8.2: Convergencia de la serie de potencia

Cuando incluimos potencias de la variable\(z\) en la serie la llamaremos serie de potencias. En esta sección vamos a exponer el teorema principal que necesitamos sobre la convergencia de las series de poder. Los detalles técnicos serán empujados al apéndice para el lector interesado.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Considere la serie de potencia

\[f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n.\]

Hay un número\(R \ge 0\) tal que:

1. Si\(R > 0\) entonces la serie converge absolutamente a una función analítica para\(|z - z_0| < R\).
2. La serie diverge para\(|z - z_0| > R\). \(R\)se llama el radio de convergencia. El disco\(|z - z_0| < R\) se llama el disco de convergencia.
3. La derivada viene dada por diferenciación término a término
   \[f'(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} na_n (z - z_0)^{n - 1}\]
   La serie para\(f'\) también tiene radio de convergencia\(R\).
4. Si\(\gamma\) es una curva delimitada dentro del disco de convergencia entonces la integral viene dada por la integración término por término
   \[\int_{\gamma} f(z)\ dz = \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{\gamma} a_n (z - z_0)^n\]

Nota

• El teorema no dice qué pasa cuando\(|z - z_0| = R\).
• Si\(R = \infty\) la función\(f(z)\) es completa.
• Si\(R = 0\) la serie solo converge en el punto\(z = z_0\). En este caso, la serie no representa una función analítica en ningún disco alrededor\(z_0\).
• A menudo (no siempre) podemos encontrar\(R\) usando la prueba de ratio.

Prueba

La prueba de este teorema está en el apéndice.

Prueba de relación y prueba de raíz

Aquí hay dos pruebas estándar a partir de cálculo sobre la convergencia de series infinitas.

Prueba de relación

Considera la serie\(\sum_{0}^{\infty} c_n\). Si\(L = \lim_{n \to \infty} |c_{n + 1}/c_n|\) existe, entonces:

1. Si\(L < 1\) entonces la serie converge absolutamente.
2. Si\(L > 1\) entonces la serie diverge.
3. Si\(L = 1\) entonces la prueba no da información.

Nota

En palabras,\(L\) es el límite de las proporciones absolutas de términos consecutivos.

Nuevamente la prueba estará en el apéndice. (Se reduce a la comparación con una serie geométrica.)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considera la serie geométrica\(1 + z + z^2 + z^3 + ...\). El límite de las proporciones absolutas de términos consecutivos es

\[L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{|z^{n + 1}|}{|z^n|} = |z|\]

Así, la prueba de relación concuerda en que las series geométricas convergen cuando\(|z| < 1\). Sabemos que esto converge a\(1/(1 - z)\). Tenga en cuenta que el disco de convergencia termina exactamente en la singularidad\(z = 1\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Considera la serie\(f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{z^n}{n!}\). El límite de la prueba de relación es

\[L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{|z^{n + 1}|/(n + 1)!}{|z^n|/n!} = \lim \dfrac{|z|}{n + 1} = 0.\]

Ya que\(L < 1\) esta serie converge para cada\(z\). Así, por el Teorema 8.3.1, el radio de convergencia para esta serie es\(\infty\). Es decir,\(f(z)\) es entero. Por supuesto que lo sabemos\(f(z) = e^z\).

Test

Considera la serie\(\sum_{0}^{\infty} c_n\). Si\(L = \lim_{n \to \infty} |c_n|^{1/n}\) existe, entonces:

1. Si\(L < 1\) entonces la serie converge absolutamente.
2. Si\(L > 1\) entonces la serie diverge.
3. Si\(L = 1\) entonces la prueba no da información.

Nota

En palabras,\(L\) es el límite de las raíces\(n\) th del (valor absoluto) de los términos.

La serie geométrica es tan fundamental que debemos verificar la prueba raíz en ella.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Considera la serie geométrica\(1 + z + z^2 + z^3 + ...\). El límite de las raíces\(n\) th de los términos es

\[L = \lim_{n \to \infty} |z^n|^{1/n} = \lim |z| = |z|\]

Felizmente, la prueba raíz coincide en que la serie geométrica converge cuando\(|z| < 1\).