7.6: Más ejemplos con Pretty Pictures
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Analizar el flujo con función potencial compleja
\[\Phi (z) = i \log (z). \nonumber\]
Solución
Multiplicar por\(i\) interruptores las partes real e imaginaria de\(\log (z)\) (con un cambio de signo). Tenemos
\[\Phi = -\theta + i \log (r). \nonumber\]
Las líneas del arroyo son las curvas\(\log (r)\) = constante, es decir, círculos con centro en\(z = 0\). El flujo es en sentido horario porque el potencial\(\phi = -\theta\) aumenta en el sentido de las agujas del reloj (Figura\(\PageIndex{1}\)).
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Este flujo se llama vórtice lineal. Podemos encontrar\(F\) usando\(\Phi '\).
\[\Phi ' = \dfrac{i}{z} = \dfrac{y}{r^2} + i \dfrac{x}{r^2} = \phi_x - i\phi_y. \nonumber\]
Entonces
\[F = (\phi_x, \phi_y) = (y/r^2, -x/r^2). \nonumber\]
(A estas alturas este debería ser un campo vectorial familiar). No hay puntos de estancamiento, pero hay una singularidad en el origen.
Analizar el flujo con función potencial compleja
\[\Phi (z) = \log (z - 1) + \log (z + 1). \nonumber\]
Solución
Se trata de un flujo con fuentes lineales\(\pm 1\) con las curvas de nivel de\(\psi = \text{Im} (\Phi)\) (Figura\(\PageIndex{2}\)).
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Podemos analizar este flujo más a fondo de la siguiente manera.
- Cerca de cada fuente el flujo parece una fuente lineal.
- En el\(y\) eje -eje el flujo es a lo largo del eje. Es decir, el\(y\) eje -es una racionalización. Vale la pena ver tres formas distintas de llegar a esta conclusión.
Motivo 1: Por simetría de los campos vectoriales asociados a cada fuente lineal, los\(x\) componentes se cancelan y los puntos de campo combinados a lo largo del\(y\) eje.
Razón 2: Podemos escribir
\[\Phi (z) = \log (z - 1) + \log (z + 1) = \log ((z - 1)(z + 1)) = \log (z^2 - 1). \nonumber\]
Entonces
\[\Phi '(z) = \dfrac{2z}{z^2 - 1}. \nonumber\]
En el eje imaginario
\[\Phi ' (iy) = \dfrac{2iy}{-y^2 - 1}. \nonumber\]
Por lo tanto,
\[F = (0, \dfrac{2y}{y^2 + 1}) \nonumber\]
que está a lo largo del eje.
Razón 3: En el eje imaginario\(\Phi (iy) = \log (-y^2 - 1)\). Dado que esto tiene una parte imaginaria constante, el eje es una línea de líneas.
Debido al corte de rama porque probablemente\(\log (z)\) deberíamos ser un poco más cuidadosos aquí. Primero tenga en cuenta que el campo vectorial\(F\) proviene\(\Phi ' = 2z/(z^2 - 1)\), el cual no tiene un corte de rama. Así que en realidad no deberíamos tener ningún problema. Ahora, a medida que\(z\) se acerca al\(y\) eje -desde un lado u otro, el argumento de\(\log (z^2 - 1)\) se acerca a cualquiera\(\pi\) o\(-\pi\). Es decir, como tales límites, la parte imaginaria es constante. Por lo que la línea aerodinámica en el\(y\) eje es el caso límite de las líneas de racionalización cerca del eje.
Desde\(\Phi '(z) = 0\) cuando\(z = 0\), el origen es un punto de estancamiento. Aquí es donde los campos de las dos fuentes se cancelan exactamente entre sí.
Considere el flujo con potencial complejo
\[\Phi (z) = z + \dfrac{Q}{2\pi} \log (z). \nonumber\]
Esta es una combinación de flujo uniforme hacia la derecha y una fuente en el origen (Figura\(\PageIndex{2}\)). Muestra que el flujo parece una fuente cercana al origen. Más lejos del origen, el flujo deja de ser radial y es empujado hacia la derecha por el flujo uniforme.
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Dado que los componentes de\(\Phi '\) y\(F\) son los mismos excepto los signos, podemos entender el flujo considerando
\[\Phi '(z) = 1 + \dfrac{Q}{2\pi z}.\]
Cerca de\(z = 0\) la singularidad de\(1/z\) es lo más importante y
\[\Phi ' \approx \dfrac{Q}{2\pi z}.\]
Entonces, el campo vectorial parece una fuente lineal. Lejos del origen el\(1/z\) término es pequeño y\(\Phi ' (z) \approx 1\), por lo que el campo parece un flujo uniforme.
\(\Phi '(z) = 0\)Fijando encontramos un punto de estancamiento
\[z = -\dfrac{Q}{2\pi}.\]
Es el punto en el\(x\) eje donde el flujo de la fuente equilibra exactamente eso del flujo uniforme. Para valores más grandes de\(Q\) la fuente empuja el fluido más lejos antes de ser abrumado por el flujo uniforme. Por eso se\(Q\) llama la fuente de fuerza.
Considere el flujo con potencial complejo
\[\Phi (z) = \log (z - 2) - \log (z + 2). \nonumber\]
Esta es una combinación de fuente\((\log (z - 2))\) en\(z = 2\) y un sumidero\((- \log (z + 2))\) en\(z = -2\) (Figura\(\PageIndex{3}\)).
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