8.1: Serie Geométrica
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Tener una comprensión detallada de las series geométricas nos permitirá utilizar la fórmula integral de Cauchy para comprender las representaciones de series de potencia de las funciones analíticas. Comenzamos con la definición:
Una serie geométrica finita tiene una de las siguientes formas (todas equivalentes).
\[\begin{align} S_n &= a(1 + r + r^2 + r^3 + ... + r^n) \\[4pt] &= a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n \\[4pt] &= \sum_{j = 0}^{n} ar^j \\[4pt] &= a \sum_{j = 0}^{n} r^j \end{align}\]
Al número\(r\) se le llama la relación de la serie geométrica porque es la relación de términos consecutivos de la serie.
La suma de una serie geométrica finita viene dada por
\[S_n = a(1 + r + r^2 + r^3 + ... + r^n) = \dfrac{a (1 - r^{n + 1})}{1 - r}.\]
- Prueba
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Este es un truco estándar que probablemente hayas visto antes.
\[\begin{array} {rclcc} {S_n} & = & {a + } & { ar + ar^2 + ... + ar^n} & {} \\ {rS_n} & = & { } & {ar + ar^2 + ... + ar^n} & {+ ar^{n + 1}} \end{array}\]
Cuando restamos estas dos ecuaciones la mayoría de los términos cancelan y obtenemos
\[S_n - rS_n = a - ar^{n + 1}\]
Algún álgebra simple nos da ahora la fórmula en la Ecuación 8.2.2.
Una serie geométrica infinita tiene la misma forma que la serie geométrica finita excepto que no hay último término:
\[S = a + ar + ar^2 + ... = a \sum_{j = 0}^{\infty} r^j.\]
Por lo general, simplemente diremos 'serie geométrica' en lugar de 'serie geométrica infinita'.
Si\(|r| < 1\) entonces la serie geométrica infinita converge a
\[S = a \sum_{j = 0}^{\infty} r^j = \dfrac{a}{1 - r}\]
Si\(|r| \ge 1\) entonces la serie no converge.
- Prueba
-
Esta es una consecuencia fácil de la fórmula para la suma de una serie geométrica finita. Simplemente deje entrar\(n \to \infty\) la Ecuación 8.2.2.
Hemos asumido una familiaridad con la convergencia de series infinitas. Repasaremos esto con más detalle en el apéndice de este tema.
Conexión a la Fórmula Integral de Cauchy
La fórmula integral de Cauchy dice
\[f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_C \dfrac{f(w)}{w - z} \ dw.\]
Dentro de la integral tenemos la expresión
\[\dfrac{1}{w - z}\]
que se parece mucho a la suma de una serie geométrica. Haremos un uso frecuente de las siguientes manipulaciones de esta expresión.
\[\dfrac{1}{w - z} = \dfrac{1}{w} \cdot \dfrac{1}{1 - z/w} = \dfrac{1}{w} (1 + (z/w) + (z/w)^2 + ...)\]
La serie geométrica en esta ecuación tiene ratio\(z/w\). Por lo tanto, la serie converge, es decir, la fórmula es válida, siempre que\(|z/w| < 1\), o equivalentemente cuando
\[|z| < |w|.\]
Del mismo modo,
\[\dfrac{1}{w - z} = -\dfrac{1}{z} \cdot \dfrac{1}{1 - w/z} = - \dfrac{1}{z} (1 + (w/z) + (w/z)^2 + ...)\]
La serie converge, es decir, la fórmula es válida, siempre que\(|w/z| < 1\), o equivalentemente cuando
\[|z| > |w|.\]