7.5: Funciones de flujo
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En todo lo que hicimos por encima de pobres viejos\(\psi\) solo etiquetados como el conjugado armónico de la función potencial\(\phi\). Volvamos nuestra atención a ella y veamos por qué se llama la función stream.
Supongamos que
\[\Phi = \phi + i\psi\]
es el complejo potencial para un campo de velocidad\(F\). Entonces el fluido fluye a lo largo de las curvas de nivel de\(\psi\). Es decir, la\(F\) está en todas partes tangente a las curvas de nivel de\(\psi\). Las curvas de nivel de\(\psi\) se llaman líneas de flujo y\(\psi\) se llama la función de flujo.
- Prueba
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Nuevamente ya hemos hecho la mayor parte del trabajo pesado para demostrarlo. Dado que\(F\) es la velocidad del flujo en cada punto, el flujo es siempre tangente a\(F\). También hay que recordar que\(\nabla \phi\) es perpendicular a las curvas de nivel de\(\phi\). Entonces tenemos:
- El flujo es paralelo a\(F\).
- \(F = \nabla \phi\), por lo que el flujo es ortogonal a las curvas de nivel de\(\phi\).
- Dado que\(\phi\) y\(\psi\) son conjugados armónicos, las curvas de nivel de\(\psi\) son ortogonales a las curvas de nivel de\(\phi\).
Combinando 2 y 3 vemos que el flujo debe estar a lo largo de las curvas de nivel de\(\psi\).
Ejemplos
Ilustraremos las líneas de racionalización en una serie de ejemplos que comienzan definiendo el complejo potencial de un campo vectorial.
Vamos
\[\Phi (z) = z. \nonumber\]
Encuentra\(F\) y dibuja una trama de las líneas de racionalización. Indicar la dirección del flujo.
Solución
Escribir
\[\Phi = x + iy. \nonumber\]
Entonces
\[\phi = x \text{ and } F = \nabla \phi = (1, 0), \nonumber\]
que dice que el flujo tiene velocidad uniforme y apunta hacia la derecha. También contamos con
\[\psi = y, \nonumber\]
por lo que las líneas de racionalización son las\(y =\) constantes de líneas horizontales (Figura\(\PageIndex{1}\)).
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Tenga en cuenta que otra forma de ver que el flujo está a la derecha es verificar la dirección en la que\(\phi\) aumenta el potencial. Las notas del Tema 5 muestran imágenes de este complejo potencial que muestran tanto las líneas de racionalización como las líneas equipotenciales.
Vamos
\[\Phi (z) = \log (z). \nonumber\]
Encuentra\(F\) y dibuja una trama de las líneas de racionalización. Indicar la dirección del flujo.
Solución
Escribir
\[\Phi = \log (r) + i \theta.\nonumber\]
Entonces
\[\phi = \log(r) \text{ and } F = \nabla \phi = (x/r^2, y/r^2),\nonumber\]
que dice que el flujo es radial y disminuye en velocidad a medida que se va alejando del origen. El campo no está definido en\(z = 0\). También contamos con
\[\psi = \theta,\nonumber\]
por lo que las líneas de corriente son rayos del origen (Figura\(\PageIndex{2}\)).
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Puntos de estancamiento
Un punto de estancamiento es aquel en el que el campo de velocidad es 0.
Si\(\Phi\) es el complejo potencial para un campo\(F\) entonces los puntos de estancamiento\(F = 0\) son exactamente los puntos\(z\) donde\(\Phi '(z) = 0\).
Esto es claro desde\(F = (\phi_x, \phi_y)\) y\(\Phi ' = \phi_x - i \phi_y\).
Dibujar las líneas de racionalización e identificar los puntos de estancamiento para el potencial\(\Phi (z) = z^2\).
Solución
(Dibujamos las curvas de nivel para esto en el Tema 5.) Tenemos
\[\Phi = (x^2 - y^2) + i2xy.\nonumber\]
Entonces las líneas de racionalización son las hipérbolas:\(2xy = \) constantes. Dado que\(\phi = x^2 - y^2\) aumenta a medida que\(|x|\) aumenta y disminuye a medida que\(|y|\) aumenta, las flechas, que apuntan en la dirección de aumentar\(\phi\), son como se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\).
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Los puntos de estancamiento son los ceros de
\[\Phi '(z) = 2z, \nonumber\]
es decir, el único punto de estancamiento está en el\(z = 0\).
Los puntos de estancamiento también se denominan puntos críticos de un campo vectorial.