(z)\) tiene un antiderivado en\(A\). Tendremos que alborearnos un poco para que la constante de integración sea exactamente correcta. Entonces, elige un punto base\(z_0\) en\(A\). Definir la antiderivada de\(g(z)\) por
   \[f(z) = \int_{z_0}^{z} g(z)\ dz + u(x_0, y_0).\]
   (Nuevamente, por el teorema de Cauchy esta integral puede estar a lo largo de cualquier camino en\(A\) de\(z_0\) a\(z\).)
4. Demostrar que la parte real de\(f\) es\(u\).
   Vamos a escribir\(f = U + iV\). Entonces,\(f'(z) = U_x - i U_y\). Por construcción
   \[f'(z) = g(z) = u_x - iu_y.\]
   Esto significa que los primeros parciales de\(U\) y\(u\) son los mismos, así\(U\) y\(u\) difieren por a lo sumo una constante. Sin embargo, también por construcción,
   \[f(z_0) = u(x_0, y_0) = U(x_0, y_0) + iV(x_0, y_0),\]
   So,\(U(x_0, y_0) = u(x_0, y_0)\) (y\(V(x_0, y_0) = 0\)). Ya que están de acuerdo en un momento debemos tener\(U = u\), es decir, la parte real de\(f\) es\(u\) como queríamos probar.

Corolario Importante

\(u\)es infinitamente diferenciable.

Prueba

Por definición solo requerimos de una función armónica\(u\) para tener segundos parciales continuos. Como lo analítico\(f\) es infinitamente diferenciable, ¡hemos demostrado que así es\(u\)!

Conconjugados armónicos

Definición: Conconjugados armónicos

Si\(u\) y\(v\) son las partes reales e imaginarias de una función analítica, entonces decimos\(u\) y\(v\) son conjugados armónicos.

Nota

Si\(f(z) = u + iv\) es analítico entonces también lo es\(if(z) = -v + iu\). Entonces, si\(u\) y\(v\) son conjugados armónicos y así son\(u\) y\(-v\).