7.5: Funciones de flujo

En todo lo que hicimos por encima de pobres viejos$\psi$ solo etiquetados como el conjugado armónico de la función potencial$\phi$. Volvamos nuestra atención a ella y veamos por qué se llama la función stream.

Teorema$\PageIndex{1}$

Supongamos que

$$\Phi = \phi + i\psi$$

es el complejo potencial para un campo de velocidad$F$. Entonces el fluido fluye a lo largo de las curvas de nivel de$\psi$. Es decir, la$F$ está en todas partes tangente a las curvas de nivel de$\psi$. Las curvas de nivel de$\psi$ se llaman líneas de flujo y$\psi$ se llama la función de flujo.

Prueba

Nuevamente ya hemos hecho la mayor parte del trabajo pesado para demostrarlo. Dado que$F$ es la velocidad del flujo en cada punto, el flujo es siempre tangente a$F$. También hay que recordar que$\nabla \phi$ es perpendicular a las curvas de nivel de$\phi$. Entonces tenemos:

1. El flujo es paralelo a$F$.
2. $F = \nabla \phi$, por lo que el flujo es ortogonal a las curvas de nivel de$\phi$.
3. Dado que$\phi$ y$\psi$ son conjugados armónicos, las curvas de nivel de$\psi$ son ortogonales a las curvas de nivel de$\phi$.

Combinando 2 y 3 vemos que el flujo debe estar a lo largo de las curvas de nivel de$\psi$.

Ejemplos

Ilustraremos las líneas de racionalización en una serie de ejemplos que comienzan definiendo el complejo potencial de un campo vectorial.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Uniform flow

Vamos

$$\Phi (z) = z. \nonumber$$

Encuentra$F$ y dibuja una trama de las líneas de racionalización. Indicar la dirección del flujo.

Solución

Escribir

$$\Phi = x + iy. \nonumber$$

Entonces

$$\phi = x \text{ and } F = \nabla \phi = (1, 0), \nonumber$$

que dice que el flujo tiene velocidad uniforme y apunta hacia la derecha. También contamos con

$$\psi = y, \nonumber$$

por lo que las líneas de racionalización son las$y =$ constantes de líneas horizontales (Figura$\PageIndex{1}$).

Figura$\PageIndex{1}$: Flujo uniforme hacia la derecha. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Tenga en cuenta que otra forma de ver que el flujo está a la derecha es verificar la dirección en la que$\phi$ aumenta el potencial. Las notas del Tema 5 muestran imágenes de este complejo potencial que muestran tanto las líneas de racionalización como las líneas equipotenciales.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Linear Source

Vamos

$$\Phi (z) = \log (z). \nonumber$$

Encuentra$F$ y dibuja una trama de las líneas de racionalización. Indicar la dirección del flujo.

Solución

Escribir

$$\Phi = \log (r) + i \theta.\nonumber$$

Entonces

$$\phi = \log(r) \text{ and } F = \nabla \phi = (x/r^2, y/r^2),\nonumber$$

que dice que el flujo es radial y disminuye en velocidad a medida que se va alejando del origen. El campo no está definido en$z = 0$. También contamos con

$$\psi = \theta,\nonumber$$

por lo que las líneas de corriente son rayos del origen (Figura$\PageIndex{2}$).

Figura$\PageIndex{2}$: Fuente lineal: flujo radial desde el origen. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Puntos de estancamiento

Un punto de estancamiento es aquel en el que el campo de velocidad es 0.

Definición: Puntos de estancamiento

Si$\Phi$ es el complejo potencial para un campo$F$ entonces los puntos de estancamiento$F = 0$ son exactamente los puntos$z$ donde$\Phi '(z) = 0$.

Definición: Prueba

Esto es claro desde$F = (\phi_x, \phi_y)$ y$\Phi ' = \phi_x - i \phi_y$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Stagnation Points

Dibujar las líneas de racionalización e identificar los puntos de estancamiento para el potencial$\Phi (z) = z^2$.

Solución

(Dibujamos las curvas de nivel para esto en el Tema 5.) Tenemos

$$\Phi = (x^2 - y^2) + i2xy.\nonumber$$

Entonces las líneas de racionalización son las hipérbolas:$2xy =$ constantes. Dado que$\phi = x^2 - y^2$ aumenta a medida que$|x|$ aumenta y disminuye a medida que$|y|$ aumenta, las flechas, que apuntan en la dirección de aumentar$\phi$, son como se muestra en la Figura$\PageIndex{3}$.

Figura$\PageIndex{3}$: Flujo de estancamiento: punto de estancamiento en$z = 0$. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Los puntos de estancamiento son los ceros de

$$\Phi '(z) = 2z, \nonumber$$

es decir, el único punto de estancamiento está en el$z = 0$.

Los puntos de estancamiento también se denominan puntos críticos de un campo vectorial.